(完整版)復變函數習題答案第2章習題詳解

1、1 利用導數定義推出：1)nzn 1（ n為正整數）解：nnzzzlizm0 zzz2)解：21)解：2)解：第二章習題詳解lizm0zn nzn1 z 1nn 1zn 2 z22limz 0nzn 12znzn 1limz0zz1lizm0 zz z zlizm0 z z列函數何處可導？何處解析？fz設f只有fz設f只有fzx 2 iyz u iv ，2x ，2x2x3zu6x2，0，即 xv 0 ， v1 都是連續(xù)函數。xy1 時才滿足柯西黎曼方程。2iy 在直線i3y3iv ，則u0，x 1 上可導，在復平面內處處不解析。22x3，3v 3y3v29y2 都是連續(xù)函數。 y6x 2 9y

2、2，即 2x 3y 0時才滿足柯西黎曼方程。2x3 i3y3 在直線 2x3y 0 上可導，在復平面內處處不解析。223) f z xy ix y22解：設 f z u iv ，則 u xy 2 ， v x 2 y10u2 uvv2y2，2xy， 2xy ，x 2都是連續(xù)函數。x yxy只有 y2 x 2 且 2xy2xy ，即 x y 0 時才滿足柯西黎曼方程。f z x 2 iy 在點 0,0 處可導，在復平面內處處不解析。4) f z sin xchy i cos xshycos xchy ，sin xshy ， v解：設 f z u iv ，則 u sin xchy ， v cos x

3、shysin xshy ， v cos xchy 都是連續(xù)函數。 y完全滿足柯西黎曼方程。f z x 2 iy 在復平面內處處可導，在復平面內處處解析。3指出下列函數f z 的解析性區(qū)域，并求出其導數。1)15解：14，在復平面內處處解析。2)z3i2z解：3z22i ， f在復平面內處處解析。3)解：2z ，z2 1 21，f z 在復平面內除點 z 1 外處處解析。4)azcz dc， d中至少有一個不為0)解：acz daz b ccz dad bccz d 24當c當c0 ，則當 z0 時，則 d求下列函數的奇點：dc 時，cd， f z 在復平面內除點 z d 外處處解析。 cz d

4、 cad bcz2a， f z 在復平面內處處解析。 d1)2 zz解：令 z z21 0 ，解得 z 0 ， z i。故 f zz2zz1 有0 、 i 、1i 三個奇點。z22)22z1z2 1解：令 z 1222 z2 1 0 ，解得 z1，z i 。故 f zz222有 1、i、 i 三個奇點。z 12 z215復變函數的可導性與解析性有什么不同？判斷函數的解析性有哪些方法？解：復變函數的可導性是函數在某一點的局部性質，而解析性是函數在一個區(qū)域內的整體性質。判斷函數 的解析性有兩種法。一是用定義，利用函數的可導性判斷解析性；二是用定理：函數 f z u x,y iv x,y 在其定義域

5、 D內解析u x,y 和v x,y 在 D內點 z x iy可微，并且滿足柯西黎曼方程。6 判斷下列命題的真假，若真，請給以證明；若假，請舉例說明。1) 如果 f z 在 z0 連續(xù)，那末 f ' z0 存在；解：假命題。例如， f z x 2yi 在復平面內任意一點 z0都連續(xù)，但不滿足柯西黎曼方程，故f ' z不存在。2) 如果 f z 存在，那末 f z 在 z0 解析；解：假命題。例如， f z xy 2 ix 2y ， f z 在點 z0 0 可導，但 f z x 2yi 在 z0 點不解析。3) 如果 z0是 f z 的奇點，那末 f z 在 z0 不可導；解：假命

6、題。例如， f z x3 y3i 在復平面內處處不解析，因此處處是奇點，但f z 在x y 0上的點均可導。4) 如果 z0是 f z 和 g z 的一個奇點，那末 z0 也是 f z g z 和 f z g z 的奇點； 解：假命題。例如， f z z與 g z z 在復平面內處處不解析，即復平面內任意一點z0 都是 f z 與g z 的奇點。但 f z g z z z 0 在復平面內處處解析，即 f z g z 在復平面內沒有奇點。5) 如果 u x,y 和v x,y 可導(指偏導數存在) ，那末 f z u iv 亦可導； 解：假命題。例如，設 f z x 2yi，則u x,y x，v

7、z 2 y均可導，但不滿足柯西黎曼方程， 因此 f z 不可導。6) 設 f z u iv在區(qū)域 D內是解析的。如果 u是實常數，那末 f z 在整個 D內是常數；如果 v 是實常數，那末 f z 在 D 內也是常數。解：真命題。下面證明：因為 f z uiv 在區(qū)域D 內解析，即滿足柯西黎曼方程：v，y如果 u 是實常數，即 v 為實常數，故f在 D 內為常數。如果 v 是實常數，即u為實常數，故f在 D 內為常數。7 如果 f ziv 是 z 的解析函數，證明：證明： f zivfzu22u ux2u2v vx2vv2vyu2uy2 ufzx v 221 uv2 2 u vu v xx21

8、 uv2 2 u v u v yy2 fzy1uu2u yvvy2vxuxv2 u2v2212uuv2v22u2uvvuvxxxx22212u2v2v22uvuvuvxxx122 u xu uvxvxuvvx2 u2 v222vuv2uu2uvvxxxx2222uuvxxxf' z u i vxx22 ' 2 u v fzxx2fzx2fzy'2f'z8 設 my 3nx 2 y i x 3lxy 2 為解析函數，試確定 lm 、 n 的值。解：設 u x, y3 2 3 2my3 nx2y，v x, y x3 lxy 2，則ux2nxy ，u3my y22nx

9、 ，v23x2 xly2，vy2lxyuv2nxy2lxynlxyuv2222n33mynx3x 2 ly 23myxnl3，m 1 ，32 my nx3 y i xlxy 2為解析函數9 證明柯西黎曼方程的極坐標形式是：u 1 v u 1 vr cos r sin，于是由復合函數求導得：uuxuyuucossinrxryrxyuuxuyuursinr cosxyxyvvxvyvvcossinrxryrxyvvxvyvvr sinr cosxyxyuvuvxyyxvvvuucossinsinrxyyx證明：直角坐標與極坐標的轉換公式為x yvvvr cos ryxrsinvuurr cosrs

10、inryx即：u1v，u1vrrrru ysinuxcosu1vuuusincosryxr10證明：如果函數 f z u iv 在區(qū)域 D內解析，并滿足下列條件之一，那末 f z 是常數。121) f z 恒取實值；證明： f z 恒取實值，即 v x, y 0。f z u iv 是解析函數，所以0，即 u x, y 為常數，故z 是常數。2) f z 在 D 內解析；證明：因為u iv 在區(qū)域 D 內解析，所以vu又為 f zuxu yvvxy0 ，故 f z 是常數。3)fz在 D 內是一個常數；2uu2vv0證明：設 u 2v2cxx2uu2vv0yyuvxx0 同時uvuuvxyyyy

11、uv0uuvvxxxyxyu iv 在區(qū)域 D 內解析，所以4) arg f z 在 D 內是一個常數；證明：設 arg f z ，則1 如果2 ，則u 0，從而 x所以 v 為常數，故 f z 是常數。yyvuyyuvuv0xxuvuv0yy22vuv成立。所以0xxx0 即 u ， v 均為常數，故 f z 是常數。0 ，又 f z 在 D 內解析，uvvyxy02v02 如果，則2varctg ，于是有uuvvuxxuvvu14yyuvxxuvyyv同時u v ， u xyy成立。所以0 即 u，v 均為常數，故z 是常數。3 如果2，則v arctg ；u如果，則arctg v ，與

12、2 的討論一樣，可得到2u5) au bv c ，其中a， b與 c為不全為零的實常數。f z 是常數。證明：因為 au bvc，且 a,b與 c為不全為零，所以 a 和b不能同時為零。假設 a10 ，則有 uc bva是u是bvbvfzu iv 在區(qū)域 D 內解析，v，yv，x所以 v 為常數，故 f z 是常數。11 下列關系是否正確？1)zz ee解：設zx iy ，則 ezx iy ex iy eeiyiy2)coszcosz解：cosz1iz izee2eizizizeizcosz3)sin zsinz解：sin z1iz izee2i2iizeizee izeiz2isinz12

13、找 出下列方程的全部解：1) sinz 0解： sinz 0 ，izeeize2iz1 ，即 zn 0, 1,2,0，2) cosz 0解：coszizizee2iz0, 1, 2, 33)1 ez解：0，2n0, 1,2,4)sinzcosz解：sinz cosz 02iizizizeiz2izei，13即 zn n2證明：0,1,2,1)cos z1z2cosz1 cosz2sinz1 sinz2，sinz1z2sinz1 cosz2cos z1 sin z2證明： cosz1cosz2sin z1 sin z2iz1eiz2iz22iiz1iz12ieiz2iz21e41 ei z1 z

14、2 e122i z1 z2ei z1 z2e i z1 z2z1z2z1z2i z1z2z1z2i z1z2sin z1 cosz24i1ei z1z22iei z1z222) sin z2cos證明： sin2 ze i z1cosz12cos z1 i 2zei 2z 2 43) sin2z證明： sin令z4) tg2zz2sinz1z2i z1 z22sinzcoszz1z2z1z2證明： cos令z2ii2zcos z1z2z212iiz1iz1eiz2iz2eiz1iz112iiz2iz2i z1 z2sin z1z2i z1z24iz1z2z1 z2z1 z2z2izeizei

15、2zesin z1 cosz2 cosz1izei2zsin z2則 sin2z 2sin z coszize2tgztgz1z2cos z1 cos z2 sinz1 sinz2sin z1z2sin z1 cosz2cos z1 sin z2z1z222則 cos2z cos z sin z ，sin2z2 sin zcos z165) sin證明：tg2zsincos6) cosz 2證明：cosz令zsin2zcos2zcosz2 cos2i2sinzcosz2cos zcoscos z cossh2 y ，sin2 z 12sinzcosz2sin z2coscosziz2 esin

16、 zsinsinz22sin2icoszcosz coszcoszizeeei2x1 ixe2同理可證：sinz2i14說明：1)當y解：sin同理：2)iyiz，則 z2yixsinsinizeei2xeixe時，iylimy當 t 為復數時，izizeizzsine2yixeizsin x2yiyiz i zei2x2sin x2tgz1 tg2zie 2ecoszsh2 yizii 2 eize izeizcosziz i zeizi2xizizeizizeiz izeiz eizizizeizizi zizi zei 2x2ye2yeysh2cossh2ysin zsinzizeize

17、iz2yi2xey2iizeiz2iizeiz eize14i 2iziz iziz izizeiziz i ziy和 cosiyi2xe2sini2x e1 e2 y42ysh趨于無窮大；sin2 x sh2 ycos xsintlimysh2ylim sin x yiyiy1和 cost1不成立。20解：由于 t 為復數，可設 tiy y 0 ，則 costcosish2 y 115解：sintsiniyshy故當 t 為復數時，求 Ln i， LnLn iln主值為 lnLn 34iln主值為 ln4isin t4i1 和 cost1不成立。和它們的主值。iArg3 4iln516 證明

18、對數的下列性質：ln1 i arg iiArg 3 4iarctg 42n2n20, 1,ln 5 i4arctg 2nn 0,2,1, 2,證明： Lnz1z2lnz1z2iArg z1z2Lnz1 Lnz 2ln z1 iArgz 1所以： Lnz1z2Lnz 1 Lnz2)z1LnLnz1Lnz2z2證明： Lnz1lnz1z1 iArg 1z2z2z2所以： Lnz1Lnz1 Lnz 2ln z22ln z1z2說明下列等式是否正確：17Lnz 2ln z1 z21) Ln z1z2Lnz 1iArgzlnz21)Lnz 22Lnz解：設zireiArgz1z2 ln z1iArg z

19、1iArg z2ln z2iArg z1Lnz1iArg z2Lnz2Ln re iLn r 2ei2lnr 22n2lnr i 22n2Lnz2Ln re i2ln r i22m2ln4m0, 1,0, 1, 2,2,22所以 Lnz 2 和 2Lnz 的實部相同，但虛部不盡相同，故 Lnz 2 2Lnz 不正確。12) Ln z Lnz2解：設 z re iLn zLn re 2ln ri22n1ln r2i22nn 0, 1, 2,11i111LnzLn reln ri2mln rimm 0, 1, 2222222所以 Ln z 和 1 Lnz 的實部相同，但虛部不盡相同，故 Lnz 2

20、 2Lnz 不正確。 21 i 1 i i i 18求e 2 ，e 4 ，3i和 1 i i的值。1i解： e 2e1e 2e cosisin22ie1i1i1e4e4e44e4 cos i sin443i2n i ln3 ee22e1412iLn 3i ln 3 i2neeiiLn 1 i e2ne cos ln 3isin ln3i ln 2 2n4e2ne 4 cosln 2 i sin ln 2n 0, 1, 2,224242119證明 zaaza 1，其中 a 為實數。證明：如果 a 是整數，則aLnz eaLnz eaLnza1az如果 a 不是整數，aln z ea lnz ea

21、ln zaz20 證明：221) ch z sh z 1證明： ch2z sh2z2ze2z2ze2z 2 1222) sh z ch z ch2z ；證明： sh2z ch2ze2z2ze2z 21 2e2z2e2z2ze2zch2z3) sh z1 z2shz1chz2 chz1shz2 ， ch z1 z2chz1chz2 shz1shz2。證明： shz1chz2 chz1shz2ez1z1ez2z2ez1z1ez2z21 ez1 ez24z1 z21e 2z1e 1 ez2z1 e z21 ez1ez2 e z1ez2 ez1 e z2 e z1e z24ez1z2e z1 z2ez

22、1z2z1z2ez1z2z1 z2ez1z2z1 z2sh z1 z2chz1chz2ez21z1 z2 eez1e1ez2z1 e 1 ez2z1eez241z1 z2z1z2z1 z2z1 z21e 1 2e1e 1 2e1244shz1shz212z1eez1121z1 z2z1 z2z1 z2z1 z2e 1 e 2 e1 e 2e 1 e 2e 1 e 24z1z2z1 z2z1z2 z1z2e12 e 1 2e12 e 12 ch z1z2ez212eez12z e2ez221 解下列方程：1) shz 0 ；z in n 0, 1, 2,2)chz0；解：chz0ez e z 0 即 e2z1解： shz 0zzee0即 e2z 0z i n 1 n