第講線性微分方程解的結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第講線性微分方程第講線性微分方程(wi fn fn chn)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)第一頁(yè)，共35頁(yè)。第四節(jié) 二階常系數(shù)(xsh)線性微分方程一、高階線性微分方程(wi fn fn chn)的一般理論二、二階常系數(shù)(xsh)齊線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解第1頁(yè)/共35頁(yè)第二頁(yè)，共35頁(yè)。一、高階線性微分方程的一般(ybn)理論 n 階線性方程的一般(ybn)形式為 )()()()(1)1(1)(。xfyxpyxpyxpynnnn 0)( 階齊線性微分方程；時(shí)，稱為當(dāng)nxf 0)( 階非齊線性微分方程；時(shí)，稱為當(dāng)nxf ) , 2 , 1 ( )( 數(shù)方程；均為常數(shù)時(shí)，稱為

2、常系當(dāng)nixpi ) , 2 , 1 ( )( 系數(shù)方程。不全為常數(shù)時(shí)，稱為變當(dāng)nixpi第2頁(yè)/共35頁(yè)第三頁(yè)，共35頁(yè)。二階線性微分方程(wi fn fn chn)的一般形式為 )()()(。xfyxqyxpy : 0)( 時(shí)，方程稱為齊方程當(dāng)xf 0)()(。 yxqyxpy) 1 ()2(通常稱 ( 2 ) 為 ( 1 ) 的相對(duì)(xingdu)應(yīng)的齊方程。 我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至 n 階線性方程中。 第3頁(yè)/共35頁(yè)第四頁(yè)，共35頁(yè)。1. 二階齊次線性微分方程(wi fn fn chn)的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)(1) 疊加原理(yunl)是二階齊線性微分方程和若

3、 )( )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，則它們(t men)的線性組合)()(2211xycxyc也是方程 (2) 的解，)2( ) ( 21。不一定相互獨(dú)立為任意常數(shù)、其中cc你打算怎么證明這個(gè)原理？第4頁(yè)/共35頁(yè)第五頁(yè)，共35頁(yè)。證 )2( )()()( 2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy) )()()() )()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq)()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq)()()()()(1111xyxqxyxpx

4、yc )()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000， )2( )()()( 2211的解。的解。為方程為方程即即xycxycxy第5頁(yè)/共35頁(yè)第六頁(yè)，共35頁(yè)。0)()()(1)1(1)(yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 階齊線性微分方程是若nnixyi的解，則它們(t men)的線性組合niiixycxy1)()(也是方程(fngchng) (2) 的解。 ) ( ) , 2 , 1 ( 。不一定相互獨(dú)立為任意常數(shù)其中nici)2(第6頁(yè)/共35頁(yè)第七頁(yè)，共35頁(yè)。在什么情況下，疊加所得可以(ky)成為方程 (2) 的通解？第7頁(yè)/共35頁(yè)第八頁(yè)，

5、共35頁(yè)。(2) 線性無(wú)關(guān)(wgun)、線性相關(guān) )()( 21上有定義。上有定義。在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Ixyxy 21，使得，使得和和若存在不全為零的常數(shù)若存在不全為零的常數(shù)cc 0)()(2211，Ixxycxyc )( )( 21上是線性相關(guān)的。上是線性相關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixyxy )( )( 21上是線性無(wú)關(guān)的。上是線性無(wú)關(guān)的。在區(qū)間在區(qū)間與與否則稱函數(shù)否則稱函數(shù)Ixyxy第8頁(yè)/共35頁(yè)第九頁(yè)，共35頁(yè)。時(shí)，才有時(shí)，才有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 0 21 cc 0)()(2211，Ixxycxyc )( )( 21上線性無(wú)關(guān)。上線性無(wú)關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與則則Ixy

6、xy第9頁(yè)/共35頁(yè)第十頁(yè)，共35頁(yè)。 例證 sin cos 線性無(wú)關(guān)的。線性無(wú)關(guān)的。在任何一個(gè)區(qū)間上均為在任何一個(gè)區(qū)間上均為與與證明：證明：xx sin cos 全為零全為零上線性相關(guān)，則存在不上線性相關(guān)，則存在不在某區(qū)間在某區(qū)間與與若若Ixx )0( 221，使，使不妨設(shè)不妨設(shè)，的常數(shù)的常數(shù)ccc 0sincos21，Ixxcxc tan 21。即即Ixcccx由三角函數(shù)知識(shí)(zh shi)可知，這是不可能的，故 sin cos線性無(wú)關(guān)的。線性無(wú)關(guān)的。在任何一個(gè)區(qū)間上均為在任何一個(gè)區(qū)間上均為與與xx第10頁(yè)/共35頁(yè)第十一頁(yè)，共35頁(yè)。 例證 1sin cos 22線性相關(guān)的。線性相關(guān)的。

7、在任何區(qū)間上均為在任何區(qū)間上均為與與證明：證明：xx ) ,( 1 21時(shí)，有時(shí)，有，則當(dāng)，則當(dāng)取取xcc 01sincos) 1(sincos222221，xxxcxc 1sin cos 22線性相關(guān)的。線性相關(guān)的。在任何區(qū)間上均為在任何區(qū)間上均為與與故故xx第11頁(yè)/共35頁(yè)第十二頁(yè)，共35頁(yè)。朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 )()( 21上有定義，且有一階上有定義，且有一階在區(qū)間在區(qū)間、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)Ixyxy )()()()( )(),(212121xyxyxyxyxyxyW )()( 21上的朗斯基行列式。上的朗斯基行列式。在區(qū)間在區(qū)間、稱為函數(shù)稱為函數(shù)Ixyxy 導(dǎo)數(shù)，則行列

8、式導(dǎo)數(shù)，則行列式朗斯基行列式可以推廣到 n 個(gè)函數(shù)的情形。第12頁(yè)/共35頁(yè)第十三頁(yè)，共35頁(yè)。 0)(),( 21，若若IxxyxyW )()(21上線性無(wú)關(guān)。上線性無(wú)關(guān)。在在，則函數(shù)則函數(shù)Ixyxy 例 )2 , 0( 1 cossinsincos sin,cos。xxxxxxxW )2 , 0( sin cos 上線性無(wú)關(guān)。上線性無(wú)關(guān)。在區(qū)間在區(qū)間與與故故xx第13頁(yè)/共35頁(yè)第十四頁(yè)，共35頁(yè)。(3) 二階齊線性微分方程(wi fn fn chn)解的結(jié)構(gòu) )()( 21是二階齊線性方程、若xyxy (2) 0)()( yxqyxpy的兩個(gè)(lin )線性無(wú)關(guān)的解，則)()()(221

9、1xycxycxy是方程(fngchng) (2) 的通解。第14頁(yè)/共35頁(yè)第十五頁(yè)，共35頁(yè)。 0)()()( ，則方程，則方程若若xqxpxh 0)()()( yxqyxpyxh 。必有一解必有一解xey )()( ，即可得證。，即可得證。的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：由函數(shù)由函數(shù) xxxxeeee第15頁(yè)/共35頁(yè)第十六頁(yè)，共35頁(yè)。 例解 0) 1( 的通解。的通解。求方程求方程 yyxyx 01) 1( ，所以，所以，因?yàn)橐驗(yàn)閤x xey 是原方程的一個(gè)解。是原方程的一個(gè)解。又容易(rngy)看出： 也是原方程的一個(gè)解。也是原方程的一個(gè)解。xy 而 ) 1( 1 ,，xeeexexWxxxx 0

10、, 1 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。與與，從而，從而，故，故由題意由題意xxexexWx由疊加原理(yunl)，原方程的通解為 21。xeCxCy )()( 21線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)、xyxy )( )( 21常數(shù)常數(shù)xyxy第16頁(yè)/共35頁(yè)第十七頁(yè)，共35頁(yè)。 0)()( )( 1的一個(gè)解，的一個(gè)解，是方程是方程如果已知如果已知 yxqyxpyxy ? )( )( 21xyxy線性無(wú)關(guān)的解線性無(wú)關(guān)的解如何求出方程的一個(gè)與如何求出方程的一個(gè)與第17頁(yè)/共35頁(yè)第十八頁(yè)，共35頁(yè)。 0)()( )( 1的一個(gè)非零解。的一個(gè)非零解。是方程是方程如果已知如果已知 yxqyxpyxy ),()()( )( )(

11、 1212則則線性無(wú)關(guān)的解：線性無(wú)關(guān)的解：是方程的與是方程的與若若xcxyxyxyxy )()()(12，xyxcxy代入方程(fngchng)中，得 0)()()(2()()()(111111。 xcyxcyxpyxcyxqyxpy 1是方程的解，故得是方程的解，故得因?yàn)橐驗(yàn)?y 0)()()(2(111。 xcyxcyxpy )( xc關(guān)鍵是求出關(guān)鍵是求出怎么做？ )( ，則有，則有令令xcz 0)(2(111。zyxpyzy關(guān)于 z 的一階線性方程第18頁(yè)/共35頁(yè)第十九頁(yè)，共35頁(yè)。即 0 )(2111。zyyxpyz故有 1)(d)(2d)(2111，xxpxyyxpyeyexcz兩

12、邊(lingbin)積分，得 d1)(d)(2，xeyxcxxp )( 1線性無(wú)關(guān)的解線性無(wú)關(guān)的解與與xy d )()()()(2d)(112。xyexyxyxcxyxxp 0)()( 的通解為的通解為從而，方程從而，方程 yxqyxpy )()(2211。xyCxyCy關(guān)于 z 的一階線性方程第19頁(yè)/共35頁(yè)第二十頁(yè)，共35頁(yè)。劉維爾公式 0)()( )( 1的一個(gè)非零解，的一個(gè)非零解，是方程是方程若若 yxqyxpyxy d )()(2d)(12xyexyxyxxp )( 1線性無(wú)關(guān)的解，且線性無(wú)關(guān)的解，且是方程的與是方程的與xy )()(2211xyCxyCy為原方程(fngchng)

13、的通解。則第20頁(yè)/共35頁(yè)第二十一頁(yè)，共35頁(yè)。 例解 02 的通解。的通解。求方程求方程 yyy 0121 ，所以，方程有解，所以，方程有解因?yàn)橄禂?shù)滿足：因?yàn)橄禂?shù)滿足： )(1。xexy由劉維爾公式(gngsh) d)()(2d)2(2，xxxxxexeeexy故原方程(fngchng)的通解為 )(2121。xCCeexCeCyxxx第21頁(yè)/共35頁(yè)第二十二頁(yè)，共35頁(yè)。2. 二階非齊線性微分方程(wi fn fn chn)解的結(jié)構(gòu)(1) 解的性質(zhì)(xngzh)是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )( 1是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而xy0)()( yxqyx

14、py的一個(gè)(y )特解，則)(*)(1xyxyy是原方程的一個(gè)特解。第22頁(yè)/共35頁(yè)第二十三頁(yè)，共35頁(yè)。是方程是方程若若 )( 1xy)()()(1xfyxqyxpy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解，而的一個(gè)特解，而xy)()()(2xfyxqyxpy 的一個(gè)(y )特解，則)()(21xyxyy是方程(fngchng)()()()(21xfxfyxqyxpy 的一個(gè)(y )特解。第23頁(yè)/共35頁(yè)第二十四頁(yè)，共35頁(yè)。是方程是方程與與若若 )( )( 21xyxy)()()(xfyxqyxpy 的任意兩個(gè)特解，則的任意兩個(gè)特解，則)()(21xyxyy是其對(duì)應(yīng)(duyng)的齊方程0)(

15、)( yxqyxpy的一個(gè)(y )特解。第24頁(yè)/共35頁(yè)第二十五頁(yè)，共35頁(yè)。是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy)(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一個(gè)(y )特解。 )( 1是方程是方程的一個(gè)特解，則的一個(gè)特解，則xy )( 2是方程是方程的一個(gè)特解；的一個(gè)特解；xy)()()(2xfyxqyxpy *Re 1yy 實(shí)部實(shí)部 *mI 2yy 虛部虛部第25頁(yè)/共35頁(yè)第二十六頁(yè)，共35頁(yè)。 可以(ky)直接驗(yàn)證性質(zhì)1性質(zhì)4 。第26頁(yè)/共35頁(yè)第二十七頁(yè)，共35頁(yè)。是方程是方程若若 )(* xy)()()(xfyxqyxpy )(

16、是其對(duì)應(yīng)的齊方程的一個(gè)特解，而xy0)()( yxqyxpy的通解(tngji)，則)(*)(xyxyy是方程(fngchng) (1) 的通解。) 1 ()2(由性質(zhì)1 以及通解的概念立即可以得知該定理成立。第27頁(yè)/共35頁(yè)第二十八頁(yè)，共35頁(yè)。 )(* )()()( xyxfyxqyxpy的特解的特解求方程求方程 第28頁(yè)/共35頁(yè)第二十九頁(yè)，共35頁(yè)。 )(* )()()( xyxfyxqyxpy的特解的特解求方程求方程 )()()( 2211是齊方程的通解：設(shè)xyCxyCxy 0)()(。 yxqyxpy)2( )( )( 2211為待定的可微函數(shù)。為待定的可微函數(shù)。，令令xCCxC

17、C )()()()()( 2211是非齊方程的解：設(shè)xyxCxyxCxy )()()(，xfyxqyxpy ) 1 (則有 )()()()()()()()(22221111，xyxCxyxCxyxCxyxCy令 0)()()()(2211，xyxCxyxC)3(第29頁(yè)/共35頁(yè)第三十頁(yè)，共35頁(yè)。于是(ysh) )()()()(2211。xyxCxyxCy對(duì)上式兩邊(lingbin)關(guān)于 x 求導(dǎo)，得 )()()()()()()()(22221111。xyxCxyxCxyxCxyxCy ) 1 ( 式，得式，得的表達(dá)式代入的表達(dá)式代入、將將yyy )()()()()()()()(222211

18、11xyxCxyxCxyxCxyxC )()()()()(2211xyxCxyxCxp)()()()()()(2211xfxyxCxyxCxq這兩部分為零。即 )()()()()(2211。xfxyxCxyxC)4(第30頁(yè)/共35頁(yè)第三十一頁(yè)，共35頁(yè)。聯(lián)立 (3)、(4) 構(gòu)成(guchng)方程組 0)()()()(2211，xyxCxyxC )()()()()(2211。xfxyxCxyxC )( 2，則，則和和xC解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到)(1xC )()()()()(*2211xyxCxyxCxy )()()( 的一個(gè)特解。的一個(gè)特解。為方程為方程xfyxqyxpy 第31頁(yè)/共35頁(yè)第三十二頁(yè)，共35頁(yè)。 例解 22 的通解。的通解。求方程求方程xxeyyy 該方程(fngchng)所對(duì)應(yīng)的齊方程(fngchng)為 02。 yyy它就是我們剛剛講過(guò)的例題，由劉維爾公式(gngsh)得其通解為 21。xxexCeCy由常數(shù)(chngsh)變易法，解方程組 0 )( )(21，xxxexCexC 2)( )(21。xxxxexexexCexC 21xxexyey) 1 ()2( ) 1 ()2(，得，得 2)(2，xxC第32頁(yè)/共35頁(yè)第三十三頁(yè)，共35