力學(xué)競賽——第九章能量法ppt課件

1、第九章第九章 能量方法初步能量方法初步 本章重點(diǎn)：1、卡氏第二定理2、莫爾定理第一節(jié) 桿件應(yīng)變能的計算第二節(jié) 功的互等定理和位移互等定理第三節(jié) 卡氏第二定理第四節(jié) 莫爾定理及圖乘法能量法能量法: 用功、能的概念求解彈性體的變形和力的方法。用功、能的概念求解彈性體的變形和力的方法。第一節(jié)第一節(jié) 桿件應(yīng)變能的計算桿件應(yīng)變能的計算 在小變形前提下，桿件處于線彈性階段。略去桿件的動能在小變形前提下，桿件處于線彈性階段。略去桿件的動能不計，外力的功不計，外力的功W 全部轉(zhuǎn)化為桿件的應(yīng)變能全部轉(zhuǎn)化為桿件的應(yīng)變能V，即：，即：VW目錄lF一、軸向拉伸緊縮時應(yīng)變能計算一、軸向拉伸緊縮時應(yīng)變能計算12WFlNF

2、F2N122F lWF lVEA FF力：力：0F變形：變形：0l 軸力為軸力為x的函數(shù)，應(yīng)變能的函數(shù)，應(yīng)變能2N1( )d2lVFxlEA桿件應(yīng)變能密度：桿件應(yīng)變能密度：211222VF lvEVlA目錄eM改動時外力作功改動時外力作功e12WM二、圓軸改動時應(yīng)變能計算二、圓軸改動時應(yīng)變能計算xeMM2xeP122M lWMVGI扭矩為扭矩為x的函數(shù)，應(yīng)變能的函數(shù)，應(yīng)變能2xP1( )d2lVMxlGI目錄1.純彎曲時，彎矩等于外力偶純彎曲時，彎矩等于外力偶三、直梁彎曲時應(yīng)變能計算三、直梁彎曲時應(yīng)變能計算12WMlMMlzlMlEI2122zM lWMVEI2.橫力彎曲時，彎矩為橫力彎曲時，

3、彎矩為x的函數(shù)，應(yīng)變能的函數(shù)，應(yīng)變能21( )d2lzVMxlEIM目錄12WFV 普通，令普通，令F為廣義力，為廣義力，為廣義變形，當(dāng)為廣義變形，當(dāng)F由零開場由零開場緩慢添加至最終值時，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)闂U件的應(yīng)變能，緩慢添加至最終值時，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)闂U件的應(yīng)變能，即即 。假設(shè)資料處于線彈性范圍，假設(shè)資料處于線彈性范圍，VW對于非線彈性資料，對于非線彈性資料，dVWF FFd目錄四、應(yīng)變能普遍表達(dá)式四、應(yīng)變能普遍表達(dá)式桿件復(fù)雜變形時，取桿件復(fù)雜變形時，取dx微段，假設(shè)其上同時有微段，假設(shè)其上同時有FN (x) 、 Mx (x)、M(x)作用，桿件的應(yīng)變能：作用，桿件的應(yīng)變能：2N1( )d2lVFx

4、xEA2xP1( )d2lMxxGI21( )d2lzMxxEI目錄例例9-1 集中力集中力F作用于簡支梁的作用于簡支梁的C點(diǎn)，試用能量原理點(diǎn)，試用能量原理計算截面計算截面C的撓度的撓度wc。設(shè)。設(shè)EI為常數(shù)。為常數(shù)。c12lFbFAlFaFB解：由平衡方程解得解：由平衡方程解得將梁分為將梁分為AC和和CB兩段，兩段， CB段段AC段段11)(xlFbxM)0(1ax 22)(xlFaxM)0(2bx 梁的應(yīng)變能為梁的應(yīng)變能為 abdxEIxMdxEIxMV002221122)(2)(2211220011()()22abFbFaxdxxdxEIlEIl2226F a bEIlEIlbaFFwc

5、62222EIlbFawc322方向向下方向向下 由式由式可解得可解得目錄第二節(jié)第二節(jié) 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理 定理：在線彈性體上作用兩組力，第一組力在第二定理：在線彈性體上作用兩組力，第一組力在第二組力引起的位移上作的功，等于第二組力在第一組力引組力引起的位移上作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上作的功。即：起的位移上作的功。即：212121FF目錄二、位移互等定理二、位移互等定理122121 , FFF221AB112ABF1F21121AB2F11222AB1F21121AB2F11222AB先作用先作用F1，再作用，再

6、作用F21F2FAB1222先作用先作用F2，再作用，再作用F1單獨(dú)作用單獨(dú)作用F1單獨(dú)作用單獨(dú)作用F211211F2FAB112112221112221121122VFFF1112222211122FFF證明：證明：所以所以應(yīng)變能應(yīng)變能212121FF目錄 例例9-2 圖示簡支梁。知梁中點(diǎn)圖示簡支梁。知梁中點(diǎn)C作用力作用力F時，時，B截面截面的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角EIFlB162，試求在，試求在B截面作用力偶矩截面作用力偶矩M時，時，解：解： 根據(jù)功的互等定理，根據(jù)功的互等定理， FC=MBEIMlC162解得解得C點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度C。 目錄例例9-3 圖示懸臂梁，知梁的抗彎剛度為圖示懸臂梁，知梁的抗

7、彎剛度為EI，假設(shè)，假設(shè)B點(diǎn)的點(diǎn)的垂直位移為零，試用互等定理求垂直位移為零，試用互等定理求FB。解解: 將將F及及FB作為第一組力作為第一組力想象在同一懸臂梁右端作用單位力想象在同一懸臂梁右端作用單位力0F=1，作為第二組力。作為第二組力。 點(diǎn)的相應(yīng)位移分別為點(diǎn)的相應(yīng)位移分別為 在在0F=1作用下懸臂梁上的作用下懸臂梁上的F及及FB作用作用)3(621alEIaEIl332由功互等定理有：由功互等定理有：03)3(632EIlFalEIFaB由此解得：由此解得： )3(222allaFFBB0B0目錄iFVi12n3AB1F2F3FnF第三節(jié)第三節(jié) 卡氏第二定理卡氏第二定理式中，式中，i為為F

8、i作用途沿作用途沿Fi 方向的位移量。方向的位移量。 設(shè)在外力設(shè)在外力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)i， Fn第一組力作用下，第一組力作用下，證明：證明：其相應(yīng)的位移為其相應(yīng)的位移為1，2，i， n 。 iF設(shè)設(shè)Fi有增量有增量第二組力第二組力 ，其他不變，那么相應(yīng)產(chǎn)生位移增量，其他不變，那么相應(yīng)產(chǎn)生位移增量n21i，。應(yīng)變能增量為。應(yīng)變能增量為 1122nn12iiiiVFFFFF 略去高階小量略去高階小量2/iiF 1122nniiiiFFFFF iiFViiFViiiFFVFVilim0目錄由功的互等定理由功的互等定理12n3AB1F2F3FnF橫力彎曲橫力彎曲 liliiidxFxMEIxMEIdxx

9、MFFV)()(2)(2lEIdxxMV2)(2桁架桁架 njjjNjEAlFV122njijNjjjNnjjjjNiiiFFEAlFEAlFFFV1122留意：用卡氏定理求構(gòu)造某處的位移時，該處需求有與所求位移留意：用卡氏定理求構(gòu)造某處的位移時，該處需求有與所求位移相應(yīng)的載荷。假設(shè)該處沒有與此位移相應(yīng)的載荷，可先在該點(diǎn)虛設(shè)相應(yīng)的載荷。假設(shè)該處沒有與此位移相應(yīng)的載荷，可先在該點(diǎn)虛設(shè)一個廣義力一個廣義力F，運(yùn)用卡氏定理求廣義位移，最后讓該力，運(yùn)用卡氏定理求廣義位移，最后讓該力F=0。目錄 例例9-4 試計算圖示構(gòu)造在荷載試計算圖示構(gòu)造在荷載 F1 作用下作用下C點(diǎn)的豎點(diǎn)的豎向位移，構(gòu)造中兩桿的長

10、度均為向位移，構(gòu)造中兩桿的長度均為 l ，橫截面面積均為，橫截面面積均為A。B1FDC cos21FFNEAlFEAlFEAlFEAlFEAlFVNNNnjjjNj22122222112112cos4222122cosiiVFlFEA （ ）目錄 例例9-5 外伸梁外伸梁ABC的自在端作用有鉛直荷載的自在端作用有鉛直荷載FP，求求1C端撓度，端撓度，2 C端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。 laFFPA laFFPB111xlaFMP22xFMP222P1PP2200P1ddd laiiliMMF a xxxF xxEIFEIl lax1x2PFABC11xlaFMP22xFMP）（ 3 2alEIaFp目錄2

11、P1P22001ddlaiiCiMMF a xxF xxEIMEIllax1x2PFABCPAF aMFll1BPaMFFll11)(xlMlaFMPlxMM11MxFMP2212MMalEIaFp326目錄第四節(jié)第四節(jié) 莫爾定理及圖乘法莫爾定理及圖乘法一莫爾定理一莫爾定理lEIdxxMxM)()(0)(0 xM：沿待求位移方向作用單位載荷梁的彎矩方程。：沿待求位移方向作用單位載荷梁的彎矩方程。 目錄( )M x：外載荷作用梁的彎矩方程。：外載荷作用梁的彎矩方程。 ：與單位載荷方向一致為正。：與單位載荷方向一致為正。 2100證明：證明：在梁上作用一組外力在梁上作用一組外力 在梁上作用單位力在

12、梁上作用單位力 先作用單位力再作用外力先作用單位力再作用外力由于由于F1，F(xiàn)2，作用的應(yīng)變能為：作用的應(yīng)變能為：lEIdxxMV2)(21F0單獨(dú)作用時的應(yīng)變能：單獨(dú)作用時的應(yīng)變能： EIdxxMV2)(200先作用單位力，再作用外力梁的總應(yīng)變能為：先作用單位力，再作用外力梁的總應(yīng)變能為： 101VVV將將F1，F(xiàn)2，與與F0=1同時作用，梁截面上的彎矩：同時作用，梁截面上的彎矩： )()(0 xMxMdxEIxMxMVl2)()(20101VVdxEIxMxMl2)()(20總應(yīng)變能為：總應(yīng)變能為：lEIdxxMxM)()(0目錄lEIdxxMxM)()(0推行：推行：為廣義位移，為廣義位移

13、，F(xiàn)O為沿為沿方向的單位載荷。方向的單位載荷。1. 彎扭組合變形桿件彎扭組合變形桿件 0P( )( )( )( )xoxllM x MxMx MxdxdxEIGI 2. 桁架桁架imiiNiiNlEAFF10)(3. 假設(shè)要求兩點(diǎn)之間的相對位移，沿兩點(diǎn)的連線方向加一對方向相假設(shè)要求兩點(diǎn)之間的相對位移，沿兩點(diǎn)的連線方向加一對方向相反的單位力。反的單位力。莫爾定理莫爾定理目錄 例例9-6 外伸梁外伸梁ABC的自在端作用有鉛直荷載的自在端作用有鉛直荷載FP，求，求C端轉(zhuǎn)角。端轉(zhuǎn)角。2P1P22001ddlaCF a xxF xxEIllax1x2PFABC1101xlM12oMalEIaFp326P

14、AF aFl1BPaFFl11xlaFMP22xFMP解：解：lFFBoAo1目錄假設(shè)假設(shè)F、l、EI知，試求：知，試求：1加力點(diǎn)加力點(diǎn)A的位移的位移A；例例9-7 9-7 線彈性資料懸臂梁，自在端線彈性資料懸臂梁，自在端A A作用有集中力。作用有集中力。解：解：1 1求點(diǎn)求點(diǎn)A A的位移。的位移。 FxMxFMEIFlxFxEIlA3d13022求梁中點(diǎn)求梁中點(diǎn)B的位移的位移 在在B點(diǎn)附加力點(diǎn)附加力FO，BC段段)2(lxMo）（EIlFxlxFxEIllB485)d2132/目錄2梁中點(diǎn)梁中點(diǎn)B的位移的位移B。例例9-8 圖示線彈性構(gòu)造，桿中各部分的圖示線彈性構(gòu)造，桿中各部分的EI均一樣。

15、假設(shè)均一樣。假設(shè)F、EI均為知，試用莫爾定理求均為知，試用莫爾定理求A、B兩點(diǎn)間的相對位移。兩點(diǎn)間的相對位移。解：解： 在在A、B兩點(diǎn)施加一對單位力兩點(diǎn)施加一對單位力 ，略去軸力、剪力的影響：，略去軸力、剪力的影響：310)()(iliiABEIdxxMxMxM101xM102)sin2(03RMM1 =0 ， 0 xR Rx2R 0/2AC段：段：CE段：段：M2 =-F(x-R) ， EG段：段：M3 =-FR(1+sin) ， 2/2000()(1sin ) (2sin )2RRABRxF xR xFRRdxdxRdEIEIEI253233EIFR相對位移的方向與單位力的方向一樣。相對位

16、移的方向與單位力的方向一樣。 目錄二二. 圖乘法圖乘法ldxxMxMEI)()(10o如如MOx是是x的線性函數(shù)的線性函數(shù) tan)(0 xxMdxxxMdxxMxMll)(tan)()(0ccMx0tanEIMdxEIxMxMcl00.)()( : M(x)所圍形面積所圍形面積cM0：MO圖上對應(yīng)于圖上對應(yīng)于M圖形心圖形心C的縱坐標(biāo)。的縱坐標(biāo)。 當(dāng)當(dāng)M圖、圖、 Mo圖為折線時，應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)機(jī)點(diǎn)為界，逐段運(yùn)用圖乘圖為折線時，應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)機(jī)點(diǎn)為界，逐段運(yùn)用圖乘法，然后求和。法，然后求和。 目錄例例9-9 簡支梁受均布載荷作用下，簡支梁受均布載荷作用下，EI為知常量，試為知常量，試求跨度中點(diǎn)求跨度

17、中點(diǎn)C的撓度。的撓度。1解解 ： 1. 1.作梁受分布載荷作用的彎矩圖作梁受分布載荷作用的彎矩圖281ql2.加單位載荷，作單位載荷彎矩圖加單位載荷，作單位載荷彎矩圖3.計算兩段彎矩圖的面積計算兩段彎矩圖的面積 及其形心處及其形心處MO的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。MOC1MOC232212412832qllqlllMMcC32548521004.跨中撓度為跨中撓度為EIMEIMwCCc210201)( 3845325241243qllqlEI目錄例例9-10 平面剛架受力如圖，假設(shè)橫桿彎曲剛度為平面剛架受力如圖，假設(shè)橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿，豎桿彎曲剛度彎曲剛度EI，抗拉剛度為，抗拉剛度為EA，且，且E

18、A、EI、q、l均知，均知，試求：試求：(1)由于彎曲變形引起的由于彎曲變形引起的B處程度位移；處程度位移；(2)軸力軸力對對B處程度位移的影響。處程度位移的影響。目錄解解: 1.計算彎矩引起的位移計算彎矩引起的位移 FPFCFAyFAxFAy1FC11111ql2ql2C1C2MF281qlC3Mqlll32l32MO222201122122338223()2iCiBii ilqlllqlllqllMME IEIEI 425()48qlEI目錄FPFC2FAy2FAx21111+ql21FN+FNO1解解: 2.計算軸力引起的位移計算軸力引起的位移 220112()02iN iBNiiiqllFqlFE AEAEA 242171224172)()(AlIEIqlEAqlMFBNB假設(shè)截面為假設(shè)截面為l/