初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談

1、    初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談    摘 要：多項(xiàng)式因式分解就是恒等變形，將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的乘積形式。在中考中，因式分解是比較常見的類型，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。因式分解方法具有很強(qiáng)的技巧性，使用靈活，是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)解題方法，對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)及解題能力的提高具有促進(jìn)作用?；诖?，本文著重研究初中數(shù)學(xué)因式分解技巧。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);因式分解技巧;教學(xué)策略：g427                       ：a &#

2、160;                ：2095-624x（2021）18-0062-02引 言在解決數(shù)學(xué)難題過程中使用因式分解法，可以將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。學(xué)生掌握這種方法，不僅解題思路會(huì)更加清晰，提高解題效率，其數(shù)學(xué)思維能力還會(huì)得到有效培養(yǎng)。一、多項(xiàng)式因式分解的步驟及常用方法（一）多項(xiàng)式因式分解的步驟在應(yīng)用多項(xiàng)式因式分解的過程中，學(xué)生只有按照步驟進(jìn)行，才能獲得良好的效果。多項(xiàng)式因式分解的具體步驟為：其一，在多項(xiàng)式中如果各項(xiàng)都有公因式，就需要先將公因式提出來;其二，在多項(xiàng)式中如果各項(xiàng)都沒有公因式，在分解時(shí)可以使用

3、公式法或者十字相乘法解決;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解時(shí)可以采用十字相乘法、分組分解法、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法等;其四，在分解因式的過程中，對(duì)每一個(gè)多項(xiàng)式因式都要進(jìn)行分解，直到不能進(jìn)一步分解為止1。（二）多項(xiàng)式因式分解的簡(jiǎn)單記憶法多項(xiàng)式因式分解方法有很多。為了有效利用，學(xué)生需要將這些方法記憶下來，從而在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)可以靈活運(yùn)用2。下面的因式分解記憶方法是比較有效的：先做公因式提取，然后考慮用公式，思考十字相乘法，之后用分組分解法;如果幾種方法都無效，可以試試拆項(xiàng)添項(xiàng)法。二、解決數(shù)學(xué)問題中常用的因式分解技巧（一）提公因式法提公因式法就是在多項(xiàng)式中，對(duì)四則運(yùn)算中乘法分配律進(jìn)行反向使用。教師

4、可以讓學(xué)生在多項(xiàng)式分解的過程中仔細(xì)觀察，將最低指數(shù)冪找出來。由于學(xué)生在提取的過程中容易產(chǎn)生漏項(xiàng)的問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用還原法檢驗(yàn)因式分解是否正確。如果各項(xiàng)有公因式，需將公因式提出來放在括號(hào)外面，用因式乘積的形式表達(dá);如果各項(xiàng)系數(shù)均為整數(shù)，提取公因式系數(shù)需要將最大的公約數(shù)提取出來;如果公因式用字母表達(dá)，則需要將各項(xiàng)相同的字母提取出來;在提取各項(xiàng)指數(shù)時(shí)，需要將次數(shù)最低的提取出來;多項(xiàng)式中的第一項(xiàng)是負(fù)數(shù)，需要將負(fù)號(hào)提取出來，讓括號(hào)中的第一項(xiàng)系數(shù)為正。具體的解題思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+=n（a+b+c+d+），公因式提取完畢，將另一個(gè)因式確定下來。比如，對(duì)3x3-2x2-x提

5、取公因式，即為3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。（二）運(yùn)用公式法在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用公式法，學(xué)生需要對(duì)各種數(shù)學(xué)公式熟練掌握，明確公式之間的關(guān)聯(lián)性，從而能夠靈活運(yùn)用。初中生往往存在記住數(shù)學(xué)公式卻不能合理運(yùn)用的問題。所以，在實(shí)際教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)公式的方法，使其在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠遴選出靈活解題的公式，逐漸掌握解題規(guī)律3。比如，平方差公式為a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。將完全平方公式充分運(yùn)用起來分解因式，要求多項(xiàng)式一定是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)可以用兩個(gè)數(shù)的平方和表達(dá)或者用兩個(gè)

6、式表達(dá)的平方和表達(dá)，另一項(xiàng)則是兩個(gè)數(shù)乘積的2倍或者兩個(gè)式乘機(jī)的2倍。比如，立方差公式為a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式為a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式為（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。（三）分組分解法在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)用分組分解法，就是在應(yīng)用提取公因式法的同時(shí)使用公式運(yùn)用法。由于多項(xiàng)式在表達(dá)形式上各有不同，采用分組分解法進(jìn)行處理時(shí)所應(yīng)用的方法也存在差異。數(shù)學(xué)教師要想讓學(xué)生充分理解這部分內(nèi)容，講解時(shí)要做到具體問題具體分析，并遵循循序漸進(jìn)的原則，讓學(xué)生從淺到深地掌握所學(xué)知識(shí)。具體而言就是將

7、一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分組，之后運(yùn)用分解因式的方法處理。采用分組分解法時(shí)，學(xué)生必須明確目標(biāo)，分組后將公因式直接提取出來，也可以運(yùn)用公式進(jìn)行處理。例如，對(duì)多項(xiàng)式am+an+bm+bn進(jìn)行因式分解時(shí)，要判斷項(xiàng)式之間所存在的共同之處，如果將前兩項(xiàng)分為一組，可以將公因式a提取出來，將后兩項(xiàng)分為一組，可以將公因式b提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再將公因式（m+n）提取出來，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;如果將第一項(xiàng)和第三項(xiàng)分為一組，可以將公因式m提取出來，將第二項(xiàng)和第四項(xiàng)分為一組，可以將公因式n提取出來，從而所獲得

8、的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），將公因式（a+b）提取出來，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。又如，在分解多項(xiàng)式7ax+7bx+8ay+8by時(shí)，采用分組分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）=  （7x+8y）（a+b）。從案例分析可以看出，對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分解，雖然進(jìn)行分組分解時(shí)采用不同的分組方法，但是所獲得的結(jié)果是一樣的，將7ax和8bx分為一個(gè)組，將x提取出來，將

9、把8ay和8by分為一組，將y提取出來，采用逆用乘法分配律解答問題，就能夠做到化繁為簡(jiǎn)。比如，將多項(xiàng)式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）=  m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。（四）十字相乘法對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解，通常應(yīng)用十字相乘法。二次項(xiàng)系數(shù)包括兩種情況，即為“1”的情況和不為“1”的情況。與前三種方法相比較，初中生掌握這種方法存在一定的難度。所以，通常教師在講解這種方法之前，需要先講解前三種方法，在學(xué)生熟練掌握后，再對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行講解。例如，對(duì)二次三項(xiàng)式x2+（p+q）x+pq進(jìn)行因

10、式分解時(shí)，要分析該二次項(xiàng)，其系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)為兩個(gè)數(shù)的積，即pq;一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的相加。在分解這個(gè)項(xiàng)式時(shí)，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。又如，對(duì)二次三項(xiàng)式kx2+mx+n進(jìn)行因式分解的過程中，如果可以分解為k=ac，n=bd，則acx2+mx+bd;如果m=ad+bc時(shí)，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以將因式分解為：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。對(duì)7x2-19x-6進(jìn)行因式分解，其中的-19可以分解為-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6

11、=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。（五）拆項(xiàng)法和補(bǔ)項(xiàng)法將多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或者對(duì)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)填補(bǔ)上相反數(shù)的兩項(xiàng)，也可以是相反數(shù)的幾項(xiàng)，在保持原式表達(dá)含義不變的情況下，更加適用于公因式提取。在使用這種方法時(shí)需要注意，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形時(shí)要堅(jiān)持保持與原多項(xiàng)式相等的原則，先將多項(xiàng)式拆成幾個(gè)部分，之后再對(duì)因式進(jìn)行分解。例如，對(duì)bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）進(jìn)行因式分解， 將bc（b+c）分解為bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），對(duì)公式提?。╝+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。結(jié) 語通過上面的研究可以得出，初中數(shù)學(xué)中的因式分解方法有多種，而解題中較為常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分組分解法、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法。雖然教學(xué)存在一定的難度，但是其解題思路是有一定規(guī)律的，所以教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生明確解題思路，讓學(xué)生對(duì)因式分解方法有系統(tǒng)性認(rèn)識(shí)，從而提高數(shù)學(xué)解題效率4。參考文獻(xiàn)李霞，王婷.初中數(shù)學(xué)公式與法則的教學(xué)思考：以“整式乘法