變分原理實(shí)用PPT課件

1、（一） 空間 Hilbert 在引進(jìn) 空間的概念之前，我們先對(duì)線性空間等概念作簡(jiǎn)單回顧。 Hilbert1. 線性空間 定義 1 設(shè) 是某些元素的集合， 是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域。如果對(duì) 中任何元素 ，定義了一種所謂“加法”運(yùn)算 及 與 的“數(shù)乘”運(yùn)算 ，使 屬于 ，且具有性質(zhì)： HKH, x yxyaKxHax,xy axH第1頁(yè)/共160頁(yè)xyyx（1） ； （2） ； xyzxyz（3） 存在所謂“零元素” ，使H,;xxxH （4） 對(duì)任何 ，都有一個(gè)相應(yīng)的“逆元素” ， 使 ；xHxH xx （5） ；, ,xxK xH 第2頁(yè)/共160頁(yè)（6） ； 1,xx xH（7） ； , ,xxx

2、K xH （8） ， , ,xyxyK x yH則稱 是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）域上的線性空間。 H第3頁(yè)/共160頁(yè)例1定義在 上的一切連續(xù)函數(shù)的全體記作 ； 若對(duì)任意兩個(gè)元素 ，定義 , a bC, f gC , , fgxf xg xxa b , , f xf xK xa b則空間 是實(shí)線性空間，記作 C,C a b第4頁(yè)/共160頁(yè)例2 考慮有限空間 （或區(qū)域 ）上平方可 積函數(shù) ，即使 , a b f x 22baf xdxf xdx 或(1.1)成立的函數(shù)類，記作 （或 ），對(duì)于 ，顯然 均屬于 ， 且滿足性質(zhì)（1）（8），故 （或 ）空間是線性空間。 2,La b2L2,f gLa b,a

3、f fg2,La b2,La b2L第5頁(yè)/共160頁(yè) 設(shè) 為實(shí)數(shù)域 上的線性空間， 中的元素 被認(rèn)為是線性無(wú)關(guān)的，是指它們的線性組合 HKH12,nx xx1 1220nnxxx只有當(dāng)所有的實(shí)數(shù) 都等于零才成立；否則就是線性相關(guān)。 jK 可以證明，如果元素組 線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)元素 是其余元素的線性組合。 nxix11111iiiiinnxxxxx第6頁(yè)/共160頁(yè)任何含零元素的元素組都是線性相關(guān)的。 如果實(shí)數(shù)域 上的線性空間 中有一組線性無(wú)關(guān)的元素 ，且 中任一元素 ，都可以表成它們的線性組合，即 KH12,nx xxHx1 122nnxxxx(1.2) 則 稱 是 的 一 組 基

4、 底， 其 中 稱為基元素，實(shí)系數(shù) 稱為元素 在這組基底下的坐標(biāo)或投影。 12,nx xxH1,kxkn1,kknx第7頁(yè)/共160頁(yè) 如果 中的基元素個(gè)數(shù)是有限的，則稱 是有限維線性空間，否則稱為無(wú)限維線性空間，有限維線性空間 中基元素的個(gè)數(shù)稱為 的維數(shù)。 HHHH2線性賦范空間 定義2 設(shè) 為實(shí)線性空間，如果對(duì) 中每一個(gè)元 素 ，都可以賦一個(gè)與 相應(yīng)的非負(fù)實(shí)數(shù) ，且滿足條件： HHxxx第8頁(yè)/共160頁(yè)（1） ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ， 0 x 0 x 0 x （2） ，,xxK（3） ， xyxy則稱 為線性賦范空間，稱 為 的范數(shù)或模。 Hxx例3 在前面已經(jīng)講過(guò)，對(duì)任意 都可規(guī)定范數(shù) ,

5、xx tC a b第9頁(yè)/共160頁(yè) maxa x bxx t 顯然線性空間 是線性賦范空間， ,C a b例4 對(duì)于 ，規(guī)定范數(shù) 2,fLa b 122baff xdx 它顯然滿足條件（1）（3），故 是一線性賦范空間。 2,La b第10頁(yè)/共160頁(yè) 通常，對(duì)線性賦范空間的任意二元素 ，稱 的范數(shù) 為元素 間的距離，記作 ，至此，我們可以看出，在第二章所講述的最佳逼近問(wèn)題是在線性賦范空間上的逼近問(wèn)題。 , x yxyxy, x y,d x y3內(nèi)積空間 對(duì)內(nèi)積的概念，我們并不陌生，這里，對(duì)于一般抽象空間，我們按下列定義引進(jìn)內(nèi)積。 第11頁(yè)/共160頁(yè)定義 3 設(shè) 為實(shí)線性空間，若對(duì) ，恰

6、有一 實(shí)數(shù) 和它對(duì)應(yīng)，滿足 H, x yH, x y（1） ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí), ; ,0 x y 0 x ,0 x y ,xy zx zy z（2） ;（3） ;,ax ya x y（4） , ,x yy x則稱 為 與 和內(nèi)積，而稱 為內(nèi)積空間。 , x yxyH第12頁(yè)/共160頁(yè)我們知道，在內(nèi)積空間中，可定義 的范數(shù)， x,xx x因此所有的內(nèi)積空間都是線性賦范空間。 顯然，在前面所闡述的正交概念，就是在內(nèi)積空間上而引進(jìn)的。 例5 對(duì)于 維向量空間 ，定義加法和數(shù)乘運(yùn)算： nnR1122,nnxy 第13頁(yè)/共160頁(yè)1,nx 的內(nèi)積定義為 , x y1,niijx y可證它滿足內(nèi)積公理，

7、故 為內(nèi)積空間。 nR例6 對(duì)于 ，定義內(nèi)積 2,f gLa b,baf gf gdx顯然，它滿足內(nèi)積公理，故 是內(nèi)積空間。 2,La b第14頁(yè)/共160頁(yè)4 收斂性、完備性 設(shè) 是線性賦范空間， 是 中的點(diǎn)列。 H nxH定義4 如果對(duì) ，存在正數(shù) ，使當(dāng) 時(shí)，有 0 NnN0nxx則稱 為點(diǎn)列 的極限，記為 0 x nx0limnnxx或0nxxn 此時(shí)說(shuō)點(diǎn)列 收斂于一點(diǎn) 。 nx0 xH第15頁(yè)/共160頁(yè) 可以證明，收斂點(diǎn)列的極限必是唯一的，而且收斂點(diǎn)列滿足所謂 條件：對(duì) ，存在 ，使當(dāng) 時(shí)，有 Cauchy0 N, n mNnmxx 通常，我們把滿足 條件的點(diǎn)列叫做基本列?？梢?jiàn)，收

8、斂點(diǎn)列必為基本列。 Cauchy 特別指出，對(duì)實(shí)數(shù)域而言，一個(gè)極其重要的性質(zhì)是上述命題反之亦然；即凡基本列必收斂，這叫做實(shí)數(shù)域的完備性。 第16頁(yè)/共160頁(yè) 容易驗(yàn)證，內(nèi)積空間 也具有這種完備性，但是，并不是所有內(nèi)積空間都是完備的。 2,La b定義5 若線性賦范空間 的每個(gè)基本列都在 中有 極限存在，則稱 是完備的，完備的內(nèi)積空 間稱為 空間。完備的線性賦范空間稱 為 空間。 HHHHilbertBanach由此定義可知， 是 空間。 2,La bBanach第17頁(yè)/共160頁(yè) 顯然， 空間是一個(gè)具有內(nèi)積運(yùn)算的 空間，它具有較 空間更豐富的性質(zhì)。 HilbertBanachBanach

9、設(shè) 是內(nèi)積空間 的子集（記作 ），如果對(duì)任何 ，恒有 ，使 ，即 中的任一點(diǎn)都能以 中的點(diǎn)列來(lái)任意逼近，則稱 在 中稠密，或稱 是 的一個(gè)稠密子集，可以證明，任何一個(gè)不完備的內(nèi)積空間， 總可以將它完備化，使之成為一個(gè) 空間，詳言之，有 SHSHxHnxSnxxHSSHSHHilbert第18頁(yè)/共160頁(yè)定理1 任何內(nèi)積空間 均可由添加新元素的辦法而 作成一個(gè) 空間 ，且使 為 的稠密 子集。 HHilbertHHH證明 略。 以后，若不加說(shuō)明，均把 空間認(rèn)為是完備了的內(nèi)積空間，即 空間，簡(jiǎn)稱 空間。 HHilbertH第19頁(yè)/共160頁(yè)（一）算子的概念 LDD定義6 設(shè) 和 為線性賦范空間

10、 的子集，若 和 建 立了某種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即 中任一元素 對(duì) 應(yīng)于 中的一個(gè)元素 ，則稱 為算子，算 子 所作用的集合 ，稱為算子的定義域，記 作 ；而 中的元素被算子 作用后所生成的 元素集合，稱為算子 的值域，記為 。 DHDDDuD L uLLDLDLLLR第20頁(yè)/共160頁(yè)例如 （1）微分算子： 222d uDudx 是所有二次可微函數(shù)的集合， 是微分后生成的函數(shù)集合。 LDLR（2） 算子 ： Laplace222222uuuuxyz 是所有二次可微函數(shù)的集合， 是微分后生成的函數(shù)集合。 LDLR第21頁(yè)/共160頁(yè)如果對(duì)任意的 ，算子 具有性質(zhì) 12,Lu uDL(1) 可加性

11、： 1212L uuLuLu(2) 齊次性： ,LuLuK則稱 為線性算子。 L第22頁(yè)/共160頁(yè) 顯然， 算子 是線性算子，線性代數(shù)方程組所對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣 也是線性算子。而 LaplaceA2,duduLuu LuuCdxdx都是非線性算子。 如果對(duì)任意 ， ， 算子滿足條件 uLvDL ,L uvu L v(1.3)則稱 為對(duì)稱算子。 L第23頁(yè)/共160頁(yè)例如，齊次邊界條件的 算子 Laplace2222, ,00uuux yxyuun 或是對(duì)稱算子，因?yàn)橛?公式可以推出 Green,u vuv第24頁(yè)/共160頁(yè) 如果對(duì)任意 ，存在一個(gè)常數(shù) ，使得線性算子滿足條件 LuD02,Lu

12、uu(1.4)則稱算子 是正定算子，其中 L,uu u第25頁(yè)/共160頁(yè)Sobolev（三） 空間 空間是研究微分方程理論的基礎(chǔ)之一，一般來(lái)說(shuō)，邊值問(wèn)題的解（廣義解）所屬的函數(shù)空間就是 空間，這里我們只介紹一些 空間的最基本概念和性質(zhì)。 SobolevSobolevSobolev1廣義導(dǎo)數(shù) 在研究環(huán)境污染、礦產(chǎn)預(yù)測(cè)等許問(wèn)題中，常常會(huì)遇到許多函數(shù)并不處處可微，為了使得到的數(shù)學(xué)模型有解，需要進(jìn)一步擴(kuò)充函數(shù)類。用 表示 無(wú)窮次可微，且在端點(diǎn) 的領(lǐng)域內(nèi)等于0的函數(shù)類。 0,Ca b, a b, a b第26頁(yè)/共160頁(yè) 若函數(shù) ，則對(duì) ，由分部積分法有 1,u xCa b 0,v xCa bbba

13、au vdxuv dx (1.5)據(jù)此公式，我們來(lái)推廣導(dǎo)數(shù)的概念。 定義7 設(shè) ，若存在 ，使等式 2,f xLa b 2,g xLa b bbaag x v x dxfx vx dx (1.6) 0 , v xCa b恒成立，則稱 為 的廣義導(dǎo)數(shù)，記為 g x f x dffxg xdx第27頁(yè)/共160頁(yè) 由定義可知，本義導(dǎo)數(shù)必為廣義導(dǎo)數(shù)，但相反的結(jié)論則不一定成立。 例7 在通常意義下有導(dǎo)數(shù)，同 樣，對(duì) 任 意 ，也有 2f xx 0,v xCa b 222bbbaaax vx dxx v xxv x dx即 22bbaaxv x dxx vx dx 故 也是 的廣義導(dǎo)數(shù)。 2x 2f x

14、x第28頁(yè)/共160頁(yè)例8 在通常意義下于 不可微，但對(duì) ，有， f xx1,1 01,1v xC 101110 x vx dxxvx dxxvx dx 011101vdxv x dxg x v x dx 其中 1, 10,1,01xg xx 第29頁(yè)/共160頁(yè)據(jù)定義7可知， 就是 的廣義導(dǎo)數(shù)。 g x f xx定義8 設(shè) ，如果存在 ，使 對(duì) ，有 2,f xLa b 2,h xLa b 0,v xCa b 1nbbnnaad vh x v x dxf xdxdx (1.7)成立，則稱 為 的 階廣義導(dǎo)數(shù)，記作 h x f xn nnnd f xfxh xdx第30頁(yè)/共160頁(yè) 以上我們

15、僅就一維區(qū)域介紹了廣義導(dǎo)數(shù)的概念，實(shí)際上，可將這一概念平行地推廣到多維區(qū)域。 用 表示于 有無(wú)窮次可微且具有緊致支集的函類。 0CGGu 假定 是由按段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線 所圍成的有界平面區(qū)域， 是 的閉包。對(duì)于 上的任一函數(shù) ，稱集合 的閉包為 的支集，如果 的支集 ，則說(shuō) 于 具有緊致支集。容易證明，具有緊致支集的函數(shù)必在 上的某一鄰域內(nèi)恒等于零。 GGGG,u x y,0,x y u x yx yGuGGGu第31頁(yè)/共160頁(yè)若對(duì)函數(shù) ，則對(duì) 應(yīng)用 公式 ，有 1,u x yCG 0,v x yCGGreen,GGGGuuvdxdyudxdyxxuuvdxdyudxdyyy (1.8)由

16、此就可推廣偏導(dǎo)數(shù)的概念。 第32頁(yè)/共160頁(yè) 定義9 設(shè) ，若對(duì) ， 存在 使等式 2,f x yLG 0,v x yCG() ()( )2,g x yx yLGy,GGugvdxdyf x ydxdyx ,GGuvdxdyf x ydxdyy 成立，則說(shuō) 有對(duì) 的一階廣義導(dǎo)數(shù) 和對(duì) 的一階廣義導(dǎo)數(shù) ，記作fxgyy第33頁(yè)/共160頁(yè),xyfffg faxy類似地可以定義高階廣義（偏）導(dǎo)數(shù)。 可以證明，同一個(gè)函數(shù)的廣義（偏）導(dǎo)數(shù)并不唯一，但不同的廣義（偏）導(dǎo)數(shù)幾乎處處相等。所謂幾乎處處相等， 是指在區(qū)間 （或區(qū)域） 上除有限個(gè)孤立點(diǎn)（或有限條線段）不等，其它地方相等。其證明基于下列變分法基

17、本引理： 引理1 設(shè) （或 ）， 若對(duì) ，有 0,f xCa b 2,f xLa b 0,v xCa b第34頁(yè)/共160頁(yè) 0baf x v x dx 則 （或 幾乎處處為零） 0f x f x 證明 只考慮 的情況，假設(shè) ，不妨設(shè) ，則由連續(xù)性，必在充分小的鄰域 內(nèi)也大于 。取 0,f xCa b 0f x 000,f xxa b f x00axxxnb0 22100exp ,0,xxxxv x在別處,第35頁(yè)/共160頁(yè)則 ，且 0,v xCa b 002210exp0bxaxf x v x dxf xxxdx此于假設(shè)矛盾，故 。 0f x 引理2 設(shè) （或 ），若對(duì) ，有 0,f x

18、yCG 2,f x yLG 0,v x yCG第36頁(yè)/共160頁(yè) ,0Gfx y v x y dxdy 則 （或 幾乎處處為 ）。 ,0f x y ,f x y0 證明 略。 有了上述變分引理，便可證明，函數(shù)的不同的廣義（偏）導(dǎo)數(shù)幾乎處處相等。 第37頁(yè)/共160頁(yè)2 空間 Sobolev令集合 為 1HI 122,HIf fLIfLI其中 ， 是 的廣義導(dǎo)數(shù)，顯然 是線性空間。若于 引進(jìn)內(nèi)積 ,Ia bf f 1HI 1HI1,baf gfgf gdx (1.9)第38頁(yè)/共160頁(yè)和范數(shù) 12221,baff fffdx(1.10)則可以證明， 是完備的內(nèi)積空間，即為 空間。我們把這樣的

19、 空間 稱之為一階 空間。 1HIHilbertHilbert 1HISobolev同樣可定義 階的 空間 為 mSobolev mHI 2,mmHIf f ffLI第39頁(yè)/共160頁(yè)其內(nèi)積和范數(shù)分別為 0,mbkkmakf gfx gx dx(1.11) 1220,mbkmakff ffxdx(1.12)顯然，當(dāng) 時(shí)， 就是 空間， 0m 0HI 2LI00,f gf gff第40頁(yè)/共160頁(yè) 如果設(shè) 及 ，則可將二維的一階 空間定義為 ,f x y 2,xyffLGSobolev 12,xyHGf x yf ffLG 其中， 為 的廣義導(dǎo)數(shù)。于 上的內(nèi)積和范數(shù)分別為 ,xyfff 1H

20、G1,xxyyGf gfgf gf g(1.13)第41頁(yè)/共160頁(yè) 可以證明， 也是 空間。類似地還可以定義二維的 階 空間 。 1HGHilbertmSobolev mHG1222211,xyGff ffffdxdy(1.14)第42頁(yè)/共160頁(yè)二、 數(shù)學(xué)物理中的變分問(wèn)題 有許多實(shí)際問(wèn)題(如水質(zhì)水量預(yù)測(cè)、石油預(yù) 測(cè)、地震預(yù)測(cè)等)常?？梢杂闷⒎址匠虂?lái)描 述 。但是在描述同一個(gè)物理過(guò)程或現(xiàn)象時(shí)，也可以使用不同的形式。按這一形式解決實(shí)際問(wèn)題，需要找出相應(yīng)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的泛函，然后求其極值函數(shù)，從而獲得問(wèn)題的解。 本節(jié)將討論數(shù)學(xué)物理中的變分問(wèn) 題。了 解 如何將一個(gè)具體的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為泛

21、函極值的問(wèn)題。第43頁(yè)/共160頁(yè)例 9 最速降線問(wèn)題 設(shè)處在同一個(gè)鉛垂平面上的兩點(diǎn) 和 ，由一條光滑的曲線軌道聯(lián)結(jié)起來(lái)，假定有一重 物沿曲線軌道從 到 受重力作用自由下滑，摩 擦 阻力 忽略不計(jì)，求重物下降最快的路徑。0,0A11,B x yAB 下降最快，即所需時(shí)間最短，所以我們來(lái)考慮重物從 到 沿曲線 下滑所需的時(shí)間。 AB yy x第44頁(yè)/共160頁(yè) 如圖7.1，設(shè)從 點(diǎn)至曲線任一點(diǎn) 達(dá)到了速度 ，據(jù)能量守恒原理，可得，,P x yAv2dsvgydt而21dsy dx于是有 (0,0)Mxy( , )P x y( , )B x yv圖 7.1第45頁(yè)/共160頁(yè)212ydtdxgy

22、故重物從 點(diǎn)沿曲線 下滑到 點(diǎn)所需時(shí)間為A yy xB120012TxyTdtdxgy（2.1）這樣，就建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系 TT y x第46頁(yè)/共160頁(yè)于是，問(wèn)題就歸結(jié)為在所有滿足端點(diǎn)條件 1100,yy xy的 一 次 可 微的連續(xù)函數(shù)集合中，尋找使泛函（2.1）式為極小的極值函數(shù)。 當(dāng) 在某一函數(shù)的集合 中取 定一 個(gè) 函 數(shù)時(shí)，從（2.1）就得到一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值 ，我們 稱 為 的泛函，它的自變量是一函數(shù)，因 變 量 是一個(gè)普通變量。 顯然， 泛函是函數(shù)概念的推廣， 它的定義域是具有一定條件的函數(shù)組成的。TT y xyH第47頁(yè)/共160頁(yè) 研究泛函在某一函數(shù)類中的極值問(wèn)題，就是所謂

23、變分問(wèn)題。 若引入記號(hào) 11110,00,Ky yCxyy xy則最速降線問(wèn)題可如下表述： 第48頁(yè)/共160頁(yè)求 ，使?jié)M足0yK其中 由（2.1）給出。 T y 0miny KT yT y(2.2) 例 10 最小曲面問(wèn)題第49頁(yè)/共160頁(yè) 設(shè)平面上有一區(qū)域 ，邊界為 ，在 上，給定函數(shù)值 ，其中 是 上的 已知函數(shù)，于是確定了空間的一條曲線 ，最小 曲面問(wèn)題是求張緊在曲線 上的曲面中，其 面 積最小的曲面。,ux y, x ycc 設(shè)曲面的方程為 的曲面面積為,0,u x yu x yu 221uuS udxdyxy第50頁(yè)/共160頁(yè)顯然， 是 的一個(gè)泛函，其中 所屬的函數(shù)類應(yīng)取為Su

24、u1,Hu uCux y 這樣，最小曲面問(wèn)題就可以歸結(jié)為如下的變分問(wèn)題：求 ，使得0uH 0minu HS uS u(2.3)第51頁(yè)/共160頁(yè)例 11 弦的平衡問(wèn)題我們知道， 弦振動(dòng)方程為2222,uuTF x ttx如果 只與 有關(guān)，而與 無(wú)關(guān)，則為弦的平衡問(wèn)題， 滿足 , u Fxt u x 22,02.4d uTf xxldx第52頁(yè)/共160頁(yè)若將弦固定在兩個(gè)端點(diǎn)上，則有 00,02.5uu l 這樣，求弦的平衡位置就歸結(jié)為求兩點(diǎn)邊值問(wèn)題（2.4）、(2.5)。 力學(xué)上有時(shí)不從微分方 程 出 發(fā) 討 論 弦 的 平衡問(wèn)題，而從“極小位能原理”出發(fā)。據(jù)極小位能原理，弦的平衡位置（記為

25、 ）是在 滿足邊值條件（2.5）的一切可能 位 置中，使 總位能取最小者。設(shè)弦的總位能為 ，則 *uux J u第53頁(yè)/共160頁(yè) J uWW外內(nèi)其中 為應(yīng)變能，由下式給出 W內(nèi)2102TduWdxdx內(nèi) 為外力 所做的功： W外 f x10Wfudx外第54頁(yè)/共160頁(yè)從而 211002TduJ udxfudxdx210122duTuf dxdx令 102,0,0 ,HIu u uLIu au b第55頁(yè)/共160頁(yè)則顯然 ，于是據(jù)極小位能原理， 是下列變分問(wèn)題的解：求 ，使 110HIH *uux1*0uH 10*minu HJ uJ u 這樣，這了確定弦的平衡位置，便導(dǎo)致兩個(gè)不同形式

26、的數(shù)學(xué)問(wèn)題：一是兩點(diǎn)邊值問(wèn) 題（2.4）,(2.5), 另一是從極小位能原理出發(fā)得 到 的 變 分 問(wèn) 題（2.7）。實(shí)際上，為了確定弦的平衡位置，也可以從力學(xué)中 的“虛功原理”出發(fā)，即平衡位置對(duì)任意滿足齊次邊界約束條件的虛位移所做功為零。以下我們看到，這三種形式的提法在一定意義下等價(jià)，這就是本章要建立的各種變分原理的最簡(jiǎn)模型。第56頁(yè)/共160頁(yè)求解變分問(wèn)題的方法，即所謂變分法，我們將在以后討論。 第57頁(yè)/共160頁(yè) 三、二次泛函數(shù)的極值問(wèn)題 從上一節(jié)幾個(gè)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的例子可以看出，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題可以通過(guò)變分法進(jìn)行求解，而要對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題采用變分法，首要的是尋求相應(yīng)的泛函。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于給定

27、的一個(gè)具體問(wèn)題，構(gòu)造其相應(yīng)的泛函有兩種途徑：一是根據(jù)力學(xué)原理；另一則是直接從微分方程出發(fā)尋求相應(yīng)的泛函。通常，我們更感興趣的是后一種途徑，因?yàn)閷?duì)一個(gè)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，建立其相應(yīng)的微分方程模型已相當(dāng)成熟。因此，我們從這一節(jié)開(kāi)始討論如下問(wèn)題：如何根據(jù)給定的微分方程 ，構(gòu)造相應(yīng)的泛函數(shù)，然后建立與微分方程等價(jià)的變分問(wèn)題。為此，我們先考察最簡(jiǎn)單的算子方程Luf第58頁(yè)/共160頁(yè)Axb 這 是 一個(gè) 線性 方程組，我們 來(lái) 建 立它與二次泛函極小值的等價(jià)關(guān)系。然后再把這一原理推廣到一般形式。 設(shè) 為 維歐氏空間，令nRn12,Tnx 12,nbb bb第59頁(yè)/共160頁(yè)111212122212nnnnn

28、naaaaaaAaaa考慮以 為變量二次泛函數(shù)x ,11nnijijiii jiF xab ,Ax xb x第60頁(yè)/共160頁(yè) 我們先看一下 取極值的必要條件。由微分學(xué)可知，若 于 取極值，則必有 F x F x0 x 000010,TxxnkFx注意到： ,11111 =nnijijiii jinnniijjiiijiF xabab 從而有第61頁(yè)/共160頁(yè)則有 010,1,2,nikkiikiaabkn11111 =()nnkjjikikjiknnkiiikikiinikkiikiFaabaabaab =令 000010,TxxnkFx第62頁(yè)/共160頁(yè)假定 ,即 為對(duì)稱矩陣,則 i

29、kkiaaA 012,1,2,nkiikiab kn顯然,若令 1,2J xAx xb x(3.1)則二次泛函 于 取極值的必要條件是 J x0 x第63頁(yè)/共160頁(yè) 01nkiikiab即 是線性代數(shù)方程組 0 xAxb (3.2)的解。進(jìn)一步,有 第64頁(yè)/共160頁(yè) 定理 2 設(shè) 為對(duì)稱正定矩陣,則下列兩個(gè)問(wèn)題等價(jià):A(1) 求 ,使 0nxR 0minnx RJ xJ x ( 3.3) 其中 是由(3.1)定義的二次泛函。 J x（2）求下列方程組的解： 第65頁(yè)/共160頁(yè)Axb(3.4)為證定理2，先證下面的引理。引理 設(shè) ，若 于 取極小值，則 于 取極小值；反之，若 于 取極

30、小值，則 于 取極小值。 0J xx J x0 x 0 0 J x0 x證明 如果 于 取極小值，則對(duì) ，有 J x0 x0第66頁(yè)/共160頁(yè) 0000J xxJ x 即 于 取極小值。反之，如果 于 取極小值，則對(duì) 。 0 00 x 0010J xxJ x即 于 取極小值。引理證畢。 J x0 x下面證明定理2第67頁(yè)/共160頁(yè)首先把 寫成 0J xx 0001,2AxAx xxb xx200001,2AxxAxxAx xAx x0,b xb x第68頁(yè)/共160頁(yè) 000,2,2J xAxxAx xb x2,2Ax x因?yàn)?是對(duì)稱矩陣，從而 ，故A00,AxxAx x 20,2J xA

31、xb xAx x （3.5） 第69頁(yè)/共160頁(yè)如果 于 取極小值，即 于 取極小值，則有 J x0 x 0 00,0,nAxb xxR 從而 ，即 是 的解，又 00Axb0 xAxb 0,0,Ax xx 故 必為正定矩陣。 A第70頁(yè)/共160頁(yè) 反之，設(shè) 是對(duì)稱正定矩陣， 是方程組的解，即A0 x00Axb則由（3.5）得 20,2J xAx x 20,0 ,0,2Ax xx第71頁(yè)/共160頁(yè)即 于 取極小值。定理2證畢。 J x0 x 定理2 表明，在矩陣 為對(duì)稱正定的條件下，求二次泛函（3.3）的極值問(wèn)題和求線性代數(shù)方程組(3.4)的解是等價(jià)的。根據(jù)這一定理，我們 就可以通過(guò)類比

32、的方法，建立一般的微分方程與相 應(yīng)變分問(wèn)題的等價(jià)關(guān)系。A 讓我們進(jìn)一步分析例11中位能的內(nèi)部結(jié)構(gòu),引進(jìn)微分算子： 第72頁(yè)/共160頁(yè)2,d uLuTdx 于是，位能表達(dá)式（2.6）可寫成 1,2J uLu uf u與（3.1）式比較： 第73頁(yè)/共160頁(yè)10nHRLAfb便知 和 有完全相似的結(jié)構(gòu)。記住這點(diǎn)，就可直接從微分方程出發(fā)構(gòu)造相應(yīng)的泛函數(shù)了。實(shí)際上，如果微分方程問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的算子是對(duì)稱正定算子時(shí)，就一定可以找到如（3.6）式所表示的泛函數(shù),從而化為一個(gè)變分問(wèn)題。 J u J x第74頁(yè)/共160頁(yè)四、一維的變分問(wèn)題 我們知道,河間地塊區(qū)域的一維穩(wěn)定流問(wèn)題,可歸結(jié)為下列微分方程數(shù)學(xué)模型

33、： ,00,0,dduTxdxdxuu l 其 中 ，為 水 頭 函數(shù)， 、 是兩側(cè)定水頭的補(bǔ)給邊界, 為 承 壓 含水層的越流補(bǔ)給強(qiáng)度。此處假設(shè) 為連續(xù)函數(shù)，含水層介質(zhì)均勻且各向同性。 121xu xh xhhhl1h2h x x第75頁(yè)/共160頁(yè) 對(duì)于污染質(zhì)濃度擴(kuò)散問(wèn)題，可以歸結(jié)為下列模型 ,0,0,ddcDf xdxdxc aDc b 總之，有許多實(shí)際問(wèn)題可歸結(jié)為下面一般的橢圓型方程邊值問(wèn)題 ,4.1,.4.2dduLuPquf axbdxdxu aa u b 第76頁(yè)/共160頁(yè) 這里，只要做適當(dāng)變換，就可將邊界條件（4.2）齊次化。因此我們只需考察 ,4.30,0.4.4dduLu

34、pquf xa bdxdxu au b從此邊值問(wèn)題出發(fā)，來(lái)構(gòu)造與之等價(jià)的變分問(wèn)題。 在（4.3）、(4.4) 中 ，假 定 且, 根 據(jù)（三）所述，可構(gòu)造泛函數(shù)： 1,pCIqC I min2min0,0,x Ip xp xpqfLIIa b第77頁(yè)/共160頁(yè) 1,2J uLu uf u21122bbbaaaddupudxqu dxfudxdxdx 由分部積分公式，并注意到條件（4.4），可得 2bbbbaaaaddududupudxpupdxfudxdxdxdxdx 第78頁(yè)/共160頁(yè)于是有 221122bbbaaaduJ updxqu dxfudxdx令 ,4.5badu dva u

35、vpquv dxdx dx便得 1,(4.6)2J ua u uf u第79頁(yè)/共160頁(yè) 設(shè) （顯然它為 的子空間），則與邊值問(wèn)題（4.3）、（4.4）相應(yīng)的變 分問(wèn)題為： 12,0EHu u uLu a且1H求 ，使1*EuH 1*min4.7Eu HJ uJ u其中 由（4.6）式給出。 J u第80頁(yè)/共160頁(yè) 注意在問(wèn)題（4.3）、(4.4)中,要求 ,而在變分問(wèn)題 (4.7) 中只要 , 且 滿足 即可。因此變分問(wèn)題（4.7）允 許 有非 光滑解 ，我們把這樣的解稱之 為 邊 值問(wèn)題（4.3）、(4.4)的廣義解,而 把（4.3）、(4.4 )的二次連續(xù)可微解 稱之為古典解。 2

36、uCI 22,uLIuLI 0u a *uux*u 可以證明，當(dāng) 二次連續(xù)可微時(shí)，邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4)與變分問(wèn)題（4.7）等價(jià)，即有下列變分原理。 u x第81頁(yè)/共160頁(yè) 定 理 3 設(shè) 是 邊 值 問(wèn) 題（4.3）、(4.4) 的解，則 使 達(dá) 到 極小 值；反之，若 使 達(dá)到極小值，則 是邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4) 的解。 02*,fCIuC*u J u21*EuCH J u*u 在證明此定理之前，我們先 討 論 由（4.5）定義的 的性質(zhì),它在今后的討論中將起關(guān)鍵作用。 ,a u v 具有如下性質(zhì)： ,a u v第82頁(yè)/共160頁(yè)(1) 對(duì) 具有線性，即 , u v1

37、 1221122,a cuc u vc a u vc a u v1 1221122,a u c vc vc a u vc a u v 是常數(shù)。據(jù)此，稱 為雙線性泛函數(shù)或雙線性形式。12,c c,a u v第83頁(yè)/共160頁(yè)（2）對(duì)稱性，即 1,a u va v uu vHI這是因?yàn)?，即 為對(duì)稱算子。 ,Lu vu LvL（3）正定性，即 211,4.8Ea u ur uuH 第84頁(yè)/共160頁(yè)其中 為某一確定常數(shù)。 0事實(shí)上，由于222min,bbaadudua u upqu dxpdxdxdx據(jù) 不等式，有Schwarz第85頁(yè)/共160頁(yè) 221xxbaaau xu t dtdtu

38、dt22bauxau dt22bbbaaau dxxa dxu dx212babau dx第86頁(yè)/共160頁(yè)即有222112bbaau dxu dxba從而有 22min11,22bbaaa u upu dxudx22min21122bbaapu dxu dxba第87頁(yè)/共160頁(yè)取 211min,02ba則有22min,bbaaa u upu dxu dx21u其中， 。minp第88頁(yè)/共160頁(yè)（4）連續(xù)性，即對(duì) ，有 1, u vH11,4.9a u vM uv其 是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)。 M, u v事實(shí)上，若設(shè) ,p xM q xM第89頁(yè)/共160頁(yè)則由 不等式，就有 Schwar

39、z,baa u vpu vquv dx bbaaMu v dxuvdx Muvu v112M uv11M uv第90頁(yè)/共160頁(yè)下面證明定理3。 證明 由于當(dāng) 時(shí)， 211*,EEuCHvH *,a u vf v*badu dvpqu vfv dxdx dx *4.10baLuf vdxp b ub v b*bbaaduddupdvpquf vdxdxdxdx第91頁(yè)/共160頁(yè)如果 是邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4)的解，則*u *0,0Lufub從而 1*0,0,Ea u vf vvH 據(jù) 的對(duì)稱性，可知,a u v第92頁(yè)/共160頁(yè) *J uv *1,2a uv uvf uv*1,22

40、a u ua u va v u 2*,2a v vf uf v 2*,4.112J ua u vf va v v第93頁(yè)/共160頁(yè)又由 的正定性，有,a u v *J uv 2*,02J ua v vJ u0,0v故 使 達(dá)到極小值。 *u J u第94頁(yè)/共160頁(yè) 反之，若 使 達(dá)到最小值，則由（4.10）、(4.11)得 *u J u *0,a u vf v *0,baLuf vdxp b ub v b14.12EvH 第95頁(yè)/共160頁(yè)特別取 ，則 0vCI *00,baLuf vdxvCI 據(jù)引理1， 滿足方程*u*0Luf于是（4.12）成為 第96頁(yè)/共160頁(yè) 1*0,0E

41、p b ub v bvHp b 取 211,0,xxaxxbv x在別處則 ,且 ,可見(jiàn) 必須滿足右邊值條件 1EvH 0v b *u *0ub證畢。 第97頁(yè)/共160頁(yè) 通常，把形如（4.7）的 變分問(wèn) 題稱為 形式的變分問(wèn)題；把定理3稱為極小位能 原理；把方程（4.3）稱為和泛函數(shù) 相關(guān)的 方程。Ritz J uEuler 注意，變分問(wèn) 題（4.7）和 等 價(jià) 的 邊 值問(wèn) 題（4.3）、(4.4)比較，表面上少了一個(gè)邊值條件 ，實(shí)際上，從定理3的證明過(guò)程中可以看出，這個(gè)邊界條件已經(jīng)包含在變分問(wèn)題之中了，也 就是說(shuō)，只 要函數(shù) 使 取極小值，則它 必然 滿足該條件。這種自動(dòng)在變分問(wèn)題中得

42、到滿足的邊界條件稱為“自然邊界條件”。而作為變分問(wèn)題的約束條件列出的邊界條件 ，稱為 形式的變分問(wèn) 題，即有下列變分原理。 0u b *ux J u 0u a Galerkin第98頁(yè)/共160頁(yè) 定理4 設(shè) ，則 是邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4)的解的充要條件是：2uCu 且滿足變分方程1EuH 1,0,4.13Ea u vf vvH 證明 先證必要性。 第99頁(yè)/共160頁(yè)2uCv 設(shè) 是邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4)的解，以 乘方程（4.3）兩端，沿 積分，得, a b0bbaadduLuf vdxpvquvfv dxdxdv利用分部積分公式和邊值條件(4.4)有bbbaaaddudud

43、u dvpvdxpvpdxdxdxdxdx dx badu uvpdxdx dx第100頁(yè)/共160頁(yè)從而可得0badu dvpquvfv dxdx dx即對(duì) , 滿足： 1EvH u ,0a u vf v再證充分性。第101頁(yè)/共160頁(yè)當(dāng) 時(shí)，有211,EEuCHvH,badu dva u vpquv dxdx dxbbbaaaddupu vvpdxquvdxdxdx ,p b u b v bLu v第102頁(yè)/共160頁(yè)即對(duì) ，若 滿足（4.13）則必有1EvH u ,0Lu vf vp b u b v b特別取 ，則 ，且0vC1EvH ,0Lu vf v第103頁(yè)/共160頁(yè)即0ba

44、Luf vdx據(jù)變分法基本引理，得Luf同時(shí)得到 10,Ep b u b v bvH第104頁(yè)/共160頁(yè)取 211,0,xxaxxbv x在別處則 ，注意到 ，便有 1,0EvHv b 0p b 0u b故 是邊值問(wèn)題（4.3）、(4.4)的解。證畢。u第105頁(yè)/共160頁(yè) 在變分問(wèn)題（4.13）中，左端表示力學(xué)里的“虛功”，所以也稱定理4為虛功原理。同極小位能原理一樣，變分問(wèn)題（4.13）也允許有非光 滑解，即邊值問(wèn)題的廣義解。 從以上的討論可以看出，將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為等價(jià)的變分問(wèn)題，一個(gè)方便之處是定解條件可以減少，自然邊界條件不必作為泛函求極值的約束條件列出，而只要求本質(zhì)邊界條件就夠了，

45、一般說(shuō)，在數(shù)值計(jì)算中處理本質(zhì)邊界條件是較為簡(jiǎn)單的。第106頁(yè)/共160頁(yè) 另外，變分問(wèn)題還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，就是允許有非光滑解（廣義解）存在，而這種解對(duì)于邊值問(wèn)題來(lái)說(shuō)就沒(méi)有意義了。但是許多物理、力學(xué)現(xiàn)象，必須用非光滑函數(shù)才能真實(shí)的描述它，因此研究變分問(wèn)題較研究邊值問(wèn)題更具有實(shí)用性。 特別 指出 ， 虛功原理比位能原理更具有一般性，它不僅適用于正定算子方程，而且也適用于非對(duì)稱正定算子方程。容易看出，當(dāng)算子方程正定時(shí)，虛功原理與極小位能原理是等價(jià)的（如（4.7）與(4.13)等價(jià)），但是對(duì)于非 對(duì) 稱 情 形，不具有這種等價(jià)性，此時(shí)只能應(yīng)用虛功原理。所以對(duì)一般情況，虛功原理應(yīng)用得更廣泛些。第107頁(yè)/共

46、160頁(yè)五 二維變分問(wèn)題 本節(jié)以橢圓型方程為例，討論二維區(qū)域上的變分問(wèn)題。 一 第一類邊值問(wèn)題 設(shè) 為平面區(qū)域， 為其邊界，選擇模型為 GG ,0Guf x yx yGu5.15.2第108頁(yè)/共160頁(yè) 實(shí)際上，有許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為這一模壓縮流體通過(guò)多孔介質(zhì)的定常流動(dòng)問(wèn)題等。型，如靜止流場(chǎng)中的二維彌散問(wèn)題，二維不可 5.1 , 5.2 022,f x yCGxyLaplace 在模型 中， 等價(jià)的變分問(wèn)題。為 算子。仿造一維情形，我們來(lái)討論與 5.1 , 5.2第109頁(yè)/共160頁(yè)1、極小位能原理 構(gòu)造泛函數(shù) 1,2J uu uf u12GGu udxdyfudxdy5.3注意到2222

47、uuu vvvxy uuuuuuvvxxyyxxyy 第110頁(yè)/共160頁(yè)利用 公式，我們得到 Green其中 表示邊界 的單位外法向， 是 沿 的方向?qū)?shù)。 nGunun通常稱 為 第一公式。5.4GreenGGGu vu uuu vdxdydxdyvdsx xyyn 5.4第111頁(yè)/共160頁(yè)記 則對(duì) 102,0 ,GHGu u uL u 10,u vHG5.4 右端成為 于是，可將泛函數(shù) 寫成 5.3 1,2J ua u uf u,Gu vu va u vdxdyx xyy 第112頁(yè)/共160頁(yè)21,a u ur u5.7其中， 是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)。 0r u其中， 與一維情形一樣，

48、也,a u v具有雙線性性質(zhì)，且滿足對(duì)稱性，即,a u va v u 10,u vHG正定性，即對(duì) 10uHG 第113頁(yè)/共160頁(yè) 這樣，相應(yīng)于邊值問(wèn)題 的變分問(wèn)題就有如下提法： 5.1 , 5.2 1*0,uHG求 使 10*minu HGJ uJ u5.8 可以證明，邊值問(wèn)題 與變 分問(wèn)題 等價(jià)，即 5.1 , 5.25.8第114頁(yè)/共160頁(yè) *,a u uf uuf u 定理5 設(shè) 是邊值問(wèn)題 的解，則 使 達(dá)到極小值，反之，若 使 達(dá)到極小值，則 是邊值問(wèn)題 的解。 2*uCG 5.1 , 5.2 J u 21*0uCGHG J u*u 5.1 , 5.2*u證明 設(shè) ，則由

49、可得 5.4 , 5.5 21*0uCGGG第115頁(yè)/共160頁(yè)若 是邊值問(wèn)題 的解，則由 *u 5.1 , 5.2 *J uu 2*(),2J ua u uf ua u u5.9可得 *0,0a u uf uuf u 10( )uHG 第116頁(yè)/共160頁(yè) 從而由 的正定性，有 ( , )a u u100,( ),0,uuHG 2*(),2J uuJ ua u uJ u故 使 達(dá)到極小值。 *u J u 21*0uCGHG 反之，若 ，使 達(dá) 到極小值， 則對(duì) ， 有 J u10( )uHG 第117頁(yè)/共160頁(yè)特別取 ，得 0uCG*,0uf u0uC 據(jù)引理2 ， 滿足方程*u*u

50、f邊值條件也已滿足，故 必為 的解。證畢。 *u 5.1 , 5.2 *0,0a u uf uuf u 第118頁(yè)/共160頁(yè) 下面討論非齊次的第一邊值問(wèn)題 由于 在力學(xué)、物理學(xué)中表示能量， J u 解，我們稱之為邊值問(wèn)題的廣義解。5.8 2CG變分問(wèn)題 也允許存在不屬于 的 的變分原理。與一維變分問(wèn)題一樣， 顯然，Ritz 所以也稱定理5為極小位能原理或 形式第119頁(yè)/共160頁(yè)在 上，取一函數(shù) ，使得 若令 ，則 滿足方程 G20uC0,Gux y0uuuu0ufu和齊次邊值條件 ，這樣就可以對(duì) 列出變分問(wèn)題 。u0Gu ,Gufx yGux y5.105.11第120頁(yè)/共160頁(yè)構(gòu)造

51、 的泛函數(shù) u 01,2J ua u ufu u 00001,2a uu uufu uu 001,2a u uf ua u uu u 000001,2a u uf uu u 00,J ua u uu u 常數(shù)第121頁(yè)/共160頁(yè)由 第一公式 Green5.4故 J uJ u常數(shù) 00,a u uu u000GGuuuudxdyu udxdyxxyy 00GGuuudsdsnn 常數(shù)第122頁(yè)/共160頁(yè)由此可見(jiàn)，變分問(wèn)題 100*minuHJ uJ u等價(jià)，且 *0uuu據(jù)定理5，非齊次邊值問(wèn)題 與變分問(wèn)題 等價(jià)。 5.10 , 5.115.12與5.12 1*minGu HuJ uJ u第

52、123頁(yè)/共160頁(yè)二、 虛功原理 類似于一維情形，我們來(lái)構(gòu)造對(duì)應(yīng)邊值問(wèn)題 的另一變分形式。 從而建立所謂虛功原理。 5.1 , 5.2以 乘 兩端并在 上積分，得 5.1vG0Guf vdxdy5.13由 第一公式及邊值條件 ，得Green5.2第124頁(yè)/共160頁(yè)GGuvuvuvdxdydxdyxxyy記,Guvuva u vdxdyxxyy于是， 式成為 5.3 ,0a u vf v5.14第125頁(yè)/共160頁(yè) 即若 是邊值問(wèn)題 的解，則對(duì)一切 滿足方程 。反之，若對(duì) 滿足 則可按定理5 的證明方法，推出 是邊值問(wèn)題 的解，于是有 2uC 5.1 , 5.210,vH u5.1410

53、,vH u 5.14 5.1 , 5.2u 定理6 設(shè) ，則 是邊值問(wèn)題 的充要條件是： 且滿足變分方程 2uCGu5.1 ,5.210uH第126頁(yè)/共160頁(yè) 因?yàn)?左端在力學(xué)里表示虛功，故亦稱定理6為虛功原理，或 形式的變分原理。顯然，當(dāng) 對(duì)稱正定時(shí)，它與極小位能原理等價(jià)。 5.15Galerkin,a u v ,0a u vf v10vH 5.15第127頁(yè)/共160頁(yè)二、其它邊值問(wèn)題 (一)、 第二或第三類邊值問(wèn)題 在 上給定第三類邊值問(wèn)題 G,ufx yG5.160,0,Guun 5.17其中， 是 的外法線方向， 當(dāng)常數(shù) 時(shí)，上述問(wèn)題即為第二邊值問(wèn)題。 nG0第128頁(yè)/共160

54、頁(yè) 類似于前面的推導(dǎo)我們可以得到如下變分問(wèn)題： 求 ，使 1*uH*min ( )J uJ u5.18和求 ，使 對(duì)一切 ，滿足 1uHu1vH ,0a u vf v5.19第129頁(yè)/共160頁(yè)其中 1( ),02J ua u uff u5.20,GGuvuva u vdxdyuvdsxxyy 仿照前面的證法，可以推出，當(dāng) 二次連續(xù)可微時(shí)，邊值問(wèn)題 與變分問(wèn)題 等價(jià)。 u 5.16 . 5.17 5.18 . 5.19第130頁(yè)/共160頁(yè) 與一維情形一樣，第一邊值條件與第二、第三邊值條件有重大區(qū)別，前者為本質(zhì)邊值條件，后者為自然邊值條件。 (二)、混合邊值條件 設(shè)邊界 分成互不相交的兩部分

55、： 和 ，且分別滿足 G1G2G1200GGuuun 第131頁(yè)/共160頁(yè)此時(shí)，只要注意到 2,GGuvuva u vdxdyuvdsxxyy便可列出對(duì)應(yīng)的變分問(wèn)題。 以上我們以橢圓型方程邊值問(wèn)題為模型，討論了變分原理。實(shí)際上，對(duì)于其它類型的定解問(wèn)題也可以給出相應(yīng)的變分原理。此處不再贅述 。第132頁(yè)/共160頁(yè)六、 變分問(wèn)題的近似計(jì)算 前面我們討論了微分方程邊值問(wèn)題和相應(yīng)泛函的變分問(wèn)題之間的關(guān)系，將求解微分方程邊值問(wèn)題歸結(jié)為求解相應(yīng)的變分問(wèn)題。剩下的問(wèn)題就是如何求解變分問(wèn)題。 通常情況下，很難或不可能求到變分問(wèn)題的準(zhǔn)確解，而只能求到問(wèn)題的近似解， 和 方法是最重要的一種近似解法，它是有限元

56、法的基礎(chǔ)。 RitzGalerkin第133頁(yè)/共160頁(yè)一、 方法 Ritz 設(shè) 是 等 空間，這樣的空間是無(wú)限維的，顯然 形式的變分問(wèn)題與 形式的變分問(wèn)題是在無(wú)限維空間 中求 ，使得 1110,EHHHVVSobolev*uRitzGalerkin *()minu VJ uJ u6.1或*,a u vf vvV 6.2第134頁(yè)/共160頁(yè) 正是由于 是無(wú)限維空間，所以給求解帶來(lái)了極大的困難。 和 方法的基本思想就是用有限維空間近似代替無(wú)限維空間，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多元二次函數(shù)的極值問(wèn)題。因此，這種方法的關(guān)鍵在于如何選取有限維空間。 RitzGalerkinV考慮 形式的變分問(wèn)題： Rit

57、z求 ，使得 uV ( )min(6.3)u VJ uJ v第135頁(yè)/共160頁(yè)其中， 1,2J ua u uf u 設(shè) 是 的 維空間， 是 的一組基底，稱為基函數(shù)，則 即對(duì) 中任一元素 ，有nVnVVn1,2,n 1,2,nnVspan nVnv1nniiivc6.4第136頁(yè)/共160頁(yè) 其中， 是實(shí)常數(shù)，這里 也稱為試探函數(shù)空間。我們以 代替 ，在 上解極小問(wèn)題，得到的近似問(wèn)題是：求 使得 1,2,ic innVnVnVVnnuV()minnnnnuVJ uJ u6.5 現(xiàn)在的問(wèn)題是：選取系數(shù) ，使 取極小值。注意到 icnJ v第137頁(yè)/共160頁(yè) 于是問(wèn)題 可轉(zhuǎn)化為求以 為自變

58、量的二次函數(shù)的極小問(wèn)題。由于對(duì)稱正定，所以由第三節(jié)的二次泛函的極值問(wèn)題可知， 式在 達(dá)到 極小的充分必要條件是 6.512,nc cc,a u v6.6 000012,Tncccc 1,2nnnnJ va u vf v,1111( ,)2nnniijjjjijjaccfc6.6,111,2nnijijjji jjac ccf 第138頁(yè)/共160頁(yè)00njcJ vc1,2,jn即 滿足 00012,nccc 01,nijijiacf 1,2,jn6.7這是一個(gè)以 為未知數(shù)的 00012,Tnccc第139頁(yè)/共160頁(yè) 線性代數(shù)方程組，因?yàn)橄禂?shù)行列式不為零，所以有唯一的解，求出 后，代到 式，

59、就得出 式的解，即 的近似解 (0)ic6.46.56.3 01nniiiuc二、 方法 Galerkin考慮 形式的變分問(wèn)題 Galerkin第140頁(yè)/共160頁(yè)求,u V使得 ,06.8a u vf vv V 類似于Ritz法，以,nVV代替得到近似的變分問(wèn)題： ,06.9nnnnnnnuVa u vf vvV 求使得第141頁(yè)/共160頁(yè) 0,11,(,)nnnnnijijji jja uvf vaccf 0,11(),0nnijijjjiacfc ,nnu v6.9 得 設(shè) 中的任一元素 ，問(wèn)題 nV1nniiivc6.9 01nniiiuc。 為此，將 代入 式， 的解為 ，下面我們來(lái)確定 01,2,ic