冪級數(shù)的展開18頁

1、函數(shù)的冪級數(shù)展開研究摘 要：本文主要討論函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù)的展開。我們把按照泰勒定理及相關(guān)定理展開函數(shù)的冪級數(shù)的方法叫直接法。一般情況下，只有少數(shù)簡單的函數(shù)能利用直接法得到其冪級數(shù)展開式。更多的函數(shù)是通過間接法得到。間接法就是根據(jù)唯一性定理，利用已知函數(shù)的展開式，通過線性運算、變量代換、恒等變形、逐項求導(dǎo)或逐項積分等方法間接地求得幕級數(shù)的展開式的方法。同時冪級數(shù)在近似計算、數(shù)值逼近、微分方程的解等許多數(shù)學(xué)方面具有重要作用，但前提是正確展開一個函數(shù)的冪級數(shù)。因此，我們的目的是通過實例總結(jié)和研究高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的冪級數(shù)展開的常用方法和實際問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：函數(shù)；冪級數(shù)；展開式Abstract:

2、 This paper centers on the expansion of power series in function series. We define the method of expanding power series according to Taylors theorem and relative theorems the Direct Method. Normally, only a few simple functions can get their expansion of power series through the Direct Method while

3、most of functions through the Indirect Method. The Indirect Method is a method of getting the power series of functions indirectly through linear operation, variable substitution, identical deformation, derivation or integration term by term, based on the Uniqueness Theorem and the expansion of know

4、n functions. Meanwhile, power series plays an significant role in many aspects of mathematics such as approximation, numerical approximation, the solution of differential equation on condition that the power series is expanded correctly. Therefore, our purpose is to study different methods of the ex

5、pansion of power series in Higher Mathematics and their application in practical problems by summarizing demonstrating examples.Keywords: Function; power series; expansion.級數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，它是在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗推動下逐步形成和發(fā)展起來的。中國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積。這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級數(shù)的思想方法，即無限多個數(shù)的

6、累加問題。將一個函數(shù)展開成無窮級數(shù)的概念最早來自于14世紀(jì)印度的馬徳哈瓦，他首先發(fā)展了冪級數(shù)的概念，對泰勒級數(shù)、麥克勞林級數(shù)、無窮級數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究。同時，他也開始討論判斷無窮級數(shù)的斂散性方法。到了19世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西等各自給出了各種判別級數(shù)收斂法則，使級數(shù)理論全面發(fā)展起來。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在冪級數(shù)理論研究上可謂一枝獨秀，清代數(shù)學(xué)家董祐誠、坎各達等運用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)冪級數(shù)展開問題進行了深入的研究。而今，級數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)豐富和完整，它可以用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、也是進行數(shù)值計算的一種工具，且在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身方面都有廣泛的

7、作用。1 預(yù)備知識本文將使用以下定義與定理。1.1 泰勒定理1設(shè)在內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)。若其中為拉格朗日型余項。1.2 唯一性定理1設(shè)在可以展開成冪級數(shù)，則1.3 泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)1設(shè)在點具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(1)為在點的泰勒級數(shù)，記作(2)稱為的麥克勞林級數(shù)，記作1.4 解析函數(shù)泰勒展式2定理1 設(shè)函數(shù)在圓盤內(nèi)解析，那么在內(nèi)，有證明 設(shè)，以為心，在內(nèi)作一個圓，使屬于其內(nèi)區(qū)域。有由于當(dāng)時，又因為所以 上式的級數(shù)當(dāng)時一致收斂。把上面的展開式代入積分中，然后利用一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，得其中 由于是內(nèi)任意一點，所以定理的結(jié)論成立。定理2 函數(shù)在一點解析的必要與充分條件是它在的某個鄰域內(nèi)有定理1中

8、的冪級數(shù)展開式。在定理1中，在內(nèi)的冪級數(shù)展式我們稱為它在內(nèi)的泰勒展式。所以根據(jù)定理1有冪級數(shù)是它的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即。2 函數(shù)展開成冪級數(shù)我們把按照泰勒定理和唯一性定理以及相關(guān)的定理展開函數(shù)的冪級數(shù)的方法叫直接法。一般情況下，只有少數(shù)簡單的函數(shù)其冪級數(shù)展開式能利用直接法得到。更多的函數(shù)是根據(jù)唯一性定理，利用一些已知函數(shù)的展開式，通過線性運算、變量代換、恒等變形、逐項求導(dǎo)或逐項積分等方法來間接地求得冪級數(shù)的展開式。而這種方法則稱為函數(shù)展開成冪級數(shù)的間接法。2.1 直接法(麥克勞林級數(shù)法)如何根據(jù)函數(shù)求得其麥克勞林級數(shù)呢？首先分別求出，；然后寫出的麥克勞林級數(shù)并求出級數(shù)的收斂半徑；再討

9、論或；最后在收斂區(qū)間上有，。例1 將展開成的冪級數(shù)。解 按照上面給出的直接法來展開函數(shù)，即有，,所以就有 對任意，有 所以 ，。我們再來看看下面這個初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式。例2 將展開成的冪級數(shù)。解 對于，顯然有，因此， ，取,因為，故 但對任一，由于正弦函數(shù)的有界性，得到從而就有 ，同理可得 ，對于上面例2我們也可將的展開式逐項微分，從而獲得的展開式。然而我們在通過直接法求冪級數(shù)展開式中不難發(fā)現(xiàn)有三個問題，一是求函數(shù)在的各階導(dǎo)數(shù)；二是求級數(shù)的收斂區(qū)間；三是求收斂區(qū)間上滿足余項極限為零的范圍。這些都是高等數(shù)學(xué)上的難點，沒有統(tǒng)一的方法，有些還很難運算。所以我們可以尋求其他簡單的方法。2.1 間接

10、法間接法即是根據(jù)唯一性，利用常見函數(shù)的展開式，通過變量代換，四則運算，恒等變形，逐項求導(dǎo)，逐項積分等方法來求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。2.2.1 利用級數(shù)的四則運算主要根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的絕對收斂性進行級數(shù)的四則運算。例33 求的麥克勞林展開式。 解 由于與，且兩級數(shù)在內(nèi)絕對收斂，故柯西積分也收斂。于是有對于任意的 2.2.2 代換法將問題中的函數(shù)按照類似的已知的函數(shù)求冪級數(shù)展開式的方法進行代換，從而得出我們所求的函數(shù)的冪級數(shù)展開式。例4 將展開成的冪級數(shù)。解 先將按照進行變換，然后利用與的冪級數(shù)展開式進行代換和來求出問題。由于又已知 ，那么 ，。例5 將展開成的冪級數(shù)。解 將分解因式成，再類比

11、于的展開式來解決問題。由于又已知 ，那么 ，。2.2.3 逐項求導(dǎo)、積分法 這類題目的思路就是利用求導(dǎo)或者積分，把系數(shù)中的去掉，讓它變成只有相加的等比級數(shù)，這樣就好求了，別忘了求出和以后要變回去，比如先求導(dǎo)之后要積一次分，同理先積分之后要再求導(dǎo)一次，這樣才是真正要求的答案。例6 將展開成的冪級數(shù)。解 已知 ，那么 ，又已知收斂，于是,。例7 求函數(shù)的冪級數(shù)展開式。解 注意到 而由的展開式可求得上式兩端從0到逐項積分，即可得到 = =。冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)或逐項積分，且逐項求導(dǎo)或逐項積分后所得的冪級數(shù)的收斂區(qū)間不變，但在收斂區(qū)間的端點處，收斂性可能會改變，需討論確定。如上題收斂區(qū)間為，當(dāng)

12、時，級數(shù)為絕對收斂。因此級數(shù)的收斂域為。在其上展開式中成立。2.2 利用復(fù)數(shù)的實部，虛部展開冪級數(shù) 復(fù)數(shù)的實部和虛部主要利用公式轉(zhuǎn)化成形式，然后展開冪級數(shù)的方法。例84 將展開成冪級數(shù)。解 因為復(fù)數(shù)實部就是，為此先求的展開式，只要在的展開式中用替代即可比較上式兩端的實部，即得 比較虛部，又可得以上介紹了幾種函數(shù)冪級數(shù)展開方法，高等數(shù)學(xué)題型是多種多樣的，實際問題也會隨之變化，因此同一道題冪級數(shù)展開的方法也有多種方法或者要綜合運用幾種方法，我們在解題過程中要注意方法的總結(jié)，看清題意，靈活運用。3 冪級數(shù)的應(yīng)用冪級數(shù)在許多方面具有重要作用，我們可以借助冪級數(shù)的展開形式很容易的解決一些較為復(fù)雜的問題。

13、巧妙地利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式及冪級數(shù)的性質(zhì)能夠把一個復(fù)雜的性質(zhì)以及一些不容易把握的函數(shù)表達成形式最簡單、性質(zhì)最好的級數(shù)形式，因此用它來解題，往往能思路清晰、條理清楚。3.1 近似計算計算函數(shù)值以某個冪級數(shù)展開式為基礎(chǔ)，然后把所需要求的量表達成無數(shù)級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項估計，給出精度，通過確定項數(shù)，繼而可得對應(yīng)的近似值；給定項數(shù)，可求得近似值，通過可估計精度。3.1.1 計算函數(shù)的近似值例9 計算的近似值。 解 這是一個關(guān)于的簡單計算，主要利用的麥克勞林展開式。在的麥克勞林展開式中，令，得取前5項作為的近似值，即有其誤差 其中不等式成立，是因為兩端的級數(shù)均為

14、收斂的正項級數(shù)。例10 計算的近似值，要求誤差不超過。解法一 將分解成，然后利用已知的的展開式來求。由于, 取,有 若要求誤差不超過，則應(yīng)取，即要計算共有10000項！解法二 通過對數(shù)的運算法則與利用快速收斂級數(shù)法進行近似計算。已知，那么 ，令，得，這樣若取，有 (截斷誤差)于是 其舍入誤差，對比精確值。 通過上面兩種方法的比較可知，對于近似計算問題，我們可以有不同的方法來解決它，但是我們必須學(xué)會靈活應(yīng)用，并將其與學(xué)過的知識之間相連接，爭取用最簡單的方法求解。3.1.2 計算定積分的近似值利用冪級數(shù)展開式取有限項的辦法近似計算定積分，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開成冪級數(shù)，則把這個冪級數(shù)逐項積

15、分，用積分后的級數(shù)即可算出定積分的值。例11 計算解 將被積函數(shù)變形成，其中能展開成冪級數(shù)。 例125 計算定積分的近似值,要求誤差不超過。(取)解 被積函數(shù)有麥克勞林展開式，再根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分來求。已知，那么，于是 若取，有 (截斷誤差)于是 3.2 微分方程的冪級數(shù)解法當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分式表達時，我們要尋求其他解法。這里舉例說明下簡單微分方程的冪級數(shù)解法。求方程 的特解，其中。如果先令，有，其中為待定系數(shù)；然后代入方程兩端，得到兩端均為的多項式；再比較兩端系數(shù)并列出方程組，可解得,；最后若在其收斂區(qū)間內(nèi)則即為方程的特解。例13 求滿足的特解。解 本題中方程

16、是一階微分方程，因此只需求出一階導(dǎo)函數(shù)即可。令，其中為待定系數(shù)；代入方程()兩端，得令上式左邊，上式右邊，則有其中 比較兩端系數(shù)，得， ，所以原方程的特解為 例146 求的解。解 題目中涉及到二階導(dǎo)函數(shù)，因此在按照冪級數(shù)解微分方程的方法中要求出二階導(dǎo)函數(shù)，再按照后續(xù)步驟進行解方程。設(shè)方程的解為，則，將，代入中 原方程的通解為 。3.3 利用冪級數(shù)展開式級數(shù)求和我們求與的和函數(shù)，可以構(gòu)造復(fù)函數(shù)冪級數(shù)，設(shè)法的和函數(shù)，令，則有比較上式兩端左右的實部與虛部，則可得 在求的和函數(shù)中，我們常常用到以下結(jié)論：。例157 求下列級數(shù)的和函數(shù)。；解 利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)之間的關(guān)系與冪級數(shù)展開式的逆向靈活運用。令，

17、則有 所以 ，3.4 利用冪級數(shù)展開式證明不等式不等式是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要工具，其證明方法多種多樣，下面使用冪級數(shù)的展開式來對一些特殊不等式進行證明。例168 證明對于任意實數(shù)，不等式成立。證明 將不等式左右兩邊進行麥克勞林展開，然后比較冪級數(shù)展開式的大小。因為，于是 ，再由于，故對于任意實數(shù)，有。例179 在內(nèi)二階可導(dǎo)，且。證明對于內(nèi)任意兩點，及，有。證明 類比于上題，將不等號左邊進行泰勒展開，與右邊進行比較。令內(nèi)任一,將在處按一階泰勒公式展開得 分別將，代入上式，得則有 由題設(shè)，且知即有 。3.5 利用冪級數(shù)展開式求極限極限思想是許多科學(xué)領(lǐng)域的重要思想之一。因為極限的重要性，從而怎樣求極限也顯

18、得尤其重要。對于一些復(fù)雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得非常困難，不僅計算量大，而且不一定能求出結(jié)果。所以我們可以利用簡單的初等函數(shù)（特別是基本初等函數(shù)）的麥克勞林展開式，常能求得一些特殊形式的數(shù)列極限。同時等價無窮小代換也是求極限的重要方法，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限于求兩個無窮小量的乘積或除的極限，而對兩個無窮小量非乘且非除的極限，則不能湊效，而泰勒公式代換則是解決此類極限問題的一種有效的方法。例18 求極限。解 在進行泰勒展開的時候，要先展開分母，根據(jù)分母的階來確定分子的展開式中最高次項的次數(shù)。此題如果先展開分子的話，想要計算出分子的主部需要展開到項，這樣計算量會大大增加。所以由與的泰勒展開式可得 所以就有 又