《中考課件初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》第01講 翻折問題專題-2020年中考數(shù)學(xué)《二輪沖刺核心重點(diǎn)難點(diǎn)熱點(diǎn)15講》(全國通用)解析版

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)/熱點(diǎn)1. 軸對稱的定義把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，對應(yīng)點(diǎn)叫對稱點(diǎn)，直線叫對稱軸，兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱也叫軸對稱.2. 軸對稱的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形；（2）對稱軸這條直線是對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線.1. 軸折疊兩側(cè)的部分對應(yīng)相等，如對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等、折痕上的點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等；2. 對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分，這會出現(xiàn)垂直于中點(diǎn)；3. 折疊問題中，常常結(jié)合角平分線、等腰三角形、三線合一、設(shè)未知數(shù)解勾股定理等綜合知識點(diǎn)；4. 在平面直角坐標(biāo)系中出現(xiàn)折疊

2、，常常還會用到求解析式法、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等.【例題1】（2019青島模擬）如圖，在菱形紙片abcd中，ab=4，a=60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)a落在cd的中點(diǎn)e處，折痕為fg，點(diǎn)f、g分別在邊ab、ad上則sinefg的值為【解析】如圖：過點(diǎn)e作head于點(diǎn)h，連接ae交gf于點(diǎn)n，連接bd，be四邊形abcd是菱形，ab=4，dab=60°，ab=bc=cd=ad=4，dab=dcb=60°，dcabhde=dab=60°，點(diǎn)e是cd中點(diǎn)，de=cd=2在rtdeh中，de=2，hde=60°dh=1，he=，ah=ad+dh

3、=5在rtahe中，ae=2折疊，an=ne=，aegf，af=efcd=bc，dcb=60°bcd是等邊三角形，且e是cd中點(diǎn)becd，bc=4，ec=2，be=2cdab，abe=bec=90°在rtbef中，ef2=be2+bf2=12+（abef）2ef=，sinefg=，故答案為：【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵詞：“對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕所在直線垂直平分”，“三線合一”，“轉(zhuǎn)化目標(biāo)角”【例題2】如圖，在矩形abcd中，ab=3，bc=4，點(diǎn)e是邊ab上一點(diǎn)，且ae=2eb，點(diǎn)p是邊bc上一點(diǎn)，連接ep，過點(diǎn)p作pqpe交射線cd于點(diǎn)q若點(diǎn)c關(guān)于直線pq的對稱點(diǎn)正好落在邊ad上，求

4、bp的值【解析】過點(diǎn)p作pead于點(diǎn)e，pec'=90°矩形abcd中，ab=3，bc=4eab=b=c=qdc'=90°，cd=ab=3四邊形cped是矩形de=pc，pe=cd=3ae=2eb，ae=2，eb=1設(shè)bp=x，則de=pc=4x法2：亦可過c作cgbc，連接cc點(diǎn)c與c'關(guān)于直線pq對稱pc'qpcqpc'=pc=4x，c'q=cq，pc'q=c=90°pepqbpe+cpq=90°又bep+bpe=90°bep=cpqbepcpq同理可證：pec'c'd

5、q，cq=x（4x）c'q=x（4x），dq=3x（4x）=x24x+3，c'd=3x，ec'=ec'+c'd=de，解得：x1=1，x2=bp的值為1或【例題3】（2019秋雙流區(qū)校級月考）如圖，矩形oabc中，oa=4，ab=3，點(diǎn)d在邊bc上，且cd=3db，點(diǎn)e是邊oa上一點(diǎn)，連接de，將四邊形abde沿de折疊，若點(diǎn)a的對稱點(diǎn)a恰好落在邊oc上，則oe的長為_.法2：亦可過d作dgao，連接aa【解析】連接ad，ad，四邊形oabc是矩形，bc=oa=4，oc=ab=3，c=b=o=90°，cd=3db，cd=3，bd=1，cd=ab

6、，將四邊形abde沿de折疊，若點(diǎn)a的對稱點(diǎn)a恰好落在邊oc上，ad=ad，ae=ae，在rtacd與rtdba中，rtacdrtdba（hl），ac=bd=1，ao=2，ao2+oe2=ae2，22+oe2=（4oe）2，oe=，【點(diǎn)評】本題關(guān)鍵詞：“對應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【例題4】（2019東西湖區(qū)模擬）如圖，在矩形abcd中，ab=4，bc=6，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，將abe沿ae折疊，使點(diǎn)b落在矩形內(nèi)點(diǎn)f處，連接cf，則cf的長為法2：亦可過e作egfc；或者過f作mn分別垂直ad和bc【解析】連接bf，bc=6，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，be

7、=3，又ab=4，ae=5，bh=，則bf=，fe=be=ec，bfc=90°，根據(jù)勾股定理得，cf=故答案為：【例題5】如圖，將邊長為6的正方形紙片abcd對折，使ab與dc重合，折痕為ef，展平后，再將點(diǎn)b折到邊cd上，使邊ab經(jīng)過點(diǎn)e，折痕為gh，點(diǎn)b的對應(yīng)點(diǎn)為m，點(diǎn)a的對應(yīng)點(diǎn)為n（1）若cm=x，則ch=（用含x的代數(shù)式表示）；（2）求折痕gh的長【解析】（1）cm=x，bc=6，設(shè)hc=y，則bh=hm=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，hmc+mhc=90°，emd=mhc，edmmch，=，=，解得：hc=x2+2x，故答案為：x2+3或x

8、2+2x；（2）方法一：四邊形abcd為正方形，b=c=d=90°，設(shè)cm=x，由題意可得：ed=3，dm=6x，emh=b=90°，故hmc+emd=90°，hmc+mhc=90°，emd=mhc，edmmch，=，即=，解得：x1=2，x2=6，當(dāng)x=2時(shí)，cm=2，dm=4，在rtdem中，由勾股定理得：em=5，ne=mnem=65=1，neg=dem，n=d，negdem，=，=，解得：ng=，由翻折變換的性質(zhì)，得ag=ng=，過點(diǎn)g作gpbc，垂足為p，則bp=ag=，gp=ab=6，當(dāng)x=2時(shí)，ch=x2+3=，ph=bchcbp=6=2，

9、在rtgph中，gh=2當(dāng)x=6時(shí)，則cm=6，點(diǎn)h和點(diǎn)c重合，點(diǎn)g和點(diǎn)a重合，點(diǎn)m在點(diǎn)d處，點(diǎn)n在點(diǎn)a處mn同樣經(jīng)過點(diǎn)e，折痕gh的長就是ac的長所以，gh長為6方法二：有上面方法得出cm=2，連接bm，可得bmgh，則可得pgh=hbm，在gph和bcm中，gphbcm（sas），gh=bm，gh=bm=2【例題6】已知一個(gè)矩形紙片oacb，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a （11，0），點(diǎn)b（0，6），點(diǎn)p為bc邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)b、c重合），經(jīng)過點(diǎn)o、p折疊該紙片，得點(diǎn)b和折痕op設(shè)bp=t（1）如圖，當(dāng)bop=30°時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；（2）如圖，經(jīng)過點(diǎn)p再次折疊紙片

10、，使點(diǎn)c落在直線pb上，得點(diǎn)c和折痕pq，若aq=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)c恰好落在邊oa上時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）【解析】（1）根據(jù)題意，obp=90°，ob=6，在rtobp中，由bop=30°，bp=t，得op=2top2=ob2+bp2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，6）；（2）obp、qcp分別是由obp、qcp折疊得到的，obpobp，qcpqcp，opb=opb，qpc=qpc，opb+opb+qpc+qpc=180°，opb+qpc=90°，bop+

11、opb=90°，bop=cpq，又obp=c=90°，obppcq，=，由題意設(shè)bp=t，aq=m，bc=11，ac=6，則pc=11t，cq=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）過點(diǎn)p作peoa于e，如圖3，pea=qac=90°，pce+epc=90°，pce+qca=90°，epc=qca，pcecqa，=，在pce和ocb中，pceocb（aas），pc'=oc'=pc，bp=ac'，ac=pb=t，pe=ob=6，aq=m，ec=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故

12、點(diǎn)p的坐標(biāo)為（ ，6）或（ ，6）1如圖，在菱形紙片abcd中，ab=15，tanabc=，將菱形紙片沿折痕fg翻折，使點(diǎn)b落在ad邊上的點(diǎn)e處，若cead，則cosefg的值為【解析】如圖，過點(diǎn)a作ahbc于點(diǎn)h，連接be，過點(diǎn)p作peab，ab=15，tanabc=，ah=9，bh=12，ch=3，四邊形abcd是菱形，ab=bc=15，adbc，ahbc，ahad，且ahbc，cead，四邊形ahce是矩形ec=9，ae=ch=3，be=3，將菱形紙片沿折痕fg翻折，使點(diǎn)b落在ad邊上的點(diǎn)e處，bf=ef，befg，bo=eo=adbc，abc=pae，tanabc=tanpae=，且a

13、e=3，ap=，pe=，ef2=pe2+pf2，ef2=+（15ef+）2，ef=，fo=cosefg=，故答案為：2（2019江北區(qū)一模）如圖，在菱形abcd中，ab=5，tand=，點(diǎn)e在bc上運(yùn)動（不與b，c重合），將四邊形aecd沿直線ae翻折后，點(diǎn)c落在c處，點(diǎn)d落在d處，cd與ab交于點(diǎn)f，當(dāng)cd'ab時(shí)，ce長為 【解析】如圖，作ahcd于h，交bc的延長線于g，連接ac由題意：ad=ad，d=d，afd=ahd=90°，afdahd（aas），fad=had，ead=ead，eab=eag，=（角平分線的性質(zhì)定理，可以用面積法證明）abcd，ahcd，ahab

14、，bag=90°，b=d，tanb=tand=，=，ag=，bg=，be：eg=ab：ag=4：3，eg=bg=，在rtadh中，tand=，ad=5，ah=3，ch=4，ch=1，cgad，=，cg=，ec=egcg=故答案為3如圖，已知e為長方形紙片abcd的邊cd上一點(diǎn)，將紙片沿ae對折，點(diǎn)d的對應(yīng)點(diǎn)d恰好在線段be上若ad=3，de=1，則ab=5【解析】折疊，adead'e，ad=ad'=3，de=d'e=1，dea=d'ea，四邊形abcd是矩形，abcd，dea=eab，eab=aeb，ab=be，d'b=bed'e=ab

15、1，在rtabd'中，ab2=d'a2+d'b2，ab2=9+（ab1）2，ab=5故答案為：54（2019羅山縣一模）如圖，矩形abcd中，ab=8，bc=10，點(diǎn)n為邊bc的中點(diǎn)，點(diǎn)m為ab邊上任意一點(diǎn)，連接mn，把bmn沿mn折疊，使點(diǎn)b落在點(diǎn)e處，若點(diǎn)e恰在矩形abcd的對稱軸上，則bm的長為5或【解析】當(dāng)e在矩形的對稱軸直線pn上時(shí)，如圖1此時(shí)men=b=90°，enb=90°，四邊形bmen是矩形又me=mb，四邊形bmen是正方形bm=bn=5當(dāng)e在矩形的對稱軸直線fg上時(shí)，如圖2，過n點(diǎn)作nhfg于h點(diǎn)，則nh=4根據(jù)折疊的對稱性可知

16、en=bn=5，在rtenh中，利用勾股定理求得eh=3fe=53=2設(shè)bm=x，則em=x，fm=4x，在rtfem中，me2=fe2+fm2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即bm=故答案為5或5（2019虹口區(qū)二模）如圖，在矩形abcd中，ab=6，點(diǎn)e在邊ad上且ae=4，點(diǎn)f是邊bc上的一個(gè)動點(diǎn)，將四邊形abfe沿ef翻折，a、b的對應(yīng)點(diǎn)a1、b1與點(diǎn)c在同一直線上，a1b1與邊ad交于點(diǎn)g，如果dg=3，那么bf的長為【解析】cdga'eg，a'e=4a'g=2b'g=4由勾股定理可知cg'=則cb'=由cdgcfb'設(shè)bf

17、=x解得x=故答案為6如圖，已知扇形aob的半徑為6，圓心角為90°，e是半徑oa上一點(diǎn)，f是上一點(diǎn)將扇形aob沿ef對折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑ob相切于點(diǎn)g若oe=4，則o到折痕ef的距離為2【解析】過點(diǎn)g作ogob，作aoog于o，如圖，連結(jié)oo交ef于h，則四邊形aogo為矩形，og=ao=6，沿ef折疊后所得得圓弧恰好與半徑ob相切于點(diǎn)g，與所在圓的半徑相等，點(diǎn)o為所在圓的圓心，點(diǎn)o與點(diǎn)o關(guān)于ef對稱，ooef，oh=ho，設(shè)oh=x，則oo=2x，eoh=ooa，rtoehrtooa，=，即=，解得x=2，即o到折痕ef的距離為2故答案為27如圖，矩形abcd中，ad

18、=4，o是bc邊上的點(diǎn)，以oc為半徑作o交ab于點(diǎn)e，be=ae，把四邊形aecd沿著ce所在的直線對折（線段ad對應(yīng)ad），當(dāng)o與ad相切時(shí)，線段ab的長是【解析】設(shè)o與ad相切于點(diǎn)f，連接of，oe，則ofad，oc=oe，oce=oec，四邊形abcd是矩形，a=b=a=90°，由折疊的性質(zhì)得：aec=aec，b+bce=aeo+oec，oea=b=90°，oe=of，四邊形afoe是正方形，ae=ae=oe=oc，be=ae，設(shè)be=3x，ae=5x，oe=oc=5x，bc=ad=4，ob=45x，在rtboe中，oe2=be2+ob2，（5x）2=（3x）2+（4

19、5x）2，解得：x=，x=4（舍去），ab=8x=故答案為：9如圖，矩形abcd中，ab=2bc，e是ab上一點(diǎn)，o是cd上一點(diǎn)，以oc為半徑作o，將ade折疊至ade，點(diǎn)a在o上，延長ea交bc延長線于f，且恰好過點(diǎn)o，過點(diǎn)d作o的切線交bc延長線于點(diǎn)g若fg=1，則ad=2，o半徑=【解析】作ohdg于h，如圖，設(shè)da=x，則ab=2x，ade折疊至ade，da=da=x，dae=a=90°，da與o相切，在oda和ocf中doafocda=cf=x，dg是o的切線，ohdg，h點(diǎn)為切點(diǎn)，dh=da=x，gh=gc=cf+gf=x+1，在rtdcg中，dc2+cg2=dg2，（2

20、x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，ad=2，設(shè)o的半徑為r，則oc=oa=r，od=2xr=4r，在rtdoa中，da2+oa2=do2，22+r2=（4r）2，解得r=，即o的半徑為故答案為2，10如圖1，在abc中，ac=6，bc=8，ab=10，分別以abc的三邊ab，bc，ac為邊在三角形外部作正方形abde，bcij，afgc如圖2，作正方形abde關(guān)于直線ab對稱的正方形abde，ae交cg于點(diǎn)m，de交ic于點(diǎn)n點(diǎn)d在邊ij上則四邊形cmen的面積是24【解析】正方形abde關(guān)于直線ab對稱的正方形abde，ae=ab=10，eab=90&#

21、176;，aen=90°，ac=6，bc=8，ab=10，ac2+bc2=ab2，acb為直角三角形，ac2=bcmc，mc=，mac=nae，rtacmrtaen，=，即=，en=，四邊形cmen的面積=saensacm=×10××6×=24故答案為2411如圖，菱形abcd中，a=60°，將紙片折疊，點(diǎn)a，d分別落在a，d處，且ad經(jīng)過點(diǎn)b，ef為折痕，當(dāng)dfcd時(shí)，的值為【解析】設(shè)bc與df交于點(diǎn)kcf=a，dk=b，四邊形abcd是菱形，a=60°，c=60°，d=d=120°，kfcd，kfc=

22、90°，fkc=bkd=30°，kbd=180°dbkd=30°，bd=b，bk=b，kc=2a，kf=a，bc=cd=df+cf，b+2a=b+a+a，（1）a=（1）b，a=b，=，故答案為12如圖，在abc中，c=90°，ac=bc=，將abc繞點(diǎn)a順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到abc的位置，連接cb，則cb=1【解析】如圖，連接bb，abc繞點(diǎn)a順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到abc，ab=ab，bab=60°，abb是等邊三角形，ab=bb，在abc和bbc中，abcbbc（sss），abc=bbc，延長bc交ab于d，

23、則bdab，c=90°，ac=bc=，ab=2，bd=2×=，cd=×2=1，bc=bdcd=1故答案為：113如圖，在rtabc中，acb=90°，ac=3，bc=4，點(diǎn)d是邊bc的中點(diǎn)，點(diǎn)e是邊ab上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)e不與點(diǎn)b重合），沿de翻折dbe使點(diǎn)b落在點(diǎn)f處，連接af，當(dāng)線段af=ac時(shí)，be的長為【解析】連接ad，作egbd于g，如圖所示：則egac，begbac，=，設(shè)be=x，acb=90°，ac=3，bc=4，ab=5，=，解得：eg=x，bg=x，點(diǎn)d是邊bc的中點(diǎn)，cd=bd=2，dg=2x，由折疊的性質(zhì)得：df=bd=c

24、d，edf=edb，在acd和afd中，acdafd（sss），adc=adf，adf+edf=×1880°=90°，即ade=90°，ad2+de2=ae2，ad2=ac2+cd2=32+22=13，de2=dg2+eg2=（2x）2+（x）2，13+（2x）2+（x）2=（5x）2，解得：x=，即be=；故答案為：14在正方形abcd中，（1）如圖1，若點(diǎn)e，f分別在邊bc，cd上，ae，bf交于點(diǎn)o，且aof=90°求證：ae=bf（2）如圖2，將正方形abcd折疊，使頂點(diǎn)a與cd邊上的點(diǎn)m重合，折痕交ad于e，交bc于f，邊ab折疊后與

25、bc邊交于點(diǎn)g若dc=5，cm=2，求ef的長【解析】（1）如圖1，四邊形abcd是正方形，ab=bc，abe=bcf=90°，aof=90°，bae+oba=90°，又fbc+oba=90°，bae=cbf，在abe和bcf中，abebcf（asa）ae=bf（2）由折疊的性質(zhì)得efam，過點(diǎn)f作fhad于h，交am于o，則adm=fhe=90°，hao+aoh=90°、hao+amd=90°，pof=aoh=amd，又efam，pof+ofp=90°、hfe+feh=90°，pof=feh，feh=a

26、md，四邊形abcd是正方形，ad=cd=fh=5，在adm和fhe中，admfhe（aas），ef=am=15如圖，已知e是正方形abcd的邊ab上一點(diǎn)，點(diǎn)a關(guān)于de的對稱點(diǎn)為f，bfc=90°，求的值【解析】如圖，延長ef交cb于m，連接cm，四邊形abcd是正方形，ad=dc，a=bcd=90°，將ade沿直線de對折得到def，dfe=dfm=90°，在rtdfm與rtdcm中，rtdfmrtdcm，mf=mc，mfc=mcf，mfc+bfm=90°，mcf+fbm=90°，mfb=mbf，mb=mc，設(shè)mf=mc=bm=a，ae=ef

27、=x，be2+bm2=em2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，ae=a，=316在長方形紙片abcd中，點(diǎn)e是邊cd上的一點(diǎn)，將aed沿ae所在的直線折疊，使點(diǎn)d落在點(diǎn)f處（1）如圖1，若點(diǎn)f落在對角線ac上，且bac=54°，則dae的度數(shù)為18°（2）如圖2，若點(diǎn)f落在邊bc上，且ab=6，ad=10，求ce的長（3）如圖3，若點(diǎn)e是cd的中點(diǎn)，af的沿長線交bc于點(diǎn)g，且ab=6，ad=10，求cg的長【解析】（1）四邊形abcd是矩形，bad=90°，bac=54°，dac=90°54°=36°，由

28、折疊的性質(zhì)得：dae=fae，dae=dac=18°；故答案為：18；（2）四邊形abcd是矩形，b=c=90°，bc=ad=10，cd=ab=6，由折疊的性質(zhì)得：af=ad=10，ef=ed，bf=8，cf=bcbf=108=2，設(shè)ce=x，則ef=ed=6x，在rtcef中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即ce的長為；（3）連接eg，如圖3所示：點(diǎn)e是cd的中點(diǎn)，de=ce，由折疊的性質(zhì)得：af=ad=10，afe=d=90°，fe=de，efg=90°=c，在rtceg和feg中，rtcegfeg（hl），cg=fg，設(shè)cg=fg=y，則a