保險(xiǎn)精算學(xué)生命表基本函數(shù)實(shí)用教案

1、本章主要(zhyo)內(nèi)容 生命表基本函數(shù) 生存分析 非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計(jì) 幾個(gè)死亡(swng)時(shí)間的解析分布 生命表的編制第1頁/共20頁第一頁，共21頁。3.1 生命表基本(jbn)函數(shù) 生命表是反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計(jì)表。 地位：生命表是人壽保險(xiǎn)用以測定死亡或生存概率的基礎(chǔ)。 根據(jù)以往死亡人數(shù)(rn sh)的統(tǒng)計(jì)資料，推測出未來死亡或生存概率，是計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率的必要依據(jù)。第2頁/共20頁第二頁，共21頁。第3頁/共20頁第三頁，共21頁。生命表的通常(tngchng)函數(shù) 001211001210101. :012.:0,1,1100000,10

2、00000,1203.:(1)(2):xxxxxxxxxx ttnxxxlxxllllldxxlldldddddlddxxn 年齡，在生命表中的范圍，歲。 取整數(shù)值。存活到確切整數(shù)年齡 歲的人數(shù)。歲的存活人在 歲這一整年內(nèi)的死亡人數(shù)。表示在 歲到歲之間死亡xxxnndll的人數(shù)，用公式表示即為：第4頁/共20頁第四頁，共21頁。 11111114.:(1),0,1,121:1.5.:1,1xxxxnxxx nnxxnxxxxxxxxxxqxdqxldllqllqxxxnlldqllnqqpxxlplpq死亡率，表示 歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。表示 歲的存活人在 歲到歲之間死亡的概率，用公式表示

3、即為：當(dāng)時(shí)，生存率，表示 歲的人在一年內(nèi)存活的概率，即到歲時(shí)仍然存活的概率。1:,nxnxx nxnnxxpqpxnlpl表示 歲的存活人再活 年的概率，用公式表示即為：第5頁/共20頁第五頁，共21頁。1006.:10.:7.:xnx nx nx nx nx nxnxx nnxxxx nxxmxnmx nx nx m mxnxm nxnxmx nn mxxxqxnnlldldqp qllllnqqqxxnxnmdllqpppqllex 表示 歲的存活人，活過 年，并在第年死亡的概率。當(dāng)時(shí)，表示 歲的人在歲之間死亡的概率，完全平均余壽或生命期望值，即表示 歲的存活人在00e以后可望生存的平均年

4、數(shù)。表示確定基數(shù)的一個(gè)群體的平均壽命。第6頁/共20頁第六頁，共21頁。計(jì)算(j sun)平均余壽的定理1012101001210001111221111:22xxxxx ttxxttellltdllellltdll 定理1.1 假設(shè)死亡人數(shù)在每個(gè)年齡區(qū)間上均勻分布,則平均余壽為:平均壽命為第7頁/共20頁第七頁，共21頁。111010011121000:12211111.221xxxxxxxxxx ttxxxx ttxxxx tx txxtxxxxx ttxxLxllLldTxTLTeLllldlllllTeLll 證明 記 表示 歲的人在一年內(nèi)存活的總?cè)四陻?shù). 記 表示 歲的在未來存活的總

5、人年數(shù). 另,11110011122xxxx tx tx tttxxlltdll 第8頁/共20頁第八頁，共21頁。例子(l zi)Eg3.1已知lx=1000(1-x/120),計(jì)算( j sun)20p30和20I5q25.解：Ex：p69ex3.1,3.2第9頁/共20頁第九頁，共21頁。3.2 生存(shngcn)分布主要內(nèi)容：1 新生兒的生存函數(shù)2 x歲余壽的生存函數(shù)死亡力（死亡力度(ld)）整數(shù)平均余壽和中值余壽第10頁/共20頁第十頁，共21頁。3.2.1 新生兒的生存(shngcn)函數(shù) 生命表描述了人口在整數(shù)年齡上存活和死亡的規(guī)律，但實(shí)際上年齡是人出生后存活時(shí)間(shjin)

6、的度量，它是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量。00( )(),0.( )1( )(),0., ( ).()()( )xxXF xP Xx xxqs xF xP Xx xxp s xxxtP xXxtF xtF x 假設(shè)新生兒未來存活時(shí)間或者新生兒的死亡年齡為 ，它是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為： 注釋：表示新生兒在 歲前死亡的概率，對(duì)應(yīng)生命表中設(shè)注釋：表示新生兒活過 歲的概率，對(duì)應(yīng)生命表中稱為生存函數(shù)新生兒在歲間死亡的概率為：生命表函數(shù)中，0( ).xll s x第11頁/共20頁第十一頁，共21頁。3.2.2 x歲余壽的生存(shngcn)函數(shù) ( )( ( )0.1( )( ( )0.txtxxxxT

7、 xxT xxT xTG tP T xttqxtT xG tP T xttpx對(duì)一個(gè) 歲的人，稱 歲生命，用（ ）表示。用表示他的剩余壽命，則表示此人死亡時(shí)的年齡。顯然，對(duì)一確定 歲的某人其剩余壽命是一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)變量，下面我們簡記為 。分布函數(shù)：表示某 歲的人在 年內(nèi)死亡的概率。的存活函數(shù)為：當(dāng) 00,txxtTXqF xtF xs xs xtqP xXtx XxF xs x 時(shí)，正是新生兒未來余壽的隨機(jī)變量。這時(shí)，實(shí)際上是一個(gè)條件概率：第12頁/共20頁第十二頁，共21頁。 ( )()( )( ),1,0,1,.1 .xt uxt ut uxtxtxu txtxux txxtxtuqqP

8、tT xutG utG tqqpppqT xK xK xkkT xkkxP K xkP kTkS xx 在的死亡率在壽險(xiǎn)精算中，年齡變量通常取整數(shù)，實(shí)際上它是上述的整數(shù)部分，我們用表示之 即稱之為的整值余壽,其概率分布函數(shù)為:設(shè)為在死亡年所活過的分?jǐn)?shù)年齡,它是 0.( )( )( )T xK xS x,1 上的連續(xù)分布第13頁/共20頁第十三頁，共21頁。3.2.3 死亡(swng)力 問題的提出：生命表中描述死亡水平的指標(biāo)是死亡率 ，這里(zhl)的x是整數(shù)，如果x不光是整數(shù)，而是連續(xù)變動(dòng)的，怎么描述在某確切年齡點(diǎn)上的瞬時(shí)死亡水平呢？ 解決的方案：死亡力度的提出。xq第14頁/共20頁第十四

9、頁，共21頁。 000lim.,.lim.lim,lnlnxhhxhx nx nynxxxxns xs xhhs xs xs xhxxhs xs xs xhxxhhs xs xhs xxhs xs xhsxhs xs xxxnxnsydydys ypxs ype 死亡力是描述瞬間死亡水平的指標(biāo),定義:表示在間的死亡概率表示在間死亡概率密度而正是生存函數(shù)s的導(dǎo)數(shù)兩邊從 到積分 得00,x nntyx sx sxdydsdsnxepe第15頁/共20頁第十五頁，共21頁。 00,1,1.txtxx ttxx tnnxtxx tmxtxx tnn mT xg xg xGxs xts xtdddg x

10、qdtdts xdts xsxts xtsxtps xs xs xtpdtqpdtqpdt 設(shè)的概率密度函數(shù)為則所以第16頁/共20頁第十六頁，共21頁。 002220022200022200022xtxx ttxx ttxtxtxtxtxtxtxeE T xt pdtdE T xtpdttqdtdtdtpdtp tp dtdtt p dtVar T xE T xE T xt p dtp dt 而且第17頁/共20頁第十七頁，共21頁。3.2.4 整值平均(pngjn)余壽與中值余壽 001221000,1,( ).,()()()1,()21,.2xxkxx kxkkkxxttxxttxkxk

11、kkxxxxK xeeE K xk p qk qpqpqk qpT xK xS xE T xE K xE S xE S xee歲的整值平均是指余壽 歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù) 不包括不滿年的余數(shù)壽命 是整值余壽隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,用 表示而故由于故在假均勻分布下所以第18頁/共20頁第十八頁，共21頁。 200363636,50%,.1( )( )2:0.5,( ).3.220250.001,.1003.30100 ,36 .10 xT xxm xP T xm xP T xm xs xm xs xm xegxqxegs xxqemx2215中值余壽是的余壽的中值在這一年之前死亡和之后死亡的概率相等 都是以表示之則即根據(jù)生存函數(shù) 容易計(jì)算出若當(dāng)時(shí),計(jì)算已知試求第19頁/共20頁第十九頁，共21頁。感謝您的觀看(gunkn)！第20頁/共20頁第二十頁，共21頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)本章主要內(nèi)容(nirng)。生命表是反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全