高等數(shù)學(xué)課件：2-4無窮大量與無窮小量

1、首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 2.4 無窮小量與無窮小量一、無窮大量二、無窮小量三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系四、無窮小量的階首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 一、無窮大量 我們討論11xy當(dāng) x1 時的變化趨勢 “任意大” 就是不論事先指定一個多么大的正數(shù) 總有那么一個時刻一個時刻 在那個時刻以后 變量的絕對值就可以大于那個事先指定的大正數(shù) 當(dāng) x 越來越接近 1 時 |11|x就越來越大 即在 x 無限接 近 1 的過程中 |11|x可以任意大 顯然 對任意的正數(shù) E 要使Ex|11| 只需Ex1| 1| 此時 我們稱當(dāng) x1 時 11xy是一個無窮大量

2、首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 一、無窮大量定義28(無窮大量) 如果對于任意給定的正數(shù)E 變量y在其變化過程中 總有那么一個時刻 在那個時刻以后 不等式|y|E恒成立 則稱變量y是無窮大量 或稱變量y趨于無窮大 記作lim y 例如 11lim1xx 再如 21) 1(1limxx xxlglim0 2lim xx 注注:一個變量是否為無窮大量一個變量是否為無窮大量,與變量的變化過程有關(guān)與變量的變化過程有關(guān). 例如 11lim1xx .2,111時不是無窮大量當(dāng)時是無窮大量當(dāng)即變量xxxy; 111lim2xx而首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 二、無窮小量

3、定義29(無窮小量) 以以0為極限的變量為極限的變量 y稱為無窮小量稱為無窮小量 亦即 對于任意給定的正數(shù) 如果在變量 y的變化過程中 總有那么一個時刻 在那個時刻以后 不等式 |y| 恒成立 則稱變量 y為無窮小量 例3 因為0lim20 xx 所以當(dāng)x0時 變量yx2為無窮小量 0lim20 xx 所以當(dāng)x0 時 變量yx2為無窮小量 例1 因為021limnn 所以當(dāng)n時 變021limnn 所以當(dāng)n時 變?yōu)榱縩21無窮小量 例2 因為01limxx 所以當(dāng)x時 變量 01limxx 所以當(dāng)x時 變量為無窮小量xy1 注:一個變量是否為無窮小量,與變量的變化過程有關(guān).例如,1lim0,x

4、x11lim1.xx首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 定理25(極限的必要充分條件) 變量y以A為極限的必要充分條件是 變量y可以表示為A與一個無窮小量的和 即lim yAyA其中l(wèi)im 0 如果lim yA 根據(jù)定義26有 對于任意給定的 0 總有那么一個時刻 在那個時刻以后 不等式|yA|恒成立 因此 如果將yA作為整體 則由定義29 它是一個無窮小量 記為 則yA 即yA 所以y是A與無窮小量的和 證 只證必要性,充分性的證明請同學(xué)們自行完成.首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 定理26(無窮小量的性質(zhì)) 如果變量是無窮小量 變量y是有界變量 則變量y是無窮

5、小量定理25(極限的必要充分條件) 變量y以A為極限的必要充分條件是 變量y可以表示為A與一個無窮小量的和 即lim yAyA其中l(wèi)im 0 推論 常量與無窮小量的乘積仍是無窮小量 例 4 求xxx1sinlim0 解 因為xx1sin是無窮小量 x(x0)與有界變量x1sin的積 所以xx1sin是無窮小量 即01sinlim0 xxx 解 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 三、無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理27 在變量y的同一變化過程中 (1)如果 y 是無窮大量 則y1是無窮小量 (2)如果 y(y0)是無窮小量 則y1是無窮大量 (1)設(shè)y是無窮大量 則對于任意給定的 0

6、 總有那么一個時刻 在那個時刻以后 恒有 證 1|y即 |1|y 因此 y1是無窮小量 同理可證(2) 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 四、無窮小量的階 當(dāng)x0時 x 2x x2都是無窮小 但它們趨于0的速度卻不一樣 請觀察 x 1 05 01 001 0001 0 2x2 1 02 002 0002 0 x2 1 025 001 00001 0000001 0 顯然 x2比x與2x趨于0的速度都快得多 快慢是相對的 是相互比較而言的 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 四、無窮小量的階定義210(無窮小的階) 設(shè)及是在同一個變化過程中的無窮小量 若0lim 則稱是比較高階的無窮小量 記為o() 若0limc(c 為常量) 則稱與是同階無窮小量 若1lim 稱與是等價無窮小量 記為 若lim 則稱是比較低階的無窮小量 首頁上一頁下一頁結(jié)束微積分 (第三版) 教學(xué)課件 例5 因為 0limlim020 xxxxx 所以當(dāng)x0時 x2是比x較高階的