空間解析幾何與向量代數(shù)課件+習(xí)題

1、第八章第八章空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第一部分向量代數(shù)第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何第二部分空間解析幾何 在三維空間中在三維空間中: :空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面基本方法基本方法 坐標(biāo)法坐標(biāo)法; ; 向量法向量法坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程（組）方程（組）第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算 一、向量的概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 四、向量的坐標(biāo)分解式與坐標(biāo)表示式 五、向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)形式 六、向量的模、方向角、方向余弦及 向量在軸上的投影1. 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .AB模為

2、模為1 1的向量的向量. .4. 零向量：零向量：模為模為0 0的向量的向量, ,記作記作: :02. 向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .3. 單位向量：單位向量：一、向量的概念一、向量的概念注注向量的記法有兩種：向量的記法有兩種：（1 1）有向線段記法（起終點(diǎn)記法）：；）有向線段記法（起終點(diǎn)記法）：；（2 2）黑體字母記法）黑體字母記法: ;: ;（手寫時(shí)用帶箭號的小寫字母代替）（手寫時(shí)用帶箭號的小寫字母代替）aABa 或或注注| a、AB的的模模分分別別記記為為：、向向量量 aABa5.5.自由向量：自由向量：起點(diǎn)可以任意選取起點(diǎn)可以任意選取, ,而僅有模與方向決定而僅有模與方

3、向決定的向量的向量, ,即與起點(diǎn)位置無關(guān)的向量即與起點(diǎn)位置無關(guān)的向量. .6.6.兩向量兩向量相等相等：兩向量的大小相等且方向相同兩向量的大小相等且方向相同. .8.8.負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .10.10.向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量. . 注注7.7.兩向量平行兩向量平行( (共線共線) )：兩向量的方向相同或相反兩向量的方向相同或相反. . a a的負(fù)向量記為的負(fù)向量記為9. 兩向量的夾角：兩向量的夾角：兩向量兩向量 的夾角記為的夾角記為ba與與. ),( ba. ),(0 : ba

4、規(guī)定規(guī)定即即OM點(diǎn)點(diǎn)M的向徑記為的向徑記為:),(Mr )(Mr.ab (1)(1)定義定義ab二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1.1.向量的加減法向量的加減法三角形法則三角形法則(加法、減法加法、減法)平行四邊形法則平行四邊形法則(加法加法)ba ba abba ab)( baba 箭頭指向被減向量箭頭指向被減向量(2)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律（）交換律：交換律：. abba （）結(jié)合律：結(jié)合律：cbacba )().(cba ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) :的模的模a ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) |aa 2.2.向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法(1)(1)定義定義 :的方向的方向a 注注.)( 0ababa ，使，使實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)唯

5、一的唯一的存在存在的充要條件是：的充要條件是：平行于平行于，則向量，則向量設(shè)向量設(shè)向量(2)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律（）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （）分配律：）分配律：aaa )(baba )(定理定理. 0 ababa ，使，使存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù)，使，使存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù)的條件下，的條件下，在在注注例例1 1 設(shè)設(shè)M 為為MBACD解解ABCD對角線的交點(diǎn)對角線的交點(diǎn), ,ba,aAB ,bDA ACMC2 MA2 MD2 MB2 .,MDMCMBMAba表示表示與與試用試用 ba ab)(21baMA )(21baMB )(21baMC )(21abMD BDx( (橫軸橫軸

6、) )y( (縱軸縱軸) )z( (豎軸豎軸) ) o三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系1. 1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念 過空間一定點(diǎn)過空間一定點(diǎn) O ,O ,由三條互相由三條互相垂直的垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系.(8個個)xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)M有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0( O原點(diǎn)原點(diǎn)),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0

7、,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C2. 2. 空間中點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間中點(diǎn)的直角坐標(biāo)xyz橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面坐標(biāo)面 : :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo3. 3. 空間中點(diǎn)的位置與坐標(biāo)符號的關(guān)系空間中點(diǎn)的位置與坐標(biāo)符號的關(guān)系xyzo四、向量的坐標(biāo)分解式與坐標(biāo)表示式四、向量的坐標(biāo)分解式與坐標(biāo)表示式kzj yi x 坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式xyzo),(zyxM ), 0 , 0 (zR) 0 , 0 ,(xP) 0 , 0

8、 ( yQr坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式注注xyzo),(1zyxM),(2zyxMa注注五、向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)形式五、向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)形式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ),(zyxaaa .)()()(kajaiazyx 設(shè)設(shè)，則，則為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) ba a 注注解解; ),(111zzyyxxAM . ),(222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則為所求點(diǎn)的坐標(biāo)，則例例2 2 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)在在AB直線上求一點(diǎn)直線上求一點(diǎn) M , , 使使, ),(111zyxA),(222zyx

9、B及實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù),1 .MBAM 由題意知：由題意知：, MBAM ),( 111zzyyxx 即即),(222zzyyxx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz )()()(212121zzzzyyyyxxxx 也即也即故故ABMxyzo.定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式六、向量的模、方向角、方向余弦 及向量在軸上的投影1.1.向量的模向量的模),(zyxaaaa 設(shè)設(shè)則有則有,aOM 作作OMa OROQOP xyzoPNQRMaOMa 222OROQOP ),0 ,0()0 ,0()0 ,0 ,(),(zyxzyxaRaQaPaaaM222zyxaaa a 21221221221zzy

10、yxxMMd 注注空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式2.2.向量的方向角與方向余弦向量的方向角與方向余弦oyzxa 注注3.3.向量在軸上的投影向量在軸上的投影uOMM e.注注性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2性質(zhì)性質(zhì)3 3向量的投影具有與坐標(biāo)相同的性質(zhì)向量的投影具有與坐標(biāo)相同的性質(zhì):例例3 3 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn): :)2,2,2(1M和和, )0,3,1(2M21MM a, ,求求:(2) 在三坐標(biāo)軸上的投影在三坐標(biāo)軸上的投影; a(5) 方向余弦和方向角方向余弦和方向角; a(1) 的坐標(biāo)表示式與坐標(biāo)的坐標(biāo)表示式與坐標(biāo)分解式分解式;a(3) 在三坐標(biāo)軸上的分向量在三坐標(biāo)軸上的分向量; a

11、a(4) 的模的模; ;a(6) 與與 同向的單位向量同向的單位向量; a(7) 與與 平行的單位向量平行的單位向量. 解解)2, 1, 1( a,21,23)20(21MMkjia2 (1)(2)2)( , 1)( , 1)( zyxaaakjia2 , , 為為在三坐標(biāo)軸上的分向量在三坐標(biāo)軸上的分向量(3)222)2(1)1( a2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 43 (4)(5) 的的方方向向余余弦弦為為 a的的方方向向角角為為 a(6)22,21,21()cos,cos,(cos aea(7) 與與 平行的單位向量為平行的單位向量為: )22,21,21( )22,21,21( aaee或或解解,4,3 則則 222coscos1cos 41 因點(diǎn)因點(diǎn) A 在第一卦限在第一卦限, ,故故,21cos 于是于是, ,(6 ,21,22)21)3,23,3( 故點(diǎn)故點(diǎn)A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(例例4 4 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限位于第一卦限, ,角依次為角依次為,4,3 求點(diǎn)求點(diǎn) A A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . . 向徑向徑 OAOA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6 AO且且已知