大學(xué)物理上下冊課后習(xí)題復(fù)習(xí)資料（精編版）

1、習(xí) 題1-1. 已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為r = r(costi+ sin tj) 其中為常量 求：（1） 質(zhì)點的軌道 ； (2)速度和速率。解： 1）由r = r(costi + sin tj)知x = r cos ty = r sin t消去t 可得軌道方程x2+ y2= r22）v =ddtr= - rsin ti+ rcostjv = (- r sin t)2+ (r cost)212= r1-2. 已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為r = 4t2i + (3 + 2t) j， 式中r的單位為m，t的單位為s.求：（1） 質(zhì)點的軌道 ；（2） 從t = 0到t =1秒的位移 ；

2、（3）t = 0和t =1秒兩時刻的速度。解： 1） 由r = 4t2i + (3 + 2t) j可知x = 4t2y = 3 + 2t消去t 得軌道方程為：x = (y - 3)22）v =ddrt= 8ti + 2 jr =01 vdt =01(8ti + 2 j)dt = 4i + 2 j3）v(0) = 2 jv(1) = 8i + 2 j1-3. 已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為r = t2i + 2tj， 式中r的單位為m ，t的單位為s.求：（1） 任一時刻的速度和加速度；（2） 任一時刻的切向加速度和法向加速度。解： 1）v =ddrt= 2ti + 2j a =ddvt=

3、2i2）v = (2t)2+ 412= 2(t2+1)12at=dv=2t dt t 2+1a =a 2- a 2=2 ntt2+1 1-4. 一升降機以加速度a上升 ， 在上升過程中有一螺釘從天花板上松落， 升降機的天花板與底板相距為d， 求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。解： 以地面為參照系， 坐標如圖 ， 升降機與螺絲的運動方程分別為y = vt +1 at 2（ 1）圖 1-4102 1gt 2y2= h + v0t -（ 2）2 y1= y2（ 3）解之t =2dg + a1-5. 一質(zhì)量為m的小球在高度h處以初速度v0水平拋出 ， 求：（ 1） 小球的運動方程；（ 2） 小球在落

4、地之前的軌跡方程；（ 3） 落地前瞬時小球的dr， dv， dv.dtdtdt解 ：（1）x = v0 t式（ 1）y = h -1 gt 2式（ 2）2 1 gt 2 ) jr(t) = v0t i + (h -2（ 2） 聯(lián)立式 （ 1） 、式 （ 2） 得y = h -gx 22v02（ 3）dr= v0i - gtj而 落地所用時間t =2hgdt 所以dr= v0i - 2gh j d v= - g jdt dt v =v 2x+ v2y = v02+ (- gt)2dv =g 2 t=g2ghdt v2+ (gt )212( v2+2gh) 12001-6. 路燈距地面的高度為h1

5、， 一身高為h2的人在路燈下以勻速v1沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動， 并求其速度v2.證明 ： 設(shè)人從o 點開始行走 ， t 時刻人影中足的坐標為x1， 人影中頭的坐標為x2， 由幾何關(guān)系可得圖 1-6x2=h1而x = v tx2- x1h210所以 ， 人影中頭的運動方程為x2=h1 x1=h1tv0h1- h2h1- h2人影中頭的速度v2=dx2=h1v0dth1- h21-7. 一質(zhì)點沿直線運動， 其運動方程為x = 2 + 4t - 2t2(m)， 在 t 從 0 秒到3 秒的時間間隔內(nèi)， 則質(zhì)點走過的路程為多少？解：v =dx= 4 - 4t若v = 0解的t =1sd

6、tx1= x1- x0= (2 + 4 - 2) - 2 = 2mx3= x3- x = (2 + 4 3 - 2 32) - (2 + 4 - 2)= - 8m1x =x1+x2= 10m1-8. 一彈性球直落在一斜面上， 下落高度h = 20cm， 斜面對水平的傾角= 30o， 問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等， 碰撞時人射角等于反射角)。圖 1-8解 ： 小球落地時速度為v0=2gh一建立直角坐標系， 以小球第一次落地點為坐標原點如圖vx0= v0cos 600 x = v0cos 600 t +1 g cos 600 t 2（ 1）2v y 0

7、= v0sin 600y = v0sin 600 t -1 g sin 600 t 2（ 2）2 第二次落地時y = 0 t =2v0gx = v0cos 600 t +1g cos 600 t2=2v2= 0.8m所以02g1-9. 地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時， 赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為3.4cm / s2， 設(shè)赤道上重力加速度為9.80m/s2.解： 赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足g = r2現(xiàn)在赤道上物體 =3.4 10- 2r=9.8 =17 3.4 10- 21-10. 已知子彈的軌跡為拋物線， 初速為v0， 并且v0

8、與水平面的夾角為 .試分別求出拋物線頂點及落地點的曲率半徑。解： 在頂點處子彈的速度v = v0cos， 頂點處切向加速度為0。因此有 ：g =v2=(v cos )2 =v2 cos200g在落地點速度為v0g cos=v2 =v200g cos 1-11. 飛機以v0=100m / s的速度沿水平直線飛行， 在離地面高h = 98m時 ，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標上， 問： 投放物品時 ， 駕駛員看目標的視線和豎直線應(yīng)成什么角度?此時目標距飛機下方地點多遠?解： 設(shè)此時飛機距目標水平距離為x有：x = v0th =1gt 22x聯(lián)立方程解得：x 447m = arctan 77.5

9、0h1-12. 設(shè)將兩物體a和b分別以初速va和vb拋擲出去 va與水平面的夾角為；vb與水平面的夾角為， 試證明在任何時刻物體b相對物體a的速度是常矢量。解： 兩個物體在任意時刻的速度為v a= v0cosi + (v0sin- gt) j vb= v0cosi + (v0sin- gt) jvba= vb- v a= (v0cos - v0cos )i + (v0sin - v0sin ) j與時間無關(guān) ， 故b相對物體a的速度是常矢量。1-13. 一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動， 物體初速為v0= 49.0m / s， 而氣球以速度v =19.6m / s勻速上升 ， 問氣球中的

10、觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？物體在任意時刻的速度表達式為vy= v0- gt故氣球中的觀察者測得物體的速度v = vy- v代入時間t 可以得到第二秒末物體速度v = 9.8ms第三秒末物體速度v = 0第四秒末物體速度v = -9.8ms1-14. 質(zhì)點沿x在軸向運動 ， 加速度a = - kv，k為常數(shù) 設(shè)從原點出發(fā)時速度為v0， 求運動方程x =x(t).dvv 1 t-k t解 ：= -kvv0dv =0- kdtv = v0 edtvdx= v0e-k t0 x dx =0t v0 e- k t dtdtx =vk0(1 - e- k t) 1-15.

11、跳水運動員自10m跳臺自由下落 ， 入水后因受水的阻礙而減速， 設(shè)加速度a = - kv2，k = 0.4m- 1.求運動員速度減為入水速度的10%時的入水深度。解： 取水面為坐標原點， 豎直向下為x軸跳水運動員入水速度v0=2gh =14 ms- kv2 =dv= vdvv01dv =0 x- kdxv10dtdx0vx =1kln10 = 5.76m1-16. 一飛行火箭的運動學(xué)方程為：x = ut + u(b1- t) ln(1 - bt)， 其中 b 是與燃料燃燒速率有關(guān)的量，u為燃氣相對火箭的噴射速度。求：（1） 火箭飛行速度與時間的關(guān)系；（2） 火箭的加速度。解 ：（1）v =dx

12、= - u ln(1 - bt) dt（ 2）a =dv=ubdt1- bt1-17. 質(zhì)點的運動方程為：x = rcost,y =r sin t, z =h t,式2中r、 h、 為正的常量。求：（1） 質(zhì)點運動的軌道方程；（2） 質(zhì)點的速度大?。唬?3） 質(zhì)點的加速度大小。解：（1） 軌道方程為x2+ y2= r2z =2ht這是一條空間螺旋線。在 oxy平面上的投影為圓心在原點， 半徑為r 的圓 ， 螺距為h（ 2）vx=dxdt= - rsin tv = vx2+ vy2+ vz2= r 2+h242（ 3）ax= - r2costay= - r2sin t az= 0 a = ax2

13、+ a y2= r2思考題1-1. 質(zhì)點作曲線運動， 其瞬時速度為v， 瞬時速率為v， 平均速度為v， 平均速率為v， 則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的?（ 1）v = v, v = v；（2）v v,v = v；（3 ）v = v, v v；（4）v v, v v答：（ 3）1-2. 質(zhì)點的x t關(guān)系如圖 ， 圖中a，b，c三條線表示三個速度不同的運動 問它們屬于什么類型的運動?哪一個速 度大 ？哪一個速度小 ？答：vaf vbf vc1-3. 結(jié)合v t圖， 說明平均加速度和瞬時加速度的幾何意義。答： 平均加速度表示速度v在t時間內(nèi)的平均變化率， 它只能粗略地反映運動速度的變化程度

14、和方向， 而瞬時加速度能精確反映質(zhì)點運動速度的變化及方向。1-4. 運動物體的加速度隨時間減小， 而速度隨時間增加， 是可能的嗎 ？答： 是可能的。加速度隨時間減小， 說明速度隨時間的變化率減小。1-5. 如圖所示 ，兩船a和b相距r， 分別以速度va和vb勻速直線行駛， 它們會不會相碰?若不相碰 ， 求兩船相靠最近的距離 圖中和為已知。答： 方法一如圖 ， 以 a 船為參考系 ， 在該參考系中船a 是靜止的 ， 而船b的速度v = vb-va.v是船 b 相對于船a 的速度 ,從船 b 作一條平行于v方向的直線bc,它不與 船 a 相交 ,這表明兩船不會相碰.由 a 作 bc 垂線ac,其長

15、度rmin就是兩船相靠最近的距離rmin= r sin作 fd/ab, 構(gòu)成直角三角形def,故有sin =vbsin - vasinv在三角形bef 中,由余弦定理可得v = va2+ vb2+ 2va vbcos(+ ) rmin=vbsin - vasin rva2+ vb2 + 2vavbcos( + )方法二 ：兩船在任一時刻t的位置矢量分別為ra= (vatcos)i +(vbtsin) jrb= (r-vbtcos)i +(vbtsin) jr = rb- ra= r- (vbcos+vacos)ti +(vbsin-vasin)t j任一時刻兩船的距離為r =r - (vb c

16、os + va cos )t2+(vb sin - va sin )t2令dr(t) = 0 dtt =vbcos+ vacosr(vb cos + va cos )2+ (vb sin - va sin )2rmin=vbsin - vasin rva2+ vb2 + 2vavbcos( + )1-6. 若質(zhì)點限于在平面上運動， 試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運動？（ 1）ddrt= 0，ddrt0；（2）ddvt= 0，ddvt0；（3）ddat= 0，ddat= 0答: (1) 質(zhì)點作圓周運動.(2) 質(zhì)點作勻速率曲線運動.(3) 質(zhì)點作拋體運動.1-7. 一質(zhì)點作斜拋運動， 用t1

17、代表落地時 ， .（ 1） 說明下面三個積分的意義：t1t1t1vxdt ,vydt,vdt .000（ 2） 用a和b代表拋出點和落地點位置， 說明下面三個積分的意義：b dr, bdr,b dr.aaat1答:vxdt表示物體落地時x 方向的距離0t1v ydt 表示物體落地時y 方向的距離0t1vdt 表示物體在t1時間內(nèi)走過的幾何路程.0b dr拋出點到落地點的位移ab dr拋出點到落地點位移的大小ab dr 拋出點到落地點位移的大小a習(xí)題2-1. 質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入沙土中， 設(shè)子彈所受阻力與速度反向， 大小與速度成正比， 比例系數(shù)為k， 忽略子彈的重力， 求： (1)

18、子彈射入沙土后， 速度隨時間變化的函數(shù)式； (2) 子彈進入沙土的最大深度。解：（1） 由題意和牛頓第二定律可得：f = - kv = mdvdt，kdvk分離變量 ， 可得 ：-=兩邊同時積分， 所以 ：v = v0e-tmmvdt（ 2） 子彈進入沙土的最大深度也就是 v=0 的時候子彈的位移， 則：由-k=dv可推出 ：vdt = -mdv ， 而這個式子兩邊積分就可以得vdtkm= 0mm到位移 ：xmaxvdt=v0-kdv=kv0。2-2. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子， 質(zhì)量為m、長度為l ， 一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸oo上， 并以恒定角速度在水平面上旋轉(zhuǎn) 設(shè)轉(zhuǎn)動過程中繩子始終伸直不打彎， 且

19、忽略重力 ， 求距轉(zhuǎn)軸為r 處繩中的張力t( r)解： 在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為r 處取一小段繩子， 假設(shè)其質(zhì)量為dm， 可知 ：dm =mdl， 分析這dm 的繩子的受力情況， 因為它做的是 圓周運動 ， 所以我們可列出：dt（ r） = 2rdm = 2rmdr。l距轉(zhuǎn)軸為r 處繩中的張力t( r)將提供的是r 以外的繩子轉(zhuǎn)動的向心力， 所以兩邊積分 ：t（ r） =rlm2dt（ r） =（ l2- r2）2l12-3. 已知一質(zhì)量為m的質(zhì)點在x軸上運動 ， 質(zhì)點只受到指向原點的引力作用， 引力大小與質(zhì)點離原點的距離x的平方成反比， 即f = - k / x2，k是比例常數(shù) 設(shè)質(zhì)點在x = a

20、時的速度為零 ， 求質(zhì)點在x = a / 4處的速度的大小。解： 由題意和牛頓第二定律可得：f = -xk2= mdvdt= mdvdxdxdt= mvdvdx再采取分離變量法可得：-kdx = mvdv，x2k兩邊同時取積分， 則：aa/ 4-dx =0vmvdv2x所以 ：v =6kma2-4. 一質(zhì)量為2kg的質(zhì)點 ， 在xy平面上運動 ， 受到外力f = 4i - 24t2j (si)的作用 ，t = 0時， 它的初速度為v0= 3i + 4 j(si)， 求t =1s時質(zhì)點的速度及受到的法向力fn.解： 由題意和牛頓第二定律可得：f = ma = mddtv， 代入f 與 v， 并兩

21、邊積分，01(4i - 24t2j )dt =vv0mdv，4i - 8 j = 2 v -(3i+ 4 j)v = 5i速度是i方向 ， 也就是切向的， 所以法向的力是j方向的 ， 則f = - 24j2-5. 如圖 ， 用質(zhì)量為m1的板車運載一質(zhì)量為m2的木箱 ， 車板與箱底間的摩擦系數(shù)為， 車與路面間的滾動摩擦可不計， 計算拉車的力f為多少才能保證木箱不致滑動？2解： 根據(jù)題意 ， 要使木箱不致于滑動， 必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式 ：a =fmsx=f = m2gmmm+ m1222可得 ：f p (m1+ m2)g2-6. 如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上 ， 斜面上

22、放一木塊， 兩者間摩擦系數(shù)為 ( tg )。為使木塊相對斜面靜止， 求斜 面加速度a的范圍。解： 在斜面具有不同的加速度的時候， 木塊將分別具有向上和向下滑動的趨勢， 這就是加速度的兩個范圍， 由題意 ， 可得 ：（ 1） 當木塊具有向下滑動的趨勢時（ 見圖a）， 列式為 ： n sin+ n cos= mg n sin- n cos= ma可計算得到 ： 此時的a =tan- g11 + tan（ 2） 當木快具有向上滑動的趨勢時（ 見圖 b）， 列式為 ： n sin+ mg= n cosn sin+ n cos= ma可計算得到 ： 此時的a2=tan+ g1 - tan所以tan- g

23、 a tan+ g1 + tan 1 - tan32-7. 一質(zhì)量為m、頂角為的三角形光滑物體上。放有一質(zhì)量為m 的物塊 ， 如圖所示。設(shè)各面間的摩擦力均可忽略不計。試按下列三種方法：（ 1） 用牛頓定理及約束方程；（2） 用牛頓定律及運動疊加原理；（3） 用非慣性系中力學(xué)定律； 求解三角形物塊的加速度am.解： 隔離物塊和斜面體， 畫圖分析力， 列出方程 ， 發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠， 即未知數(shù)比方程數(shù)多， 關(guān)鍵在于， m 與 m 的運動有聯(lián)系的， m 沿地面運動 ， m 沿斜面運動 ， 這就是約束條件。取地面作為參考系， 則 m 的運動為 ：- n sin = max（ 1）n cos- m g

24、 = may（ 2）m 的運動方程為 ：n sin = mam（ 3）下面列出約束條件的方程： 取 m 作為參考系 ， 設(shè) m 在其中的相對加速度為a，在 x,y 方向的分量分別為ax與ay， 那么 ：tan =ayax利用相對運動的公式，am= am+ a所以 ：ax= ax-amay= ay4于是 ：tan=a y=aya xa x- am即：axsin -aycos = amsin （ 4）由（ 1）（2）（3）（4） 聯(lián)立 ， 計算可得 ：a m= m sincosgm + m sin22-8. 圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體 ， 若它們一起繞圓柱軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動 ， 試問穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時液

25、面 的形狀如何 ？解： 受力分析如圖n sin = m2 y （ 1）n cos =mg （ 2）兩式相比tan =2y=dzg dy dz =2ydy z = 2y2+ cg 2g當y = 0時z = z0所以c = z0z =2y 2+ z0穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時液面是一個拋物面2g由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤緕 =2g2(x2+ y2) + z0】52-9. 質(zhì)量為m2的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動 ， 劈形物質(zhì)量為m1， 放置在光滑的水平面上， 斜面傾角為， 求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解： 隔離物塊和斜面體， 分析力 ， 列出方程 ， 發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠， 即未知數(shù)比方

26、程數(shù)多， 關(guān)鍵在于 ， m1與 m2的運動有聯(lián)系的， m1沿地面運動 ， m2沿斜面運動 ， 這就是約束條件。取地面作為參考系， 則 m2的運動為 ：- n sin = m2ax（ 1）n cos- m2 g = m2 a y（ 2）m1的運動方程為：n sin= m1a1（ 3）下面列出約束條件的方程： 取 m1作為參考系 ， 設(shè) m2在其中的相對加速度為aya， 在 x,y 方向的分量分別為ax與ay， 那么 ：tan=ax利用相對運動的公式 ，a2= a1+ a所以 ：a x= ax-a1ay= ay于是 ：tan=a y=aya xax- a1即：axsin- aycos = a1si

27、n（ 4）由（ 1）（2）（3）（4） 聯(lián)立 ， 計算可得 ：a =m2sin cosg ；a1m+ m sin2212m1sin cos( m1+ m2 )sin= -g ；a =gm+ m sin2m+ m sin212126相互作用力n=m1m2cosgm+ msin 2122-10. 一小環(huán)套在光滑細桿上， 細桿以傾角繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動 ， 角速度為， 求： 小環(huán)平衡時距桿端點o的距離r.解： 根據(jù)題意 ， 當小環(huán)能平衡時， 其運動為繞z 軸的圓周運動，所以可列式 ：n sin= mgn cos= m2 r sin所以，可得：r =g 2tan sin2-11. 設(shè)質(zhì)量為m的帶電微

28、粒受到沿x方向的電力f = (b + cx)i， 計算粒子在任一時刻t的速度和位置， 假定t = 0時，v0= 0, x0= 0.其中b c為、與時間無關(guān)的常數(shù)，m、f、x、t的單位分別為kg、n、m、s.解： 根據(jù)題意和牛頓第二定律， 可列式 ：f = (b + cx)i = md2x，dt 2整理可得二階微分方程：md2x- cx - b =0。dt 2令2=c下面分 c 為正負再做進一步討論。md 2x2bbb當cp0時，dt 2+x -= 0 ， 可得 ：x =cost -mcc一次求導(dǎo) ， 得到 ：v = -bsintc7d 2x2bbt- tb當cf0時，dt 2- x -= 0

29、， 可得 ：x =(e+ e) -m2cc一次求導(dǎo) ， 得到 ：v =b(e t- e- t)2c2-12. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒， 半徑為r，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運動， 摩擦系數(shù)為， 在t = 0時， 球的速率為v0， 求任一時刻球的速率和運動路程。解 ： 在法向上有n = mv2而f = nr在切向上有- f = mdvdt由上面三個式子可得dv= - v2dtrv1 tv0 r-vdv =0dtv =0v2rr + v0 ts =t vdt = v0 rt dt=rln(1 +v0 t)0 r + v0 t0r思考題2-1. 質(zhì)量為m 的小球 ， 放在光滑的木板和光滑的墻壁之間

30、， 并保持平衡 ， 如圖所示 設(shè)木板和墻壁之間的夾角為 ， 當 逐漸增大時， 小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓?？解?假設(shè)墻壁對小球的壓力為n1， 木板對小球的壓力為n2。由受力分析圖可知：8n2sin= mg所以當所以增大 ， 小球?qū)δ景宓膲毫閚2將減??；同時 ：n2cos= n1n1= mgctg所以增大 ， 小球?qū)Ρ诘膲毫1也減小。2-2. 質(zhì)量分別為m1和 m2的兩滑塊a 和 b 通過一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上 ， 滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為 ， 系統(tǒng)在水平拉力f 作用下勻速運動， 如圖所示 如突然撤消拉力， 則剛撤消后瞬間， 二者的加速度aa和 ab分別為多少？解： 分別對a，

31、 b 進行受力分析， 由受力分析圖可知：f = (m1+ m2)gf = kx + m1 gkx = m2 g所以aa= m1+ m2g,ab= 0.m12-3. 如圖所示 ， 用一斜向上的力f(與水平成30角)， 將一重為g 的木塊壓靠在豎直壁面上， 如果不論用怎樣大的力f，都不能使木塊向上滑動， 則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為多少 ？解： 假設(shè)墻壁對木塊的壓力為n， 由受力分析圖可知：f sin = g + nn = f cos整理上式 ， 并且根據(jù)題意 ， 如果不論用怎樣大的力f， 都不能使木塊向上滑動，則說明 ：1f g +3 f即當1f p3 f 此式中f 無論為多大 ，22

32、 22 9總成立 ， 則可得 ：f 332-4. 質(zhì)量分別為m和m的滑塊a和b， 疊放在光滑水平桌面上 ， 如圖所示 a、b間靜摩擦系數(shù)為s， 滑動摩擦系數(shù)為k， 系統(tǒng)原處于靜止 今有一水平力作用于a上，要使a、b不發(fā)生相對滑動， 則f應(yīng)取什么范圍 ？解： 根據(jù)題意 ， 分別對a， b 進行受力分析， 要使 a， b 不發(fā)生相對滑動，必須使兩者具有相同的加速度， 所以列式 ：a =fmsx=smgm + mm可得 ：f p sm（m + m）gm2-5. 如圖 ， 物體a、 b 質(zhì)量相同 ， b 在光滑水平桌面上 滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計， 滑輪與其軸之間的摩擦也不計 系統(tǒng)無初速地釋放

33、， 則物體a 下落的加速度是多少 ？解： 分別對a， b 進行受力分析， 由受力分析圖可知：m1 g - t = m1a12t = m2a2a2=12 a1則可計算得到 ：a1=54g2-6. 如圖所示， 假設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑， 軌道是光滑的， 在從a 至c 的下滑過程中， 下面哪 個說法是正確的？(a)它的加速度大小不變， 方向永遠指向圓心。(b)它的速率均勻增加。(c) 它的合外力大小變化， 方向永遠指向圓心。10(d) 它的合外力大小不變。(e) 軌道支持力的大小不斷增加。在下滑過程中， 物體做圓周運動。并且v 在增大 ， 所以它既有法向加速度，又有切向加速度， a 的說法

34、不對 ；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供， 由于切線方向始終在改變， 所以速率增加不均勻；外力有重力和支持力， 后者的大小和方向都在變化， 所以合力的大小方向也在變化。 c， d 的說法都不對。下滑過程中的 和 v 都在增大 ， 所以n 也在增大 ，n = mg sin+ mv2r則 e 的說法正確。2-7. 一小珠可在半徑為r的豎直圓環(huán)上無摩擦地滑動， 且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉(zhuǎn)動 當圓環(huán)以一適當?shù)暮愣ń撬俣绒D(zhuǎn)動 ， 小珠偏離圓環(huán)轉(zhuǎn)軸而且相對 圓環(huán)靜止時 ， 小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？解： 根據(jù)題意 ， 當小珠能相對于圓環(huán)平衡時， 其運動為繞z 軸的圓周運動， 假設(shè)小珠

35、所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為，可列式 ：n cos= mgn sin= m2 r sin所以 ， 可得 ：cos=g2r2-8. 幾個不同傾角的光滑斜面， 有共同的底邊， 頂點也在同一豎直面上 （ 如圖所示 ） 為使一物體（ 視為質(zhì)點 ） 從斜面上端由靜止滑到下端的時間最短， 則斜面的傾角應(yīng)選(a) 60 (b) 45 (c) 30(d) 15 解： 根據(jù)題意 ， 假設(shè)底邊長為s， 斜面的傾角為，可列式 ：12 g sint 2=coss11t2=4s。當 =45 時， 時間最短。g sin 2 2-9. 如圖所示 ， 小球 a 用輕彈簧o1a與輕繩o2a系住 ； 小球 b 用輕繩o1

36、b 與o2b系住 ， 今剪斷o2a繩和o2b繩， 在剛剪斷的瞬間，a、b球的加速度量值和方向是否相同？解： 不同。對于a 圖 ，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長沒有變化 ， 所以彈簧的拉力f 不變 ， a 的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力t， 所以 ：f sin= t = maf cos= mg所以加速度大小為：a = g tan， 方向為水平方向。對于b 圖， 在剪斷繩子的瞬間， 繩子拉力f 變化 ， 它將提供物體做圓周運動， 的加速度應(yīng)該有切向加速度和法向加速度。所以：mg sin= mat2t - mg cos= man= m vr=0所以加速度大小為：a = g sin， 方向為

37、與繩垂直的切線方向。2-10. 兩質(zhì)量均為m的小球穿在一光滑圓環(huán)上， 并由一輕繩相連， 環(huán)豎直固定放置 ， 在圖中位置由靜止釋放， 試問釋放瞬間繩上張力為多少？解： 在釋放瞬間上面的小球作水平運動， 下面小球作豎直運動， 兩者加速度大小相等 ， 方向互相垂直。t sin 450= ma （ 1）mg - t sin 450= ma （ 2）12兩式聯(lián)立消去a t =mg=2mg 2 sin 4502 13習(xí)題3-1. 如圖 ， 一質(zhì)點在幾個力作用下沿半徑為r=20m 的圓周運動 ， 其中有一恒力f=0.6in ， 求質(zhì)點從a 開始沿逆時針方向經(jīng)3/4 圓周到達b 的過程中 ， 力f 所做的功。

38、解：r = rb-ra= - 20i + 20j由做功的定義可知：w = f ? r = 0.6i ? (- 20i + 20j) = - 12j3-2. 質(zhì)量為m=0.5kg 的質(zhì)點 ，在xoy 坐標平面內(nèi)運動，其運動方程為x=5t2,y=0.5(si) ,從 t=2s 到 t=4s 這段時間內(nèi) ， 外力對質(zhì)點的功為多少？r = r4- r2= (80i + 0.5j) - (20i + 0.5j) = 60ia = dv / dt = d2 r / dt2=10if = ma = m 10i = 5i由做功的定義可知：w = f ? r = 5i ? 60i = 300j3-3.勁度系數(shù)為

39、k 的輕巧彈簧豎直放置， 下端懸一小球， 球的質(zhì)量為m， 開始時彈簧為原長而小球恰好與地接觸。今將彈簧上端緩慢提起， 直到小球能脫離地面為止 ， 求此過程中外力的功。根據(jù)小球是被緩慢提起的， 剛脫離地面時所受的力為f=mg，k x = mg可得此時彈簧的伸長量為：x =mgkmg由做功的定義可知 ： w =0 x kxdx =1kx2=m2 g 20k22k3-4.如圖 ， 一質(zhì)量為m 的質(zhì)點 ， 在半徑為r 的半球形容器中， 由靜止開始自邊緣上的a 點滑下 ， 到達最低點b 時， 它對容器的正壓力數(shù)值為n， 求質(zhì)點自a 滑到b 的過程中 ， 摩擦力對其做的功。分析 ： wf直接求解顯然有困難

40、， 所以使用動能定理， 那就要知道它的末速度的情況。解： 求在b 點的速度 ：n-g=m v2可得 ：1mv2=1 (n - g)rr2 2 mgr +w f=1mv2- 0由動能定理 ：211w f=(n - g)r - mgr=(n - 3mg)r2 23-5. 一 彈 簧 并 不 遵 守 胡 克 定 律 ，其 彈 力 與 形 變 的 關(guān) 系 為f = (- 52.8x - 38.4x2)i ， 其中f和x單位分別為n和m（ 1） 計算當將彈簧由x1= 0.522m拉伸至x2=1.34m過程中 ， 外力所做之功；（ 2） 此彈力是否為保守力?解 ：（ 1） 由做功的定義可知：w =x2f

41、? dx =1.34 (- 52.8x - 38.4x2 )dx = - 26.4(x2- x2 ) - 12.6(x3- x3)x10.5222121= 69.2j（ 2） 由計算結(jié)果可知， 做功與起點和終點的位置有關(guān)， 與其他因素無關(guān)， 所以該 彈力為保守力。3-6. 一質(zhì)量為m的物體 ， 在力f = (ati + bt2j)的作用下 ， 由靜止開始運動，求在任一時刻t此力所做功的功率為多少。解： 要求功率就必須知道力和速度的情況， 由題意 ：v =ft =1 (ati+ bt2j)dt =1 ( 1at 2i+1bt 3j)mmm23所以功率為 ：n = f ? v = (ati + b

42、t 2j) ?m1(12 at 2i +13 bt 3j) =m1(12 a2t 3+13 b2t 5)3-7. 一質(zhì)點在三維力場中運動 已知力場的勢能函數(shù)為ep= - ax2+ bxy + cz .（ 1） 求作用力f；（ 2） 當質(zhì)點由原點運動到x= 3、y = 3、z= 3位置的過程中 ， 試任選一路徑 ，計算上述力所做的功。其中ep的單位為j，x、 y、 z的單位為m，f的單位為n .解：（1） 由作用力和勢能的關(guān)系：f = -?ep = -?(- ax2+bxy+cz)=(2ax- by)i-bxj - ck?r ?r（ 2） 取一個比較簡單的積分路徑：r = dxi + dyj +

43、 dzk， 則積分可得 ：w =f ?dr =(2ax - by)i - bxj - ck ?(dxi + dyj + dzk) =9a-9b-3c3-8. 輕彈簧ab的上端a固定 ， 下端b懸掛質(zhì)量為m的重物。已知彈簧原長為l0， 勁度系數(shù)為k， 重物在o點達到平衡 ， 此時彈簧伸長了x0， 如圖所示。取x軸向下為正 ， 且坐標原點位于 ： 彈簧原長位置o； 力的平衡位置o。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點， 試分別計算重物在任一位置p時系統(tǒng)的總勢能。解：（1） 取彈簧原長位置o為重力勢能和彈性勢能的勢能零點， 則重物在任一位置p（ 坐標設(shè)為x） 時系統(tǒng)的總勢能：ep= - mgx +

44、1kx22（ 2） 取力的平衡位置o為重力勢能和彈性勢能的勢能零點， 則重物在任一e= - mgx +1k（ x + x ）2-1kx 2位置p（ 坐標設(shè)為x） 時系統(tǒng)的總勢能：p2 02 0而 mg = kx0所以ep= - mgx +12k（ x + x0）2-12kx02=12kx23-9. 在密度為1的液面上方 ， 懸掛一根長為l， 密度為2的均勻棒ab， 棒的b端剛和液面接觸如圖所示， 今剪斷細繩 ， 設(shè)細棒只在浮力和重力作用下運動， 在21 2 1的條件下 ， 求細棒下落過程中的最大速度vmax， 以及細棒能進入液體的最大深度h。解： 分析可知 ， 棒下落的最大速度是受合力為零的時

45、候， 所以 ：2lsg = 1hsg， 則h =2l 。1在下落過程中 ， 利用功能原理 ：122slv2- 2sglh = -0h1gsydy所以 ：v=2gl1max進入液體的最大深度h 為細棒運動的速度為零時：- sglh = -h gsydy所以h =1?l2011- 223-10. 若在近似圓形軌道上運行的衛(wèi)星受到塵埃的微弱空氣阻力f的作用 ，設(shè)阻力與速度的大小成正比， 比例系數(shù)k為常數(shù) ， 即f = - kv， 試求質(zhì)量為m的衛(wèi)星 ， 開始在離地心r0= 4r（r為地球半徑 ） 隕落到地面所需的時間。解： 根據(jù)題意 ， 假設(shè)在離地心r0= 4r處質(zhì)點的速度為v1， 地面上的速度為v

46、2。提供衛(wèi)星運動的力為萬有引力：mv2= gmmv=r= 2 ， 所以20r0 r 2vr1在這個過程中阻力的作用時間可通過動量定理求出：fdt = - kvdt = mdv通過分離變量取積分， 可得：t =dt =vv2-mdv =mlnv2= mln 2kv1k vk13-11. 一鏈條放置在光滑桌面上， 用手撳住一端， 另一端有四分之一長度由桌邊下垂， 設(shè)鏈條長為l， 質(zhì)量為m， 試問將鏈條全部拉上桌面要做多 少功 ？解： 直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化， 來求做功 ， 則：w = e p=14 mg 18 l =321 mgl3-12. 起重機用鋼絲繩吊運質(zhì)量為m的物體時以速率v0勻

47、速下降 ， 當起重機突然剎車時， 因物體仍有慣性運動使鋼絲繩有微小伸長。設(shè)鋼絲繩勁度系數(shù)為k， 求它伸長多少 ?所受拉力多大 ?(不計鋼絲繩本身質(zhì)量)解： 當起重機忽然剎車時， 物體的動能將轉(zhuǎn)換為鋼絲繩的彈性勢能： 由12mv02=12kx2， 可得 ：x = mkv0分析物體的受力， 可得到繩子的拉力為：t = mg + kx = mg + mkv03-13. 在光滑水平面上， 平放一輕彈簧， 彈簧一端固定， 另一端連一物體a、a 邊上再放一物體b ， 它們質(zhì)量分別為ma和mb， 彈簧勁度系數(shù)為k， 原長為l 用力推b， 使彈簧壓縮 x0， 然后釋放。求 ：（ 1） 當a與b開始分離時 ，

48、它們的位置和速度；（ 2） 分離之后 a還能往前移動多遠?解：（1） 當 a 和 b 開始分離時 ， 兩者具有相同的速度， 根據(jù)能量守恒， 可得到：1(ma+ mb )v2=1kx02， 所以 ：v =kx0; x = l22ma+ mb（ 2） 分離之后 ， a 的動能又將逐漸的轉(zhuǎn)化為彈性勢能， 所以 ：1mv2=1kx2， 則：xa=maxm a+ mb2 a2 03-14. 已知地球?qū)σ粋€質(zhì)量為m的質(zhì)點的引力為f = -gme mr （m, r為r 3ee地球的質(zhì)量和半徑)。 （ 1） 若選取無窮遠處勢能為零， 計算地面處的勢能 ；（ 2） 若選取地面處勢能為零， 計算無窮遠處的勢能 比

49、較兩種情況下的勢能差解 ：（ 1 ）取 無 窮 遠 處 勢 能 為 零 ， 計 算 地 面 處 的 勢 能 為 ：rrrb1 1 e p =f ?dr= - gmemdr = - gme mr 2rrerae（ 2） 若選取地面處勢能為零， 計算無窮遠處的勢能為：re rr rb1 1e= f ? dr = - gme mdr = gme mr 2rrae兩種情況下勢能差是完全一樣的。3-15. 試證明在離地球表面高度為h(h re)處， 質(zhì)量為m的質(zhì)點所具有的引力勢能近似可表示為mgh.解： 由萬有引力的勢能函數(shù)值， 在離地球表面高度為h(h re)處， 質(zhì)量為m 的質(zhì)點所具有的引力勢能為：

50、- gmm= -gmm(re+ h) - gmm(re+ h) = - mg(re+ h)0 (re+ h)0 (re+ h)20 re2如果以地面作為零電勢處， 則質(zhì)點所具有的引力勢能近似可表示為mgh.思考題33-1. 求證 ： 一對內(nèi)力做功與參考系的選擇無關(guān)。證 明 ：對 于 系 統(tǒng) 里 的 兩 個 質(zhì) 點 而 言 ， 一 對 內(nèi) 力 做 功 可 表 示 為 ：a= fv1? drv1+ f2? drv2由于外力的存在， 質(zhì)點1.2 的運動情況是不同的。drv1 drv2, f1= - f2上式可寫為 ： a=f1? drv1+ f2? drv2= f ?(drv1-drv2) 也就是內(nèi)

51、力的功與兩個質(zhì)點的相對位移有關(guān)， 與參考系的選擇無關(guān)。3-2. 敘述質(zhì)點和質(zhì)點組動能變化定理， 寫出它們的表達式， 指出定理的成立條件。質(zhì)點的動能變化定理： 物體受外力f作用下 ，從 a 運動b， 其運動狀態(tài)變化，速度為v1變化到v2， 即動能變化。合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。a1- 2=12 fv?drv=12 mv22-12 mv12= ek 2- ek1質(zhì)點系的動能定理： 質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)保守力的功和質(zhì)點系內(nèi)非保守力的功三者之和。即質(zhì)點系總動能的增量等于外力和內(nèi)力 做功之和。公式表達 ：a外+ a內(nèi)非+ a內(nèi)保= ek 2- ek13-3. a和b兩物

52、體放在水平面上， 它們受到的水平恒力f一樣 ， 位移s也一樣， 但一個接觸面光滑， 另一個粗糙f力做的功是否一樣?兩物體動能增量是否一樣 ?答： 根據(jù)功的定義： w=f ? rv所以當它們受到的水平恒力f一樣 ， 位移s也一樣時 ， 兩個功是相等的；當時由于光滑的接觸面摩擦力不做功， 粗糙的接觸面摩擦力做功， 所以兩個物體的總功不同， 動能的增量就不相同。3-4. 按質(zhì)點動能定理， 下列式子 ：x2121 2x1fxdx =mvx2-mvx122y21 21 2y1fydy =mvy2-mvy122z21212z1fzdz =mvz2-mvz122是否成立 ?這三式是否是質(zhì)點動能定理的三個分量

53、式?試作分析。答： 不成立 ， 因為功是標量 ， 不分方向 ， 沒有必要這么寫。3-5. 在勁度系數(shù)為k的彈簧下 ， 如將質(zhì)量為m的物體掛上慢慢放下， 彈簧伸長多少 ?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少?答： 如將質(zhì)量為m的物體掛上慢慢放下， 彈簧伸長為mg=kx ， 所以x =mgk如瞬間掛上讓其自由下落， 彈簧伸長應(yīng)滿足能量守恒：mgx =12kx2， 所以x =2mgk3-6. 試根據(jù)力場的力矢量分布圖判斷哪些力場一定是非保守的?圖d 、 f 為非保守力 ， 因為如果對其取環(huán)路積分必定不為零。習(xí)題4-1. 如圖所示的圓錐擺， 繩長為 l， 繩子一端固定 ， 另一端系一質(zhì)量為m 的 質(zhì)點

54、， 以勻角速 繞鉛直線作圓周運動， 繩子與鉛直線的夾角為 。在質(zhì)點旋轉(zhuǎn)一周的過程中， 試求 ：（ 1） 質(zhì)點所受合外力的沖量i；（ 2） 質(zhì)點所受張力t 的沖量 it。解：v（ 1） 根據(jù)沖量定理 ：ttfdt =pvpdp = p00其中動量的變化：mv - mv0在本題中 ， 小球轉(zhuǎn)動一周的過程中， 速度沒有變化 ， 動量的變化就為0， 沖 量之和也為0， 所以本題中質(zhì)點所受合外力的沖量i 為零（ 2） 該質(zhì)點受的外力有重力和拉力， 且兩者產(chǎn)生的沖量大小相等， 方向相 反。 重力產(chǎn)生的沖量=mgt=2 mg/ ； 所以拉力產(chǎn)生的沖量=2 mg/ ， 方向為豎直向上。4-2.一物體在多個外力

55、作用下作勻速直線運動， 速度=4m/s。已知其中一力f 方向恒與運動方向一致， 大小隨時間變化內(nèi)關(guān)系曲線為半個橢圓， 如圖。求 ：（ 1） 力 f 在 1s 到 3s 間所做的功 ；（ 2）其他力在 1s 到 s 間所做的功。解：（ 1） 由做功的定義可知：w =xx12 fdx =13 fvdt = v13 fdt = v s橢圓=125.6j（ 2） 由動能定理可知， 當物體速度不變時， 外力做的總功為零， 所以當該f 做的功為125.6j 時， 其他的力的功為-125.6j。4-3. 質(zhì) 量 為m的 質(zhì) 點 在oxy平 面 內(nèi) 運 動 ，運 動 學(xué) 方 程 為r = a costi +

56、b sin tj ， 求：（ 1） 質(zhì)點在任一時刻的動量；（ 2） 從t = 0到t = 2/ 的時間內(nèi)質(zhì)點受到的沖量。解：（1） 根據(jù)動量的定義 ：p = mv = m ( - a sin t i + b costj)（ 2） 從t = 0到t = 2/ 的時間內(nèi)質(zhì)點受到的沖量等于它在這段時間內(nèi)動量的變化 ， 因為動量沒變 ， 所以沖量為零。4-4.質(zhì)量為 m=2.0kg 的物體 （ 不考慮體積 ）， 用一根長為l=1.0m 的細繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g 的子彈以v0=600m/s 的水平速度射穿物體。剛射出物體時子彈的速度大小v=30m/s， 設(shè)穿透時間極短。求：（ 1）

57、子彈剛穿出時繩中張力的大小；（ 2） 子彈在穿透過程中所受的沖量。解：（ 1） 解： 由碰撞過程動量守恒可得：mv0= mv+ mv1代入數(shù)據(jù)0.02 600 = 0.02 30 + 2v1可得 ：v1= 5.7m / s根據(jù)圓周運動的規(guī)律：t-g=mv2t = mg + mv12= 84.6nrr（ 2） 根據(jù)沖量定理可得：i = mv- mv0= - 0.02 570 = - 11.4n ? s4-5. 一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個電子和一個中微子， 巳知電子的動量為1.2 10- 22kg ?m/s， 中微子的動量為6.4 10- 23kg ?m/s， 兩動量方向彼此垂直。 （

58、1） 求核反沖動量的大小和方向；（2） 已知衰變后原子核的質(zhì)量為5.8 10- 26 kg ， 求其反沖動能。由碰撞時 ， 動量守恒 ， 分析示意圖 ， 可寫成分量式：m1sin= m2cosp = m1cos+ m2sin所以p = 1.4 10- 22kg ? m / s= - = 151.9o（ 2） 反沖的動能為：ek=2pm2= 0.17 10- 18j4-6. 一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為f = 400 - 4 105t / 3， 子彈從槍口射出時的速率為300m/s。設(shè)子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（ 1） 子彈走完槍筒全長所用的時間t； （ 2） 子彈在槍筒中所受力的沖量i；（ 3） 子彈的質(zhì)量。解：（1） 由f = 400 -4 105t / 3和子彈離開槍口處合力剛好為零， 則可以得到 ：f = 400 -4 105t / 3 = 0算出t=0.003s。（ 2） 由沖量定義 ：i =00.003 fdt =00.003（ 400 - 4 105 t / 3）