蠕蟲爬橡皮繩問題的數(shù)學(xué)模型比較

1、蠕蟲爬橡皮繩問題的數(shù)學(xué)模型比較及意義摘要：關(guān)于蠕蟲爬橡皮繩的問題，不同學(xué)者建立了不同的數(shù)學(xué)模熨進行研究.本文建立了一個微分方 程模型，并和積分模型進行了對比，進而說明，這兩個方程是等效的.因而，積分方程也是準(zhǔn)確刻畫嬌蟲 爬行運動的模型嫡蟲爬橡皮繩的模型實質(zhì)上也是一個消費模型，在經(jīng)濟社會屮冇著重要的現(xiàn)實意義.關(guān)鍵詞：蠕蟲悖論 積分模型 微分方程模型比較 消費模型“蠕蟲悖論”最初出現(xiàn)在科學(xué)美國人編輯部編著的從驚訝到思考一一數(shù)學(xué)悖論奇 景一書中，原名是“蠕蟲與橡皮繩悖論”.在王樹禾編苦的數(shù)學(xué)聊齋一書中，稱之為“蠕蟲悖論”,具體內(nèi)容如下:一條蠕蟲在橡皮繩的-端.橡皮繩長一公里.蠕蟲以每秒1丿里米的穩(wěn)定

2、速度沿橡皮繩爬 行.在1秒鐘z后，橡皮繩就像橡皮筋一樣拉長為2公里.再過一秒鐘后，它又拉長為3 公里，如此下去.蠕蟲敲后究竟會不會達(dá)到終點呢？在文【1】屮，筆者對這個問題進行了推廣，并建立了一個積分模型，對蠕蟲爬橡皮繩 的過程進行了描述.但是，有的專家認(rèn)為：(1)“在積分模型中，作者假定在每個代表區(qū)間中 橡皮細(xì)的運動對蠕蟲的運動沒冇影響，計人費解”.筆者對這個問題又進行了深入的研究，從 微分方程的角度又建立了一個數(shù)學(xué)模型，并和積分模型進行了對比，進而說明，這兩個方程 是等效的.因而，積分方程也是準(zhǔn)確刻畫蠕蟲爬行運動的模型.為了比較研究，這里把文【1】的模型建立過程再給以簡述(這里討論的是蠕蟲爬

3、橡皮 繩問題的推廣)：問題 有一條長生不老的蠕蟲從/(i)米長的橡皮繩一端，以。(/)米/秒(函數(shù)值d(o)v/(o), a>at-v)> 0)的勻速爬向另一端，而橡皮繩卻不斷伸長，在第/秒橡皮 繩從/(/ 1)米均勻的伸長到/米(/(/)>/(r-l)>0, rg0,n).如此下去，這條蠕 蟲會不會爬到橡皮繩的另一端？1 蠕蟲爬橡皮繩的積分模型這里就推廣后的問題進行討論.設(shè)橡皮繩的長度變化規(guī)律為i = /(r),即在f時刻，橡皮繩的長度為/(r).因為橡皮繩 的增長是均勻的，因此，在時亥ijr(l<r<7?),橡皮繩的長度為f(米)，這時，在橡皮 繩上任取

4、長度為a (米)的一段ab,那么，在第秒末，橡皮繩的長度為/(n)(米)，設(shè) 這時4b的長度為x (米)，則有fwa/(0即第"秒末時，ab的長度變?yōu)樵瓉淼乃?m)下面我們利用微元法研究蠕蟲的運動.設(shè)蠕蟲以速度a(r)沿橡皮繩從左端點向右端點爬行，我們把時間間隔0,川分成廠個等 yi長的時間間隔，0/, /,也,切，心仏，心，川，其中=-在 kn這k個時間間隔中選取一個代表區(qū)間，記為r+ d小 其中dt = >0.在這個時間間隔 k里,nj以認(rèn)為橡皮繩的運動對蠕蟲的運動沒冇影響.那么蠕蟲在這個時間間隔里運動的距離 為ds = q(f)df那么在第秒末，ds相應(yīng)的變?yōu)榘讶湎x在每

5、一段運動的距離累加起來，就是積分s =/(訕看蠕蟲能否從左端爬到右端，就是看能否成立.1.1 /(r)是等差形式設(shè) f(t) = a +td , (dvq), a(t) = a 是常數(shù).這時5= dt =)f(r) )q+rd=書 ln(q + /d)|；=書ing +nd)-lna= 4ln/(h)-ln/(0)a即當(dāng)-in/(/z)-ln/(o)>llhf,蠕蟲從橡皮繩的一端爬到另一端.1. 2/是等比形式設(shè) f(t) = cid，(avq), a(t) = a 是常數(shù)這時dt%即當(dāng)(1-g")n 1時，蠕蟲從橡皮繩的一端爬到另一端. ax nq2.蠕蟲爬橡皮繩的微分方程模

6、型這里仍就推廣后的問題進行討論.如圖，設(shè)橡皮繩的最初長度為q,左端點為0, 右端點為a ,橡皮繩均勻伸長.假設(shè)在時刻f, 4點 °移動的速度為b(r),橡皮繩的長度為w),蠕蟲爬行的速度為a(f),此時蠕蟲爬行到了點、b ,設(shè)b點到0點的距離為x = x(t),由于橡皮繩 均勻伸長，所以，點b的移動速度為 %,那么蠕蟲爬行的實際速度為u = q(/) +如兀.而兀是蠕蟲爬行的距離，因此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義可知，v = /,即 m)# =曲)+竺1兀/(/)這就是蠕蟲爬行的運動滿足的微分方程.這是一個一階線性微分方程，根據(jù)一階線性微分方程的求解公式町得蠕蟲爬行的運動方程(2)x = e

7、if(,)初始條件為：r = 0時，x = 0.在(2)式中,旳)是人點移動的速度，/是a點到。點的距離，山導(dǎo)數(shù)的運動學(xué)意(3)義可知,廣= b(t),于是有b(t)dt=df(t)把(3)式代入(2)式得cdf(t) "_ fdf(t)x(t) = e17 ja(t)e，7dt + c(4)dt + c>l蠕蟲能否從橡皮繩左端爬到右端，就是看x>/(r)即(其中c由“/ = 0時，x = 0"確定)(5)是否冇解.這個結(jié)論與(1)式是極為相似的。下面就針對積分模型里的兩種情形進行 対比.2- 1 f是等差形式設(shè) f(t) = a +td , (avd), a(

8、t) = a .這時由(4)式可得x = (a+ dt) ln(d+dr) + c由初始條件：f = 0時，兀=0,可得c = -ln«r于是d兀=(a】+ dt)纟ln(q + dt) - in a假設(shè)第秒，蠕蟲爬到了橡皮繩的另一端，這時有x = (! +d)一ln(d| +dz?)-ln tzj > (a +dn)即 手ln(q + dn) - in a, > 1這與積分模型的結(jié)果是一樣的.2. 2/是等比形式設(shè)/(/) = %“，(gvd|), a(t) = a .山(4)式可得由初始條n-： t=o時，x=o,可得c=,于是ingx = -(q' -1)i

9、nq假設(shè)第”秒，蠕蟲爬到了橡皮繩的另一端，這時有x = qn -y)>axqnin <7即斗(i一廣)nia】lnq這與積分模型計算的結(jié)果也是一樣的.由(5)式及以上的對比來看，以上兩個模型是等效的，笫一個模型是利用微元法從積 分的角度考慮問題；第二個模型是從微分的角度考慮問題，最后的結(jié)果殊途同歸.相對來說, 積分模型顯得更直觀、簡潔，并口計算也方便.|佃微分方程模型的結(jié)果就顯得比鮫繁瑣，求 解過程也比較繁瑣，并且結(jié)果也不是很直觀.3.模型的意義社會的總財富量/(/)的增長一般是按增長率的模式來描述的，因此，社會的總財富的增 氏類似橡皮筋的仲長平均伸氏.蠕蟲爬橡皮繩的模型實質(zhì)上就是現(xiàn)實生活中的消費模 型.社會的總的資源和財富就相當(dāng)于伸長的橡皮繩，蠕蟲的爬行就相當(dāng)于社會的總消費.社 會能正常運行多長吋間？根據(jù)文【1】的結(jié)果，就是看不等式型力1的解.其屮f(f)£ /(/)是社會的總財富量，q(r)是社會的總消費屋.由前面討論知道，社會財富增長速度%)二廣當(dāng)消費速度(蠕蟲爬行的速度)等于社會財富總量的增長速度時，