高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、二、函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合 A中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f: At B為從集合A到集合B 的一個(gè)函數(shù).記作： y=f(x), x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必

2、須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的那么，它的定義域是使各局部都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2 .值域：先考慮其定義域(1) 觀察法配方法(3)代換法3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)

3、(x, y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x), 反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x, y),均在C上.(2) 畫法A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換4 .區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無窮區(qū)間(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法那么f,使對于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f: A B為從集合A到集 合B的一個(gè)映射。記作“ f (對應(yīng)關(guān)系)：A (原象) B (象)對于映射f:

4、At B來說，那么應(yīng)滿足：(1) 集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3) 不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6分段函數(shù)(1) 在定義域的不同局部上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各局部的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),那么 y=fg(x)=F(x)(x A) 稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。函數(shù)的性質(zhì)1函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1) 增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義

5、域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量xi, x2,當(dāng)xi趙時(shí)，都有f(X)vf(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xi, X2，當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(xi)>f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2) 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

6、(A) 定義法：Q 任取 xi , X2 D,且 xi<x2；作差 f(X1) f(X2)； 變形(通常是因式分解和配方)；定號(hào)(即判斷差f(Xi) f(X2 )的正負(fù))；下結(jié)論(指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x), y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律："同增異減注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集8函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1) 偶函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f( x)=f(x)

7、，那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2) .奇函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱. 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；確定f( x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè) f( X) = f(x)或f( X) f(x) = 0,貝U f(x)是偶函數(shù)；假設(shè)f( X) = f(x)或f( x) + f(x) = 0,貝U f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函

8、數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，假設(shè)不對稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù)假設(shè)對稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(-x) ± f(x)=0或f(x)/f(-x)= ± 1來判定；利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1) 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們 之間的對應(yīng)法那么，二是要求出函數(shù)的定義域(2) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：1) 湊配法2) 待定系數(shù)法3) 換元法4) 消參法10. 函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)CD利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值(0利用圖象求函數(shù)的最大(小)值C 禾U用函數(shù)單

9、調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減那么函數(shù) y=f(x)在x=b處有最大值 f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增那么函數(shù) y=f(x)在x=b處有最小值 f(b)；例題：1求以下函數(shù)的定義域：X2 2x 15 y J(X 1)2|x 3 3V x 12.設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?, 1，那么函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)?假設(shè)函數(shù)f (x 1)的定義域?yàn)?, 3，那么函數(shù)f(2x 1)的定義域是 x 2(x1)4函數(shù)2，假設(shè) f (x) 3，那么 x =f (x) x ( 1 x 2)&#

10、39;丿2x(x 2)5求以下函數(shù)的值域： yx22x3 (xR) yx2 2x 3 x1,2 yx. 12x y. x2 4x 56函數(shù)f (x 1) x2 4x，求函數(shù)f(R , f(2x 1)的解析式7函數(shù)f (R滿足2f(x) f( R 3x 4，那么 f(x)=。8設(shè)他是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0,)時(shí)，f(x) x(1 皈),那么當(dāng)x (,0)時(shí)f(X)=f(x)在R上的解析式為9求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y x2 2x 3 y , x2 2x 3 y x2 6 x 110. 判斷函數(shù)yx3 1的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11. 設(shè)函數(shù)fx 1 X；判斷它的奇偶性并且求證：f1 fx.1

11、x2第三章根本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)一指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算1.根式的概念：一般地，如果負(fù)數(shù)沒有偶次方根;nx0的任何次方根都是當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，v'an a，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，攀ana，那么x叫做a的n次方根，其中n > 1,且n N .0,記作Vo 0。00|a|(a(a2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)幕正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定:mann m /.a (a 0,m, n N , n1), a1man(an ma0,m,n N ,n 1)0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義(1)a aa(a0,r,sR)；(2)(ar)srs a(a 0,r,s R)；(3)(ab)rr s a a(a0,r,sR).(二)指數(shù)

12、函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)rr0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于3 .實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)r s1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地, 數(shù)的定義域?yàn)镽.y axa 0,且a 1叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量,注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.注意：禾U用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：(1 )在 a, b上，f(x) ax(a 0且 a 1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2) 假設(shè)x 0，那么f(x) 1 ； f (x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x R ；(3) 對于指數(shù)函數(shù)f(x) ax(a 0且 a 1)，總有f (1) a ；二、對數(shù)函數(shù)(一) 對數(shù)1 對數(shù)的概念：一般地，如果 ax

13、N (a 0,a 1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作: x log a N ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，loga N 對數(shù)式)說明：注意底數(shù)的限制a 0，且a 1;ax N log a N x ；注意對數(shù)的書寫格式.logaN兩個(gè)重要對數(shù)：CD常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lg n ； 自然對數(shù)：以無理數(shù) e 2.71828 為底的對數(shù)的對數(shù)In N 指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab = N log a N = b底數(shù)指數(shù)對數(shù)(二) 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a 0，且a 1 , M 0 , N 0，那么: log a(M N ) log a M + loga N ； log a M n n log a

14、 M (n注意：換底公式log a blog c blog c a(aR) 0，且 a 1 ； c 0，且 c 1 ； b 0)a Nloga M - log a N ；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論1logb a) logam bn logab ； ( 2) loga b m二對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y logaxa 0，且a 1叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的 定義域是0, +8.注意： 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意區(qū)分。如：y 2log2x ,y log 5 X都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).5 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a 0，且a 1.2、對數(shù)函數(shù)的

15、性質(zhì)：a>10<:a<1，-1 1-一一10-2-a.n疋義域x> 0疋義域x> 0值域?yàn)镽値域?yàn)镽在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點(diǎn)1,0)函數(shù)圖象都過定點(diǎn)1,0)三幕函數(shù)1、 幕函數(shù)定義：一般地，形如 y x a R的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中為常數(shù).2、幕函數(shù)性質(zhì)歸納.1 所有的幕函數(shù)在0, +8都有定義并且圖象都過點(diǎn)1, 1；20時(shí)，幕函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,上是增函數(shù).特別地，當(dāng)1時(shí),幕函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 01時(shí)，幕函數(shù)的圖象上凸；30時(shí)，幕函數(shù)的圖象在區(qū)間 0,上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近 y軸正半軸，

16、當(dāng)x趨于 時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近 x軸 正半軸.例題：12.計(jì)算： log 3 2 24 109 23 =； 253'°9 5 27 2'°9 52 =log 27 64 0.064 3( 7)°( 2)3 316 0.750.01；=83.函數(shù)y=log 1 (2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為 24.假設(shè)函數(shù)f(x) lOgax(0 a 1)在區(qū)間a, 2a上的最大值是最小值的3倍，那么a=5.f(x) log0且a 1)，( 1)求f(x>的定義域(2)求使f(x) 0的x的取值范圍a 1 x第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)y f (x)(x D)的零點(diǎn)。2、 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y 象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程f (x)0有實(shí)數(shù)根3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：CD (代數(shù)法)求方程f (x)y f (x)(x D)，把使f (x)0成立的實(shí)數(shù) x叫做函數(shù)f (x)的零點(diǎn)就是方程f(x) 0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) y f (x)的圖函數(shù)y f(x)的圖象