第一章函數(shù)極限與連續(xù)

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)1函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界中各種變量之間相互依存關(guān)系函數(shù)是對現(xiàn)實(shí)世界中各種變量之間相互依存關(guān)系 的一種抽象，函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的主要概念之一，它的一種抽象，函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的主要概念之一，它 是微積分的主要研究對象。是微積分的主要研究對象。第一章第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)、極限與連續(xù)積分的基本工具。微積分學(xué)中的其它幾個(gè)重要概念，積分的基本工具。微積分學(xué)中的其它幾個(gè)重要概念， 如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是用極限表述的，并且微如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是用極限表述的，并且微 積分學(xué)中的很多定理也是用極限方法推倒出來的。即積分學(xué)中的很多定理也是用極限方法推倒出來的。即 微積分的科學(xué)理論是建立在極

2、限概念與連續(xù)概念的基微積分的科學(xué)理論是建立在極限概念與連續(xù)概念的基 礎(chǔ)上，可以說極限是微積分的基石。礎(chǔ)上，可以說極限是微積分的基石。 微積分中最基本的概念是微積分中最基本的概念是“極限極限”，極限是研究微，極限是研究微 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)21.1. 理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域和函數(shù)值；理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域和函數(shù)值； 2. 2. 了解函數(shù)的簡單性質(zhì)，會判斷函數(shù)的奇偶性；了解函數(shù)的簡單性質(zhì)，會判斷函數(shù)的奇偶性；3. 3. 了解反函數(shù)概念，會求已知函數(shù)的反函數(shù)；了解反函數(shù)概念，會求已知函數(shù)的反函數(shù)；4. 4. 記住基本初等函數(shù)的主要性質(zhì)及其圖形，理解記住基本初等函數(shù)的主要性質(zhì)及其圖形

3、，理解初等函數(shù)的意義；初等函數(shù)的意義；5. 5. 了解復(fù)合函數(shù)的意義。熟練掌握將初等函數(shù)按了解復(fù)合函數(shù)的意義。熟練掌握將初等函數(shù)按 基本初等函數(shù)的復(fù)合和四則運(yùn)算形式分解?；境醯群瘮?shù)的復(fù)合和四則運(yùn)算形式分解。 6. 6. 了解經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)。了解經(jīng)濟(jì)分析中常用的函數(shù)。一、教學(xué)要求一、教學(xué)要求高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)37 7了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念；了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念；8 8了解無窮小量、無窮大量的意義，了解無窮了解無窮小量、無窮大量的意義，了解無窮 小量與變量極限的關(guān)系，會對無窮小量進(jìn)行比較；小量與變量極限的關(guān)系，會對無窮小量進(jìn)行比較； 9 9熟練掌握用極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要熟練

4、掌握用極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要 極限求函數(shù)的極限；極限求函數(shù)的極限；1010理解函數(shù)連續(xù)的概念，會判定函數(shù)在理解函數(shù)連續(xù)的概念，會判定函數(shù)在 處連處連續(xù)與間斷，會討論分段函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性；續(xù)與間斷，會討論分段函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性； 0 x1111記住初等函數(shù)在其有定義區(qū)間上是連續(xù)函數(shù)記住初等函數(shù)在其有定義區(qū)間上是連續(xù)函數(shù) 這一結(jié)論；這一結(jié)論；1212知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)41.1 1.1 函數(shù)函數(shù)二、教學(xué)內(nèi)容二、教學(xué)內(nèi)容 1.2 1.2 極限的概念與性質(zhì)極限的概念與性質(zhì) 1.4 1.4 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算1.5 1.5 極限存

5、在的準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限極限存在的準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限 1.3 1.3 無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量1.7 1.7 經(jīng)濟(jì)管理中常見的函數(shù)關(guān)系經(jīng)濟(jì)管理中常見的函數(shù)關(guān)系1.6 1.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)51.1 1.1 函數(shù)函數(shù)一、函數(shù)概念一、函數(shù)概念1.1.定義定義定義定義1.1 若若D是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，設(shè)有一個(gè)對是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，設(shè)有一個(gè)對應(yīng)法則應(yīng)法則 f f，使每一個(gè)，使每一個(gè) ，都有唯一確定的實(shí)數(shù)，都有唯一確定的實(shí)數(shù) y yDx 與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)法則與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)法則 f f為定義在為定義在 D D上的一上的一個(gè)個(gè)函數(shù)關(guān)系，或稱變量函數(shù)關(guān)系，或稱

6、變量 y y 是變量是變量 x x 的函數(shù)。記作的函數(shù)。記作 xfy x x稱為自變量，稱為自變量，y y 稱為因變量，集合稱為因變量，集合 D D 稱為函數(shù)稱為函數(shù)的定義域，也可記作的定義域，也可記作 。 fD高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)62. 確定函數(shù)的兩要素確定函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素。函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素。（1）定義域及其求法）定義域及其求法應(yīng)用題中函數(shù)的定義域由變量的實(shí)際意義而定。應(yīng)用題中函數(shù)的定義域由變量的實(shí)際意義而定。用解析式表示的函數(shù)，其定義域要使解析式在實(shí)用解析式表示的函數(shù)，其定義域要使解析式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：數(shù)范圍內(nèi)有意義：a) 負(fù)

7、數(shù)不能開偶次方；負(fù)數(shù)不能開偶次方；b) 分式要求分母不等于零；分式要求分母不等于零；c) 對數(shù)要求真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于對數(shù)要求真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；d)反三角函數(shù)反三角函數(shù)y=arcsinx和和y=arccosx，要求，要求|x|1。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)7 例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域。的定義域。12xy所以定義域?yàn)椋核远x域?yàn)椋航猓航猓?在偶次根式中，被開方數(shù)必須大于、等于在偶次根式中，被開方數(shù)必須大于、等于, 012x, 1, 1xx零，所以令零，所以令 解得解得 ., 11,例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域。的定義域。)23lg(1xy)23lg(x, 0)23lg(

8、x解：由于解：由于 是分式的分母，故要求是分式的分母，故要求又由于又由于 是真數(shù)，故要求是真數(shù)，故要求 , 023x23 x所以當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，且且123023xx函數(shù)才取確定實(shí)數(shù)，函數(shù)才取確定實(shí)數(shù)，., 11 ,32于是定義域?yàn)椋河谑嵌x域?yàn)椋焊叩葦?shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)8例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域。的定義域。225151arcsinxxy要求要求 即即解：解： 21yyy1y, 151x, 51 x2y0252 x要求要求 ， 即即, 54x.5 , 4解得解得 于是，函數(shù)的定義域?yàn)橛谑牵瘮?shù)的定義域?yàn)? 5|x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)9（2）對應(yīng)法則）對應(yīng)法則函數(shù)的對應(yīng)法則，可以由表格、圖像或解析式來函

9、數(shù)的對應(yīng)法則，可以由表格、圖像或解析式來表示。表示。兩個(gè)函數(shù)，只要它們的定義域和對應(yīng)法則相同，兩個(gè)函數(shù)，只要它們的定義域和對應(yīng)法則相同，就是相同的函數(shù)，與用什么字母和符號表示自變量和就是相同的函數(shù)，與用什么字母和符號表示自變量和因變量無關(guān)。因變量無關(guān)。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)10。；2222) 1()(, 1)()4(lg2)(,lg)()3()(,)()2()(,)() 1 (xxgxxfxxgxxfxxgxxfxxgxxf 例例4 下列各對函數(shù)是否相同，并說明原因。下列各對函數(shù)是否相同，并說明原因。 解：（解：（1）不相同，定義域不同。）不相同，定義域不同。 （2）相同，對任何實(shí)數(shù)）相同，對任何實(shí)

10、數(shù)).(|)(2xgxxxf。（3）不相同，定義域不同。）不相同，定義域不同。 （4）不相同，對應(yīng)法則不同）不相同，對應(yīng)法則不同.。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)113. 分段函數(shù)分段函數(shù)若變量之間的對應(yīng)關(guān)系不能用統(tǒng)一的一個(gè)公式表若變量之間的對應(yīng)關(guān)系不能用統(tǒng)一的一個(gè)公式表示，則可在函數(shù)定義域的不同部分用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)示，則可在函數(shù)定義域的不同部分用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，象這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)。式來描述，象這樣的函數(shù)叫分段函數(shù)。| xy 00 xx例例5 xxxy0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)12101xxy000 xxx例例6 例例7用分段函數(shù)表示函數(shù)用分段函數(shù)表示函數(shù). | 1|3xy) 1(3) 1(3xxy11

11、xx因此有因此有 11| 1|xxxxxy4211xx即即解：解：0 xy11xx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)13關(guān)于分段函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)：關(guān)于分段函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來表示一個(gè)函數(shù)，）分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來表示一個(gè)函數(shù)，而不是表示幾個(gè)函數(shù)；而不是表示幾個(gè)函數(shù)；（2）由于函數(shù)式子是用幾個(gè)公式分段表示的，所）由于函數(shù)式子是用幾個(gè)公式分段表示的，所以各段的定義域必須明確標(biāo)出；以各段的定義域必須明確標(biāo)出； （3）分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí)，不同點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)代）分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí)，不同點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)代入相應(yīng)范圍的公式中去；入相應(yīng)范圍的公式中去；（4）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集

12、。）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)14二、二、 函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)（一）函數(shù)的有界性（一）函數(shù)的有界性定義定義1.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在集合在集合 上有定義，上有定義， xfy 如果存在一個(gè)正數(shù)如果存在一個(gè)正數(shù) M ，對于所有的，對于所有的 ，恒有，恒有xI Mxf | 則稱則稱 在在 上是有界的。否則，稱上是有界的。否則，稱 在在 上是上是 xf無界的。無界的。 xf幾何意義：曲線幾何意義：曲線 xfy 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)被限制在內(nèi)被限制在ba,My 和和 兩條直線之間。兩條直線之間。MyabMMyx0III高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)15（二）函數(shù)的奇偶性（二）函數(shù)

13、的奇偶性定義定義1.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在對稱數(shù)集在對稱數(shù)集 D上有定上有定 xfy 義，如果對任意的義，如果對任意的 ，Dx xfxf恒有恒有 ，則稱，則稱 為偶函數(shù)；為偶函數(shù)； xf xf恒有恒有 ，則稱，則稱 為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。 xfxf偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。原點(diǎn)對稱。yyxx00高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)16 xfy ba,21xx 21xfxf（三）函數(shù)的單調(diào)性（三）函數(shù)的單調(diào)性定義定義1.3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，如果對于如果對于 內(nèi)的任意兩點(diǎn)內(nèi)的任意兩點(diǎn) 和和 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，ba,ba,

14、ba,1x2x有有 ，則稱，則稱 在在 內(nèi)是單調(diào)增加的；內(nèi)是單調(diào)增加的； xfy xf xf如果對于如果對于 內(nèi)的任意兩點(diǎn)內(nèi)的任意兩點(diǎn) 和和 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1x2x21xx 有有 ，則稱，則稱 在在 內(nèi)是單調(diào)減少的。內(nèi)是單調(diào)減少的。 21xfxfba,aabbxxyy1xf 1xf 2xf 2xf xfy 1x1x2x2x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)17（四）函數(shù)的周期性（四）函數(shù)的周期性定義定義1.4 對于函數(shù)對于函數(shù) ，如果存在正數(shù)，如果存在正數(shù) a， xfy 使使 恒成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù)。恒成立，則稱此函數(shù)為周期函數(shù)。 axfxf滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)滿足這個(gè)等式的最小正數(shù) a ，稱為函數(shù)

15、的周期。，稱為函數(shù)的周期。若若 的周期為的周期為 a ，則，則 的周期為的周期為 。 xfmxfma例如例如 的周期為的周期為 。)2sin(5xy22atan2yx的周期為的周期為 。2a高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)18三、初等函數(shù)三、初等函數(shù)1、基本初等函數(shù)、基本初等函數(shù)（1） 常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)cy 定義域：定義域：,性質(zhì)：無論性質(zhì)：無論 x 取何值，都有取何值，都有 ，所以，圖形，所以，圖形cy c, 0是過是過 點(diǎn)平行于點(diǎn)平行于 x 軸的一條直線，是偶函數(shù)。軸的一條直線，是偶函數(shù)。cyx0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)19(2) 冪函數(shù)冪函數(shù))(Rxy定義域：隨定義域：隨 的不同而異，但在的不同而異，但在 內(nèi)總

16、有內(nèi)總有, 0定義。定義。值域：隨值域：隨 的不同而異。的不同而異。性質(zhì)性質(zhì)：(1) 圖象過圖象過 (1,1) 點(diǎn)；點(diǎn)；(2) 若若 ，函數(shù)在，函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)增加；內(nèi)單調(diào)增加；若若 ，函數(shù)在，函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。00, 0, 0 xy12xy xy xxx000yyy高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)20(3)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)) 1, 0(aaayx定義域：定義域： 值域：值域：, 01a10 a性質(zhì)性質(zhì)：(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。(2) 圖象在圖象在 x 軸上方，且都過軸上方，且都過 (0,1) 點(diǎn)。點(diǎn)。1 , 01a10 a0 x

17、y高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)21定義域：定義域： 值域：值域：(4) 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù), 0,) 1, 0(logaaxya性質(zhì)性質(zhì)：(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；1a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少。10 a(2) 圖象在圖象在 y 軸右側(cè)，且都過軸右側(cè)，且都過 (1,0) 點(diǎn)。點(diǎn)。 1a10 axy01高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)220y,xsiny)a( 22222 ,22kk232 ,22kk1 , 111xZk(5) 三角函數(shù)三角函數(shù)定義域：定義域： 值域：值域：性質(zhì)：是奇函數(shù)，周期為性質(zhì)：是奇函數(shù)，周期為 ，是有界函數(shù)。，是有界函數(shù)。函數(shù)在函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)增加；內(nèi)單調(diào)增加；在在

18、單調(diào)減少。單調(diào)減少。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)23kk2 ,12 22xy011,1 , 1xcosy)b( 12,2kkZk定義域：定義域： 值域：值域：性質(zhì)：是偶函數(shù)，周期為性質(zhì)：是偶函數(shù)，周期為 ，是有界函數(shù)。，是有界函數(shù)。函數(shù)在函數(shù)在 內(nèi)單調(diào)減少；內(nèi)單調(diào)減少；在在 單調(diào)增加。單調(diào)增加。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)24xZkkx2Zk,2,2kk22定義域：定義域： 值域：值域： y0性質(zhì)：是奇函數(shù)，周期為性質(zhì)：是奇函數(shù)，周期為 ，是無界函數(shù)。，是無界函數(shù)。在在 內(nèi)單調(diào)增加。內(nèi)單調(diào)增加。xtany)c( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)25kk ,Zk,22xy0定義域：定義域： 值域：值域：kx 性質(zhì)：是奇函數(shù)，周期為性質(zhì)

19、：是奇函數(shù)，周期為 ，是無界函數(shù)。，是無界函數(shù)。在在 內(nèi)單調(diào)減少。內(nèi)單調(diào)減少。xcoty)d( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)26yxarcsiny)a( 1 , 12,2, 01 , 12211yx002x(6) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)定義域：定義域： 值域：值域：定義域：定義域： 值域：值域：性質(zhì)：是奇函數(shù)，單調(diào)增加的有界函數(shù)。性質(zhì)：是奇函數(shù)，單調(diào)增加的有界函數(shù)。性質(zhì)：是單調(diào)減少的有界函數(shù)。性質(zhì)：是單調(diào)減少的有界函數(shù)。xarccosy)b( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)272yyxx00,2,2, 022定義域：定義域： 值域：值域：定義域：定義域： 值域：值域：性質(zhì)：是奇函數(shù)，單調(diào)增加的有界函數(shù)。性質(zhì)：是奇函數(shù)，單

20、調(diào)增加的有界函數(shù)。性質(zhì)：是單調(diào)減少的有界函數(shù)。性質(zhì)：是單調(diào)減少的有界函數(shù)。xarctany)c( xcotarcy)d( 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)282、復(fù)合函數(shù)、復(fù)合函數(shù)定義定義1.6 設(shè)設(shè) y 是是 u 的函數(shù)，的函數(shù)， ，u 是是 x 的的 ufy xu xu函數(shù)，函數(shù)， 。如果。如果 的值域或其部分包含的值域或其部分包含在在 的定義域中，則的定義域中，則 y 通過中間變量通過中間變量 u 構(gòu)成構(gòu)成 x ufy 的函數(shù)，稱為的函數(shù)，稱為 x 的復(fù)合函數(shù)，記作的復(fù)合函數(shù)，記作 xfy其中，其中， x 是自變量，是自變量，u 叫做中間變量。叫做中間變量。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)29對于復(fù)合函數(shù)，有如下說明：

21、對于復(fù)合函數(shù)，有如下說明：1. 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)橐驗(yàn)?的值域是的值域是 u0，y=lnu 的定義域的定義域 例如例如 和和 就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 形成的簡單函數(shù)構(gòu)成的，這樣，復(fù)合函數(shù)的分解的最形成的簡單函數(shù)構(gòu)成的，這樣，復(fù)合函數(shù)的分解的最uyln2ux 2ux 是是u0，前者完全沒有被包含在后者中。，前者完全沒有被包含在后者中。 2. 復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個(gè)中間變量，還可以有復(fù)合函數(shù)不僅可以有一個(gè)中間變量，還可以有 多個(gè)中間變量多個(gè)中間變量u，v，t，g等。等。3. 復(fù)合函數(shù)通常不一定是由純粹的基本初等函數(shù)

22、復(fù)合函數(shù)通常不一定是由純粹的基本初等函數(shù) 復(fù)合而成，而更多的是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算復(fù)合而成，而更多的是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算 終結(jié)果是若干個(gè)簡單函數(shù)。終結(jié)果是若干個(gè)簡單函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)30例例1 已知已知 將將 表示成表示成 的的 , 52,3xuuy函數(shù)。函數(shù)。,uy 。得得523xy解：將解：將 代入代入例例2 已知已知 將將 表表,cos,4,ln2xvvuuy示成示成 的函數(shù)。的函數(shù)。解：解：)cos4ln(2x523xu例例3 指出下列復(fù)合函數(shù)是由那些簡單函數(shù)復(fù)合而指出下列復(fù)合函數(shù)是由那些簡單函數(shù)復(fù)合而成的。成的。)4sin() 1 (3xy, 4,sin3xuuy

23、解：解： 是由是由)4sin(3xy復(fù)合而成的。復(fù)合而成的。)4ln(2vyyyxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)31xy1cot5)2(xv1xy1cot5,cotvu 解：解： 是由是由解：解： 是由是由三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。xxy2cos) 3(2xxy2cos2, vu xxv22三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的。,5uy ,cosuy 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)323、初等函數(shù)、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合而成的函數(shù)叫做初等函數(shù)。一般來說，初等函的復(fù)合而成的函數(shù)叫做初等函數(shù)。一般來說，初等函數(shù)都可以用一個(gè)解析式子表

24、達(dá)。數(shù)都可以用一個(gè)解析式子表達(dá)。例如例如 是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。xxxycos1cos1cos2nxxx21是初等函數(shù)，是初等函數(shù)，nxxx21不是初等函數(shù)。不是初等函數(shù)。一般來說分段函數(shù)不是初等函數(shù)（有例外）一般來說分段函數(shù)不是初等函數(shù)（有例外） 。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)33小結(jié)：函數(shù)、初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)小結(jié)：函數(shù)、初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)思考：思考：作業(yè)：作業(yè)： 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)341.2 極限的概念與性質(zhì)極限的概念與性質(zhì)極限的重要性：極限的重要性：一、一、 極限是一種思想方法極限是一種思想方法從認(rèn)識有限到把握無限；從認(rèn)識有限到把握無限；從了解離散到理解連續(xù)。從了解離散到理解連續(xù)。二、極限是一種概念

25、二、極限是一種概念微積分中許多概念是微積分中許多概念是用極限定義的。用極限定義的。三、三、 極限是一種計(jì)算方法極限是一種計(jì)算方法許多許多物理、幾何量需要用極限來求。物理、幾何量需要用極限來求。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)35例例1 1 劉徽的劉徽的“割圓術(shù)割圓術(shù)”高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)36內(nèi)接正多邊內(nèi)接正多邊形邊數(shù)形邊數(shù)正多邊形的正多邊形的面積面積ny6 12 24 98304 3.0000 3.1058 3.1326 3.1415n高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)37一一 、 數(shù)列的極限數(shù)列的極限（一）數(shù)列（一）數(shù)列定義定義2.12.1 對于以正整數(shù)對于以正整數(shù)n n為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) ,nfyn把函數(shù)值依自變量增

26、大的次序排列出來的把函數(shù)值依自變量增大的次序排列出來的 ,2,1nfff,21nyyy或或這一系列無窮的數(shù)叫做一個(gè)數(shù)列，記作這一系列無窮的數(shù)叫做一個(gè)數(shù)列，記作 nfyn或以正整數(shù)為自變量的函數(shù)以正整數(shù)為自變量的函數(shù) 叫作整標(biāo)函數(shù)。叫作整標(biāo)函數(shù)。 nfyn高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)38（二）數(shù)列的極限定義（二）數(shù)列的極限定義定義一定義一 如果當(dāng)如果當(dāng) n n 無限增大時(shí)，數(shù)列無限增大時(shí)，數(shù)列 無限趨無限趨近于某常數(shù)近于某常數(shù) A A ，則稱數(shù)列，則稱數(shù)列 以常數(shù)以常數(shù) A A 為極限，為極限， nyAynnlim記作記作如果一個(gè)數(shù)列有極限，我們就稱這個(gè)數(shù)列是收斂如果一個(gè)數(shù)列有極限，我們就稱這個(gè)數(shù)列是收斂的

27、，否則就稱它是發(fā)散的。的，否則就稱它是發(fā)散的。以以A A為極限，亦稱為極限，亦稱 收斂于收斂于A A。 ny)(nAyn或或 ny ny高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)39nny21) 1 (,21,21,2132nynn11)5(,31, 0 ,21, 0 , 1 , 0幾個(gè)數(shù)列的例子：幾個(gè)數(shù)列的例子：nyn11)2(nyn2) 3(nny11)4(01,45,34,23, 2, 8 , 6 , 4 , 20,2,0,2, 0,2,0,2, 無極限，發(fā)散。無極限，發(fā)散。 0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)40定義二定義二 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在 一個(gè)正整數(shù)一個(gè)正整數(shù) N ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)

28、，時(shí)， 恒成立，恒成立，Nn Ayn則稱則稱 n 趨于無窮大時(shí)，數(shù)列趨于無窮大時(shí)，數(shù)列 以常數(shù)以常數(shù) A 為為極限，為為極限，nynyAylimnn 記作記作注：注：定義中定義中 總有那么一個(gè)時(shí)刻總有那么一個(gè)時(shí)刻 ( (即即 n 充分大的程度充分大的程度) )， 定的，定的，N是隨是隨 而確定的。而確定的。)n(Ayn 或或與與 A的接近程度，的接近程度，N 刻劃刻劃刻劃刻劃是任意給是任意給高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)41練習(xí)：已知數(shù)列的通項(xiàng)，試寫出數(shù)列，并觀察判定數(shù)練習(xí)：已知數(shù)列的通項(xiàng)，試寫出數(shù)列，并觀察判定數(shù)列是否收斂列是否收斂 ：12nnyn （1） （2） （3） （4） nn31y n11y1n

29、n )(31ynn )(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)42二二 、函數(shù)的極限函數(shù)的極限（一）當(dāng)（一）當(dāng) 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) 的極限的極限x xf，即，即 xx無限增大，它包括無限增大，它包括 xx,例例1 1 在所給條件下，討論函數(shù)的變化趨勢。在所給條件下，討論函數(shù)的變化趨勢。（1 1）當(dāng)）當(dāng)x時(shí)，時(shí)， xxf)21()(當(dāng)當(dāng) x呢？呢？（2 2）當(dāng)）當(dāng) x時(shí)，時(shí)， x1)(xf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)43定義定義2.32.3 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在一個(gè)正數(shù)一個(gè)正數(shù) M M ，使得當(dāng)一切，使得當(dāng)一切 時(shí)，時(shí)，Mx | |Axf恒成立恒成立 ，則稱，則稱 x x趨于無窮大時(shí)，函數(shù)趨于

30、無窮大時(shí)，函數(shù) 以常數(shù)以常數(shù) A A xf為極限，記作為極限，記作 Axfxlim )(xAxf或或當(dāng)當(dāng) 時(shí)，定義中時(shí)，定義中 改為改為 ；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，定義中時(shí)，定義中 改為改為xMx |Mx |xMx .Mx)x(flimx A)x(flimxA)x(flimx 性質(zhì)：性質(zhì)：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)44x xfAAAyx0MMA時(shí)，時(shí)， 以以 為極限的幾何意義為極限的幾何意義：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)45例例2 2 討論討論 x時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) xexf)(的極限，的極限， xexf1)(呢？呢？ 所以，所以， 時(shí)，時(shí)， 極限不存在。極限不存在。 解：解：,xxe,x0 xexxe,x0,x111xe所以，所

31、以，1elimx1x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)46例例3 3 判斷極限判斷極限 是否存在。是否存在。 xarctxanlim解：解：,x2arctanx,x所以，所以， 時(shí)，時(shí)， 極限不存在。極限不存在。 x2arctanxarctanx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)47（二）當(dāng)（二）當(dāng) 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) 的極限的極限0 xx xf xf定義定義2.42.4 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ，總存在，總存在一個(gè)正數(shù)一個(gè)正數(shù) ，使當(dāng)，使當(dāng) 時(shí)，時(shí)，|00 xx |Axf恒成立，則稱恒成立，則稱 趨于趨于 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) 以常數(shù)以常數(shù) A A 為極為極0 x限，記作限，記作x Axfxx0lim )(0 xx

32、Axf或或0 x注：注：( (1)1)定義中的定義中的 刻劃刻劃f(xf(x) )與與A A的接近程度，的接近程度， 刻刻刻劃刻劃 與與 的接近程度，的接近程度， 是任給的，是任給的， 是隨著是隨著 而而確定的。確定的。 x,|)2(0 xx|00 xx表示表示 x x 與與 的距離小于的距離小于 ，表示表示 。0 xx 0 x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)480 xx xfAAA0 x0 x0 xyx0A時(shí)時(shí) 以以 為極限的幾何意義：為極限的幾何意義：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)49 例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)的時(shí)的變化趨勢。變化趨勢。 11)(2xxxf1x 解：解： 與與是相同的函數(shù)。是相同的函數(shù)

33、?？梢耘袛嗫梢耘袛?時(shí)，時(shí)，11)(2xxxf)()x(f1x1x 1x2)x(f高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)50（三）左極限與右極限（三）左極限與右極限定義定義2.52.5 如果當(dāng)如果當(dāng) 從從 的左側(cè)的左側(cè) 趨于趨于 x0 x0 x xf時(shí)時(shí) 以常數(shù)以常數(shù) A A 為極限，即對于任意給定的為極限，即對于任意給定的 ，0總存在一個(gè)正數(shù)總存在一個(gè)正數(shù) ，使當(dāng)，使當(dāng) 時(shí)，時(shí)，xx00 |Axf恒成立，則稱恒成立，則稱 A A 為為 時(shí)的左極限，記作時(shí)的左極限，記作0 xx Axfxx0limAxf00或或0 xx 右側(cè)右側(cè)（x x0) 00 xx右極限右極限 Axfxx0limAxf00或或高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)5

34、1定理定理1.21.2 成立的充分必要條件是：成立的充分必要條件是： Axfxx0lim Axfxfxxxx00limlim即左、右極限各自存在且相等。即左、右極限各自存在且相等。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)52 例例1 觀察判斷函數(shù)觀察判斷函數(shù) 的極限是否存在。的極限是否存在。 )x()x(fx 051 例例2 設(shè)設(shè) ，研究當(dāng)研究當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的極限是否存在？的極限是否存在？ 0 x201xxx)x(f0 x)(xf,x1,0 x 解：解： 051x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)53極限定義小結(jié)：極限定義小結(jié)： Axfxlim) 1 ( ,limAxfx .limAxfx Axfxx0lim)2( .lim0Axfx

35、x ,lim0Axfxx Axfxfxxxx00limlim Axfxx0lim) 3(成立的充分必要條件：成立的充分必要條件：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)541.31.3無窮小量與無窮大量無窮小量與無窮大量（一）無窮小量（一）無窮小量定義定義1.12 若函數(shù)若函數(shù) 在自變量在自變量 x 的某個(gè)變化的某個(gè)變化 xfy 過程中以零為極限，則稱過程中以零為極限，則稱 為在該變化過程中的無為在該變化過程中的無 xf,窮小量，簡稱無窮小，常以窮小量，簡稱無窮小，常以 等表示。等表示。0 x33,sinxxx例如：當(dāng)例如：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮小量。是無窮小量。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，是無窮小量。是無窮小量。1x21x當(dāng)當(dāng) 時(shí)

36、，時(shí)， 是無窮小量。是無窮小量。21,21xxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)55 AxfAxflim定理定理1.31.3 函數(shù)函數(shù) 以常數(shù)以常數(shù) A A 為極限的充分必要為極限的充分必要 xf xf條件是條件是 可以表示為可以表示為 A A與一個(gè)無窮小與一個(gè)無窮小 之和，即之和，即其中其中. 0lim高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)56（二）無窮大量（二）無窮大量定義定義1.14 如果在自變量如果在自變量 x 的某個(gè)變化過程中，的某個(gè)變化過程中，函數(shù)函數(shù) 的絕對值的絕對值 無限增大，則稱無限增大，則稱 為在為在 xf xf |xf該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記作該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記作 xflim

37、 0 x1, cot xx例如例如 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮大量；是無窮大量；當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮大量。是無窮大量。xx1,130 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮大量是無窮大量 ；2, 2xxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)57注意：注意： （1）稱函數(shù)是無窮大量或無窮小量必須加以自變量）稱函數(shù)是無窮大量或無窮小量必須加以自變量的變化過程；的變化過程； （2）它們是變量，無窮大量不是絕對值很大的常數(shù)；）它們是變量，無窮大量不是絕對值很大的常數(shù)； 無窮小量既不是絕對值很小的常數(shù)（除零外），也無窮小量既不是絕對值很小的常數(shù)（除零外），也 不是絕對值很大的負(fù)數(shù)；不是絕對值很大的負(fù)數(shù)； （3）f(x)是無窮大量與是無窮大

38、量與f(x)極限不存在，不是等同概念；極限不存在，不是等同概念；（4）零是唯一可做無窮小量的常數(shù)，但無窮小量）零是唯一可做無窮小量的常數(shù)，但無窮小量 不一不一定是零。定是零。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)58（三）無窮小量與無窮大量的關(guān)系（三）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在同一變化過程中，如果在同一變化過程中，如果 為無窮大量，則為無窮大量，則 xf xf xf1 xf1 0 xf為無窮小量；反之如果為無窮小量；反之如果 為無窮小量，且為無窮小量，且，則，則 為無窮大量。為無窮大量。例如例如 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮小量，而是無窮小量，而 是無是無 31x3x0 x窮大量。窮大量。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 是無窮大量，而

39、是無窮大量，而 是無是無x2x21x窮小量。窮小量。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)59（四）無窮小量的性質(zhì)（四）無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量。有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量。性質(zhì)性質(zhì)2 有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。性質(zhì)性質(zhì)3 常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量。常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量。性質(zhì)性質(zhì)4 無窮小量的乘積仍是無窮小量。無窮小量的乘積仍是無窮小量。,xlimx01 ,limxx021 0211 xxxlim則則例例1 已知已知高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)60（五）無窮小量的階（五）無窮小量的階定義定義1.13 設(shè)設(shè) 是同一變化過程中的兩個(gè)無窮是

40、同一變化過程中的兩個(gè)無窮,小量。小量。0lim0c 則稱則稱 是比是比 高階的無窮小，記為高階的無窮小，記為 oc為常量，則稱為常量，則稱 與與 是同階無窮小是同階無窮小量。特別量。特別 時(shí)，稱時(shí)，稱 與與 是等價(jià)是等價(jià)1c無窮小，記作無窮小，記作則稱則稱 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)61小結(jié)：小結(jié)： 極限的概念、無窮大量和無窮小量的極限的概念、無窮大量和無窮小量的概念。概念。練習(xí)：練習(xí)：P58 12 14（1）（）（2）（）（3）思考：無窮大量與極限不存在有什么區(qū)別。思考：無窮大量與極限不存在有什么區(qū)別。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)62 BxvAxulim,lim xvxulim)

41、 1 (BA xvxulim)2( xvxulimlim一、極限的四則運(yùn)算一、極限的四則運(yùn)算定理定理1.5 如果如果 ，則，則BA xvxulimlim xvxulimlim xvxulim)3()0(BBA1.4 1.4 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)63推論推論 設(shè)設(shè) 存在，存在，C為常數(shù)，為常數(shù)，n為正整數(shù)，為正整數(shù)， xulim則則 xuclim) 1 ( nxulim)2(在使用這些法則時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：在使用這些法則時(shí)，必須注意兩點(diǎn)：(1) 法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在。法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在。(2) 商的極限的運(yùn)算法則有個(gè)前提，即分母的極商的極限的運(yùn)算

42、法則有個(gè)前提，即分母的極限不為零。限不為零。 xuc lim nxulim高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)64例例1 ) 123(lim21xxx1lim2lim3lim1121xxxxx21limlim2lim31121xxxxx例例2 1352lim22xxxx) 13(lim)52(lim222xxxxx75若若 為多項(xiàng)式函數(shù)或當(dāng)為多項(xiàng)式函數(shù)或當(dāng) 時(shí)分母極限不時(shí)分母極限不 xf0 xx 為為0的分式函數(shù)，根據(jù)極限運(yùn)算法則可以得出：的分式函數(shù)，根據(jù)極限運(yùn)算法則可以得出： 00limxfxfxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)65例例3 求求21lim22xxx解：根據(jù)無窮小量與無窮大量關(guān)系解：根據(jù)無窮小量與無窮大量關(guān)系

43、因?yàn)橐驗(yàn)?012lim22xxx，所以，所以 21lim22xxx例例4 求求 93lim23xxx)3)(3(3lim3xxxx31lim3xx61高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)66例例5 求求 4421lim22xxx解：解：)2)(2(2lim2xxxx原式解：解：4121lim2xx例例6 求求 xx1x1lim0 x )x1x1(x)x1x1)(x1x1(lim0 x原式1)x1x1(x2xlim0 x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)67例例7 求求xxxxxx2332314lim3x解：將分子分母同除以解：將分子分母同除以 ，得，得232123114limxxxxxxxxxxx2332314lim34例例8 求

44、求xxxxxx2432314lim解：將分子分母同除以解：將分子分母同除以 ，得，得4x3243123114limxxxxxxxxxxxx2432314lim0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)68例例9 求求1423lim324xxxxxx解：解：1423lim324xxxxxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)69當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有理分式時(shí)，有理分式 的極限的極限x0, 000ba有以下結(jié)果：有以下結(jié)果：0/lim00110110babxbxbaxaxammmnnnxmnmnmn且且m,n為非負(fù)整數(shù)。為非負(fù)整數(shù)。), 2 , 1 , 0(), 2 , 1 , 0(mjbniaji為常數(shù)，為常數(shù)，其中其中高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)70此極限的

45、重要特征是：此極限的重要特征是： 分母是無窮小量（但不是分母是無窮小量（但不是0）；）； 分子中正弦函數(shù)符號后面的變量與分母一樣。分子中正弦函數(shù)符號后面的變量與分母一樣。由此得到一般式為：由此得到一般式為： 1sinlim0 xxx, 1sinsinsinlim0 xxx111sinlim1xxx例如：例如：1.5 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)71例例1 求求 0tanlimxxx解：解： xxxxcossinlim0解：解： xxxxcos1sinlim00tanlimxxxxxxxxcos1limsinlim001例例2 求求 )0(sinlim0

46、kxkxxkxkxkxsinlim0kxkxxsinlim0高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)72例例3 求求 )0, 0(sinsinlim0babxaxxxbxxaxxsinsinlim0bxaxxsinsinlim0解：解：xbxxaxxxsinlimsinlim00 xbbxbxaaxaxxsinlimsinlim00ba高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)73例例4 求求 2)4sin(lim22xxx2)4sin(lim22xxx4)2)(2()4sin()2(lim22xxxxx解：解：變化為：變化為： 4)2sin(lim22xxx41)2)(2()2sin(lim2xxxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)74例例5 求求 xxx

47、arcsinlim00ttttsinlim0解：令解：令 ，則，則 ，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)， 所以所以 xtarcsintxsinxxxarcsinlim0例例6 求求 xxx11sinlim00 xxxx1sinlim001高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)75思考題：下列極限是否存在？思考題：下列極限是否存在？ 是否可用第一重要極限？是否可用第一重要極限？ 為什麼？若有極限，為什麼？若有極限， 求出其極限值。求出其極限值。xxxxsinsinlim120高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)76 exxx11lim2這個(gè)極限的重要特征是：這個(gè)極限的重要特征是： 底為兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)為底為兩項(xiàng)之和，第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)是無窮，第二項(xiàng)是無窮小

48、量小量 (但不是但不是0)。 指數(shù)與第二項(xiàng)互為倒數(shù)。指數(shù)與第二項(xiàng)互為倒數(shù)。如果令如果令 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)時(shí) ，公式還，公式還xt1x0t可以寫成可以寫成ettt101lim高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)77,11limexxxexxxcsc0sin1lim exxx101lim或或 exxx11lim由此得到第二個(gè)重要極限的一般式：由此得到第二個(gè)重要極限的一般式：例如：例如：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)78例例1 求求 xxx311lim解：解：解：解： )31(3311limxxx原式31 e例例2 求求 311limxxx3x1111limxxx原式e313x3x11limx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)79例例3 求求 5211l

49、imxxx5)2(11limxxx原式解：解：2 e5)2(x1111limxxx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)80例例4 求求 xxxx11lim解解1：xxx11x11lim原式21eee解解2：xx1-x21-xlim原式121121lim221xxxx1221121limxxx2e高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)81 1. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，兩無窮小時(shí)，兩無窮小 與與是否同階？是否等價(jià)？是否同階？是否等價(jià)？練習(xí)：練習(xí)： 0 x24 x39 x2543lim(3sin7)324xxxxxx3. 若若 ，求，求k的值。的值。 432lim23xkxxx2 .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)82*無窮小等價(jià)替換定理定理： 若A ，A，B，B是兩

50、個(gè)相同趨勢下的無窮小，且A A，B B （等價(jià)無窮小） 則：limABlimlimlimABABAB高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)83思考：思考： 作業(yè)：作業(yè)：小結(jié)：極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限小結(jié)：極限的四則運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)841.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義 設(shè)變量設(shè)變量 從它的初值從它的初值 變到終值變到終值 ，則終值與初值之差則終值與初值之差 就叫做變量就叫做變量 的增量，的增量，u0u1u01uu 01uuuu又叫做又叫做 的改變量，記作的改變量，記作 ，即，即uu xf0 x定義定義1.16 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義若若 或或0li

51、m0yx則稱則稱 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，并稱處連續(xù)，并稱 是是 的連續(xù)點(diǎn)。的連續(xù)點(diǎn)。 xf0 x一、連續(xù)性的概念一、連續(xù)性的概念0)x(f)xx(f lim000 x0 x xf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)85函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件： xfy 0 x xflim)(xx02 .xfxflim)(xx003 （1）在）在 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；存在；存在；0 x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)86定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足滿足 xfy 0 x 則稱則稱 在在 左連續(xù)。左連續(xù)。 xf 00lim,xxf xf x左連續(xù)、右連續(xù)左連續(xù)、右連續(xù) 00lim,xxf

52、xf x 則稱則稱 在在 右連續(xù)。右連續(xù)。 xf0 x定理：定理： 連續(xù)連續(xù) 左右連續(xù)左右連續(xù)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)87二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處不連續(xù)處不連續(xù) xfy 0 x0 x0 x0 x則稱則稱 為為 的一個(gè)間斷點(diǎn)。的一個(gè)間斷點(diǎn)。 xf xf xf xf由定義由定義1.17可知，如果可知，如果 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有下列三處有下列三種情況之一，則點(diǎn)種情況之一，則點(diǎn) 是是 的一個(gè)間斷點(diǎn)。的一個(gè)間斷點(diǎn)。(1) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處，處， 沒有定義；沒有定義；(2) 不存在；不存在；(3) 雖然雖然 存在，但存在，但0 x xflimxx0 xflimxx0 .xfx

53、flimxx00 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)88間斷點(diǎn)的分類與判別：間斷點(diǎn)的分類與判別：間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)：可去型可去型,跳躍型。跳躍型。第二類間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)：無窮型無窮型,振蕩型。振蕩型。函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類，設(shè)函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類，設(shè) 為為 的間斷點(diǎn)，的間斷點(diǎn)，0 x xf第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)： xfxx0lim xfxx0lim與與 都存在。都存在。第二類間斷點(diǎn)：非第一類間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：非第一類間斷點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)89例例2 設(shè)設(shè) ，討論，討論 在在x1處的連處的連 xf 112 xxxf xf續(xù)性。續(xù)性。解：解： 在在x=1處無定義，處無定義， 在在x=

54、1處處 xf不不 連續(xù)。連續(xù)。11120 xy高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)90 101xx)x(f000 xxx例例3 設(shè)設(shè)討論討論 在在 x=0 處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。 xf1) 1(lim)(lim00 xxfxx1) 1(lim)(lim00 xxfxx xf解：解： 在在x0處有定義，且處有定義，且 xfx0lim , 00 f不存在，不存在， 在在x=0處不連續(xù)。處不連續(xù)。 xf0 xy111 xy1 xy高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)911sinyx xyxy1sinO0 x 為為其其振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .tanyx 2x 為其無窮間斷點(diǎn)為其無窮間斷點(diǎn) . .xytan2xyO高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)92可去

55、型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)93例例4 設(shè)設(shè) 0 xxsinxf00 xx討論討論 在在 x=0 處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。 xf解：解： 在在x0處有定義，且處有定義，且 xf , 00 f xf0 xlim ,fxflimx00 xf在在 x=0 處不處不 連續(xù)。連續(xù)。10 xxsinlimx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)94定義定義1.18 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)任內(nèi)任 xfy xfy ba,ba,ba,何一點(diǎn)都連續(xù)，則稱何一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。

56、 xf xf若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且 ,limafxfax bfxfbxlim則稱則稱 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上上 連續(xù)。連續(xù)。ba,三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)95定理定理1.7 若函數(shù)若函數(shù) 與與 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，則處連續(xù)，則 xgxf兩個(gè)函數(shù)的和，差兩個(gè)函數(shù)的和，差 、積、積 、商、商 xf xg0 x xgxf ,0 xgxgxf在點(diǎn)在點(diǎn) 處也連續(xù)。處也連續(xù)。0 x定理定理1.8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，處連續(xù)， ufy 0 x0u在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)，且處連續(xù)，且 ，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) xu 00 xu xfy在點(diǎn)在點(diǎn) 處連續(xù)

57、。處連續(xù)。0 x結(jié)論：結(jié)論：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的， 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)96解：解： 例例8 求求 225limxx25x解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?是初等函數(shù)，其定義域?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)?552，而而1255lim222xx，5,5例例9 求求 3)4cos(lim4xxexx3)4cos(lim4xxexx), 9()9 , 0),9 , 04而134)44cos(44ee是初等函數(shù)，定義域?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，定義域?yàn)?)4cos(lim4xxexx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)97例例5 求求

58、 的連續(xù)區(qū)間的連續(xù)區(qū)間 xxxf)1ln()( 例例6 求求 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) 131111)(xxxxxxf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)98 xfyba, xfmMab01x2xyx定理 （最大值與最小值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間 上連續(xù)，則它在這個(gè)區(qū)間上一定有最大值與最小值。 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)99定理定理 （有界性定理）（有界性定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在這個(gè)區(qū)間上有界。在這個(gè)區(qū)間上有界。ba, xfy xf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)100aba,ba, xf xf cf ba,Mcmcb12AxymM xfy C0定理定

59、理 （介值定理）如果函數(shù)（介值定理）如果函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，M 和和 m 分別為分別為 在在 上的最上的最小值與最大值，則對于介于小值與最大值，則對于介于 M M 與與 m m 之間的任一之間的任一實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) ，至少存在一點(diǎn)，至少存在一點(diǎn) ，使，使 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)101推論推論 (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上上 xfba,連續(xù)，且連續(xù)，且 ，則至少存在一點(diǎn)，則至少存在一點(diǎn) 0bfaf,ba使得使得 . 0f obyxa xfy 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)102例例7 證明方程證明方程 在在 (0,1)內(nèi)至少有內(nèi)至少有3214xx 一個(gè)實(shí)根。一個(gè)實(shí)根。高等數(shù)學(xué)

60、高等數(shù)學(xué)103小結(jié)：連續(xù)性的概念、判斷函數(shù)的連續(xù)或間斷小結(jié)：連續(xù)性的概念、判斷函數(shù)的連續(xù)或間斷 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)作業(yè)：作業(yè)：高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)104 在社會經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，存在著許多經(jīng)濟(jì)變量，如在社會經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，存在著許多經(jīng)濟(jì)變量，如產(chǎn)量、成本、收益、利潤、投資、消費(fèi)等等。產(chǎn)量、成本、收益、利潤、投資、消費(fèi)等等。 對經(jīng)濟(jì)問題的研究的過程中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量往往對經(jīng)濟(jì)問題的研究的過程中，一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量往往是與多種因素相關(guān)的，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)方法來研究經(jīng)濟(jì)是與多種因素相關(guān)的，當(dāng)我們用數(shù)學(xué)方法來研究經(jīng)濟(jì)變量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，經(jīng)常是找出其中的主要因素，變量間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，經(jīng)常是找出其中的主要