最新人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結

1、人教版九年級數(shù)學上冊知識點總結21.1 一元二次方程知識點一一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點： 只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2 + bx + c = 0(a 0). 其中，ax2是二次項， a 是二次項系數(shù)； bx 是一次項， b 是一次項系數(shù)； c 是常數(shù)項。知識點三一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù)。21.2 降次解一元

2、二次方程21.2.1 配方法知識點一直接開平方法解一元二次方程（1）如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a 0) 的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=a,x2=a. （2）直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m0) 形式的方程， 如果 p0，就可以利用直接開平方法。（3）用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。（4）直接開平方法解一元二次方程的步驟是：移項；使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1； 兩邊直接開平方

3、，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；方程兩邊都除以二次項系數(shù)； 方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式； 若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。21.2.2 公式法知識點一公式法解一元二次方程（1）一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) ，如果 b2-4ac0，那么方程的兩個根為 x=aacbb242，

4、這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的過程。（3）公式法解一元二次方程的具體步驟： 方程化為一般形式： ax2+bx+c=0(a0) ，一般 a 化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號；求出 b2-4ac 的值；若 b2-4ac0，則把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac 0，則方程無實數(shù)根。知識點二一元二次方程根的判別式式子 b2-4ac 叫做方程ax2+b

5、x+c=0(a0) 根的判別式，通常用希臘字母表示它，即=b2-4ac. 0，方程 ax2+bx+c=0(a0) 有兩個不相等的實數(shù)根一元二次方程=0，方程 ax2+bx+c=0(a0) 有兩個相等的實數(shù)根根的判別式0，方程 ax2+bx+c=0(a0)無實數(shù)根21.23 因式分解法知識點一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的詳細步驟： 移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0； 把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、 平方差公式和完全平方公

6、式； 令每一個因式分別為零，得到一元一次方程； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知識點二用合適的方法解一元一次方程方 法 名理論依據(jù)適用范圍稱直接開平方法平方根的意義形如 x2=p 或（mx+n ）2=p(p0) 配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因式分解法當 ab=0，則 a=0或 b=0 一邊為 0， 另一邊易于分解成兩個一次因式的積的一元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關系若一元二次方程 x2+px+q=0的兩個根為 x1,x2, 則有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程 a2x+bx+c=0(a0)有兩個實數(shù)根 x1,x2,

7、則有 x1+x2=，ab,x1x2=ac22.3 實際問題與一元二次方程知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟：（1）審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間的等量關系。（2）設：是指設元，也就是設出未知數(shù)。（3）列：就是列方程，這是關鍵步驟,一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程。（4）解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。（5）驗：是指檢驗方程的解是否保證實際問題有意義，符合題意。（6）答：寫出答案。知識點二列一元二次方程解應用題的幾種常見類型（1）數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設中間的一個

8、數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1。三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2 。三位數(shù)的表示方法：設百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c ，則這個三位數(shù)是100a+10b+c. （2）增長率問題設初始量為 a，終止量為 b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次的增長或降低后的等量關系為 a（1x）2=b。（3）利潤問題利潤問題常用的相等關系式有：總利潤=總銷售價 - 總成本；總利潤 =單位利潤總銷售量；利潤 =成本利潤率（4）圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關元素的關系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程。二次函數(shù)

9、知識點歸納及相關典型題第一部分基礎知識1. 定義：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質（1）拋物線2axy的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸. （2）函數(shù)2axy的圖像與a的符號關系 . 當0a時拋物線開口向上頂點為其最低點；當0a時拋物線開口向下頂點為其最高點 . （3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy）（0a. 3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線 . 4. 二 次 函 數(shù)cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 ， 其 中abacka

10、bh4422，. 5. 二次函數(shù)由特殊到一般， 可分為以下幾種形式： 2axy； kaxy2； 2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a的符號決定拋物線的開口方向：當0a時，開口向上；當0a時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于y軸（或重合）的直線記作hx. 特別地，y軸記作直線0 x. 7. 頂點決定拋物線的位置 . 幾個不同的二次函數(shù)， 如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同. 8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點是）

11、，（abacab4422，對稱軸是直線abx2. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點為(h,k) ，對稱軸是直線hx. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失. 9. 拋物線cbxaxy2中，cba,的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與2axy中的a完全一樣 . （2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2，故：0b時，對稱軸為y軸；0a

12、b（即a、b同號）時，對稱軸在y軸左側；0ab（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側 . （3）c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點的位置 . 當0 x時，cy，拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個交點（ 0，c） ：0c，拋物線經過原點 ; 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y軸右側，則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標2axy當0a時開口向上當0a時開口向下0 x（y軸）（0,0）kaxy20 x（y軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2

13、hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式 . （2）頂點式：khxay2. 已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標1x、2x，通常選用交點式：21xxxxay. 12. 直線與拋物線的交點（1）y軸與拋物線cbxaxy2得交點為 (0, c). （2）與y軸平行的直線hx與拋物線cbxaxy2有且只有一個交點 (h,cbhah2). （3）拋物線與x軸的交點二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標1x

14、、2x，是對應一元二次方程02cbxax的兩個實數(shù)根 . 拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；沒有交點0拋物線與x軸相離. （4）平行于x軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有 0 個交點、 1 個交點、 2 個交點. 當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是kcbxax2的兩個實數(shù)根 . （5）一次函數(shù)0knkxy的圖像l與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像g的交點，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同的解時l與g有兩個交點 ; 方程組

15、只有一組解時l與g只有一個交點； 方程組無解時l與g沒有交點 . （6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線cbxaxy2與x軸兩交點為0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的兩個根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxab444222122122121第二十三章旋轉23.1 圖形的旋轉知識點一旋轉的定義在平面內，把一個平面圖形繞著平面內某一點o轉動一個角度，就叫做圖形的旋轉，點o叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。我們把旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向稱為旋轉的三要素。知識點二旋轉的性質旋轉的特征：（1）對應點到旋轉中心的距離相等； （2）對應點與旋轉中

16、心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點三利用旋轉性質作圖旋轉有兩條重要性質：（1）任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（2）對應點到旋轉中心的距離相等，它是利用旋轉的性質作圖的關鍵。步驟可分為：連：即連接圖形中每一個關鍵點與旋轉中心；轉：即把直線按要求繞旋轉中心轉過一定角度（作旋轉角）截：即在角的另一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；接：即連接到所連接的各點

17、。23.2 中心對稱知識點一中心對稱的定義中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的是兩個圖形的位置關系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉180兩個圖形能夠完全重合。知識點二作一個圖形關于某點對稱的圖形要作出一個圖形關于某一點的成中心對稱的圖形，關鍵是作出該圖形上關鍵點關于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可得出成中心對稱圖形。知識點三中心對稱的性質有以下幾點：（1）關于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2）關于

18、中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，是全等形；（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等。知識點四中心對稱圖形的定義把一個圖形繞著某一個點旋轉180，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。知識點五關于原點對稱的點的坐標在平面直角坐標系中，如果兩個點關于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y ）關于原點對稱點為（ -x,-y ） 。第二十四章圓24.1 圓24.1.1 圓知識點一圓的定義圓的定義：第一種：在一個平面內，線段oa繞它固定的一個端點o旋轉一周，另一個端點 a所形成的圖形叫作圓。固定的端點o叫作圓心，線段oa叫作半

19、徑。第二種：圓心為 o ，半徑為 r 的圓可以看成是所有到定點o的距離等于定長r 的點的集合。比較圓的兩種定義可知： 第一種定義是圓的形成進行描述的，第二種是運用集合的觀點下的定義，但是都說明確定了定點與定長，也就確定了圓。知識點二圓的相關概念（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫作直徑。（2）?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3）等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。（4）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等

20、弧，而不是長度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識點一圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。知識點二垂徑定理（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑為 cd ，ab是弦，且 cd ab ， am=bm 垂足為 m ac=bc ad=bd 垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧如上圖所示，直徑cd與非直徑弦 ab相交于點 m ， cdab am=bm ac=bc ad=bd 注意：因為圓的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不c m a b d 是直徑，否則結論不成立。24.

21、1.3 弧、弦、圓心角知識點 弦、弧、圓心角的關系（1）弦、弧、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余的各組量也相等。（3）注意不能忽略同圓或等圓這個前提條件，如果丟掉這個條件， 即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等， 比如兩個同心圓中， 兩個圓心角相同， 但此時弧、弦不一定相等。24.1.4 圓周角知識點一圓周角定理（1）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。（2）圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是

22、直角，90的圓周角所對弦是直徑。（3）圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡模駝t就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩類。知識點二圓內接四邊形及其性質圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。24.2 點、直線、圓和圓的位置關系24.2.1 點和圓的位置關系知識點一點與圓的位置關系（1）點與圓的位置關系有：點在圓外，點在圓上，點在圓內三種。（2）用數(shù)量關系表示：若設 o的半徑是 r ，點 p到圓的距離 op=d ，則有：

23、點 p在圓外 dr ；點 p 在圓上 d=r；點 p 在圓內 dr。知識點二過已知點作圓（1）經過一個點的圓（如點a）以點 a外的任意一點（如點o ）為圓心，以 oa為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。o1 a o2 o3 （2）經過兩點的圓（如點a、b）以線段 ab的垂直平分線上的任意一點（如點o ）為圓心，以 oa （或 ob ）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個。 a b （3）經過三點的圓 經過在同一條直線上的三個點不能作圓 不在同一條直線上的三個點確定一個圓，即經過不在同一條直線上的三個點可以作圓，且只能作一個圓。如經過不在同一條直線上的三個點a、b、c作圓，作法：連

24、接ab 、bc （或 ab 、ac或 bc 、ac ）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點o ，以點 o為圓心，以 oa （或 ob 、oc ）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個。知識點三三角形的外接圓與外心（1）經過三角形三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。知識點四反證法（1）反證法：假設命題的結論不成立，經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（2）反證法的一般步驟： 假設命題的結論不成立； 從假設出發(fā)，經過邏輯推理，推出或與定義，或

25、與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結論； 由矛盾判定假設不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關系a b o c 知識點一直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關系可以用數(shù)量關系表示若設 o的半徑是 r，直線 l 與圓心 0 的距離為 d，則有：直線 l 和o相交 d r ；直線 l 和o相切 d = r；直線 l 和o相離 d r 。知識點二切線的判定和性質（1）切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。（3）切線的其他性質：切線與圓只有一個公共點；

26、切線到圓心的距離等于半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；必過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。知識點三切線長定理（1）切線長的定義：經過園外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點一個是在圓外一點，另一個是切點。知識點四三角形的內切圓和內心(1)三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。這個三角形叫做圓的外切三角形。(2)

27、三角形的內心：三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心。(3)注意：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點，所以當三角形的內心已知時，過三角形的頂點和內心的射線，必平分三角形的內角。24.2.3 圓和圓的位置關系知識點一圓與圓的位置關系（1）圓與圓的位置關系有五種： 如果兩個圓沒有公共點，就說這兩個圓相離，包括外離和內含兩種； 如果兩個圓只有一個公共點，就說這兩個圓相切，包括內切和外切兩種； 如果兩個圓有兩個公共點，就說這兩個圓相交。（2）圓與圓的位置關系可以用數(shù)量關系來表示：若設兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1 r2, 且 r1 r2，則有兩圓外離 dr1+r2 兩圓外切 d=r1+r

28、2 兩圓相交 r2-r1dr1+r2 兩圓內切 d=r2-r1 兩圓內含 dr2-r124.3 正多邊形和圓知識點一正多邊形的外接圓和圓的內接正多邊形正多邊形與圓的關系非常密切，把圓分成n（n 是大于 2 的自然數(shù)）等份，順次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點二正多邊形的性質（1）正 n 邊形的半徑和邊

29、心距把正多邊形分成2n 個全等的直角三角形。（2）所有的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n 邊形共有 n 條對稱軸，每條對稱軸都經過正 n 邊形的中心；當正n 邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n 邊形也是中心對稱圖形，正 n 邊形的中心就是對稱中心。（3）正 n 邊形的每一個內角等于nn180)2(，中心角和外角相等，等于n360。24.4 弧長和扇形面積知識點一弧長公式 l=180rn在半徑為 r的圓中， 360的圓心角所對的弧長就是圓的周長c=2r，所以 n的圓心角所對的弧長的計算公式l=360n2r=180rn。知識點二扇形面積公式在半徑為 r的圓中， 360的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積s=r2，所以圓心角為 n的扇形的面積為s扇形=3602rn。比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：s扇形=lrlrrrnrns21,21211803602扇形所以知識點三圓錐的側面積和全面積圓錐的側面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側面展開，容易得到圓錐的側面展開圖是一個扇形。設圓錐的母線長為l ，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l ，扇形的弧長為 2r ，因此圓錐的側面積rllrs221圓錐側。圓錐的全面積為2rrlsss底圓錐側圓錐全。25.1 隨機事件與概率25.1.