專題：拋物線與圓綜合探究題

1、專題：拋物線與圓綜合探究題拋物線與圓綜合探究題，綜合性強(qiáng)，難度較大，通常都作為“壓軸題”，解此類題通常需要熟練掌握拋物線與圓相關(guān)的基本知識(shí)和基本技能，求解時(shí)注意運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行綜合、分析、探究解題思路。2例1、拋物線y =ax bx c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C ,已知拋物線的對(duì)稱軸為x = 1，2B(3,0) ,C(0,-3)，求二次函數(shù) y=ax bx c的解析式；在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求岀P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；平行于x軸的一條直線交拋物線于 M、N兩點(diǎn)，若以 MN為直徑的圓恰好與 x軸相切，求此圓的半徑.解：(1)將C0

2、 3 代入 y=ax2+bx+c，得 c = -3 將c = 3，B(3,0)代入 y = ax2+bx + c，K得 9a 3b 0 . x =1 是對(duì)稱軸，- 一 = 1 .將(2)代入(1)卜2a得a =1， b = -2 .二次函數(shù)得解析式是 y = x2 -2x -3. (2) AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn) P即為到B、C的距離之差最大的點(diǎn).C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, -3)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)，直線AC的解析式是y = -3x-3，又對(duì)稱軸為 x =1， 點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,-6).( 3 )設(shè)M(x,y)、N(X2，y)，所求圓的半徑為r，則X2-X1=2r，.(1) v對(duì)稱軸為x =1，x?x

3、2 .(2)由(1)、(2)得：X2=r+1.(3)將 N(r+1,y)代入解析式2 2=x _2x_3，得 y = (r+1) _2(r+1)3，.(4)整理得：y = r 2 一 4 .由于r= ± y，當(dāng)y 0時(shí),r2(舍去)，當(dāng)y : 0時(shí)，r2 r0，解得，口1 + J17_r -4 =0，解得，1 ：2目(舍去)徑是17或7-1、17_ 2.所以圓的半例2、已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù) y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)經(jīng)過O、A兩點(diǎn)。 試用含a的代數(shù)式表示 b;設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D,以D為圓 心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻

4、折后的劣弧落在O D內(nèi)，它所在的圓恰與 OD相切，求O D半徑的長及拋物線的解析式；設(shè)點(diǎn)B是滿足中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得/ poa =4 / OBA ?若存在，求岀點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說3明理由。（1）解法一：丁一次函數(shù)y=kx_4k的圖象與x軸交于點(diǎn)a點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）丁拋物線y = ax2亠bx亠c經(jīng)過O A兩點(diǎn).c = 0,16a亠4b = 0 . b - -4a解法二：丁一次函數(shù)y = kx - 4k的圖象與x軸交于點(diǎn) A 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）v拋物線y =ax2 bx c經(jīng)過O A兩點(diǎn)拋物線的對(duì)稱軸為直線bx = 2 x22

5、a（2）解：由拋物線的對(duì)稱性可知，DO= DA/-點(diǎn)O在O D上，且/ DOA=Z DAO又由（1 ）知拋物線的解析式為2cy = ax -4ax /點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，-4a） 當(dāng)a 0時(shí)， 如圖1，設(shè)o d被x軸分得的劣弧為0mA，它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA，顯然OnA所在的圓與O D關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)它的圓心為 D'D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱/點(diǎn)點(diǎn) O在O D'上，且 OD與O D'相切/點(diǎn) O為切點(diǎn)/ D'OL OD /Z DOA=Z D'OA= 45 °ADO為等腰直角三角形二-4a = -2.OD = 2 2 /點(diǎn)d的縱坐標(biāo)為

6、-21，"” a = , b = 4a = 22拋物線的解析式為 y線的解析式為y =1 22 -2x 當(dāng) a : 0時(shí)，2x2 - 2x 綜上，O D半徑的長為2 2，拋物線的解析式為2同理可得：OD=2、2拋物-x2 2x24（3）解答：拋物線在x軸上方的部分上存在點(diǎn) P,使得Z POA = 4 Z OBA3設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x ,y）,且y >0當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y = 1 x2 -2x上時(shí)（如圖2）2t點(diǎn)B是OD的優(yōu)弧上的一點(diǎn).Z OBA 二 1 Z ADO = 452.tanZ POE 二OEZ POA=4Z OBA =603過點(diǎn)P作PEL x軸于點(diǎn)E乂 =ta n60xy

7、 = 3xy = . 3xf 1 2 y =由圖3解得：- 2xx1 =4 +2巧,y =6 + 4蟲L.y2X2=0 （舍去）=0 /點(diǎn)P的坐標(biāo)為4 2. 3,6 4、3當(dāng)點(diǎn)P在拋物線y = X22x上時(shí)（如圖3）2同理可得，y = < 3x（舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為4_2. 3, _6 4 3 綜上，存在y = . 3x(12解得:y x 2x2x<| =4 2十'3x? = 0L，cyi =-6 十4柘、y2 =°滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)P的坐標(biāo)為 42.、3,64 3或4_2.3,_63心的坐標(biāo)；拋物線y = ax2 + bx + c過O A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)3

8、y = 的圖象上，求拋物線的解析式；過圓心C作平行于x軸的直線DE3交O C于D、E兩點(diǎn)，試判斷 D、E兩點(diǎn)是否在中的拋物線上；若中的拋物線上存在點(diǎn)P （xo，yo），滿足/ APB為鈍角，求xo的取值范圍。解：（1） TO C經(jīng)過原點(diǎn)0, AB為O C的直徑。 C為AB的中點(diǎn)。1 1過點(diǎn)C作CH垂直x軸于點(diǎn)H,則有CH= 0B=、3，0H= 0A= 1。二圓心C2 2的坐標(biāo)為（1， . 3）o（2）拋物線過 O A兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為 x = 1oT拋物線坐標(biāo)代入拋物線拋物線2y = ax+ bx + c，得a求c =0解得1拋物線的解析式為4a 2b c =02 3b _3_ 3a -&

9、#39;b c3c =0I的頂點(diǎn)在直線fx 上,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,）把這三點(diǎn)的3知點(diǎn)(3) / 0A= 2, 0B= 2品, AB = J22 +(2妁2 =4.即o c 的半徑 r = 2。二 D( 3, 43 ), E ( 1,D E均在拋物線上（4）t AB為直徑，.當(dāng)拋物線上的點(diǎn)(avO)又拋物線經(jīng)過點(diǎn)N( 2，3)，側(cè))，與y軸交于點(diǎn)Co求拋物線的解析式及點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)； 若 直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn) D,試證明四邊形 CDAN是平 行四邊形； 點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸 x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸?x軸上方是 否存在這樣的 P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過 A、B兩點(diǎn)，

10、并且與直線 CD相 切，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。2 2y = ( x 1 + 4= x + 2x + 3.令 y =B ( 3， 0);令 x = 0，得 y = 3，所以 C解：(1)由拋物線的頂點(diǎn)是 M( 1, 4)，設(shè)解析式為y= a (x12+4所以3= a (21 2+4解得a = 1所以所求拋物線的解析式為0，得一 x2+2x +3=0，解得：x1=1 x2=3.得 A ( 1，0)(0, 3).t=3(2)直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，所以即k = 1, t = 3直線解析式為 y = x + 3. 令y = 0,k+1 =4得x = 3,故D ( 3

11、, 0) CD = 3、2 連接AN,過N做x軸的垂線，垂足為 F. 設(shè)過A、N兩點(diǎn)的直線_L m + n=0的解析式為y = mx+ n,貝9解得m= 1 ,n= 1所以過A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為 y = x+ 1所2m+ n=3以DC/ AN. 在Rt ANF中，AN= 3, NF= 3,所以AN= 3 2 所以DC= ANO因此四邊形 CDAN是平行四邊形.(3) 假設(shè)在x軸上方存在這樣的 P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過 A、B兩點(diǎn)，并且與直線 CD相切，設(shè)P (1 ,u) 其中u > 0,貝U PA是圓的半徑且 PA2= U2+ 22過P做直線CD的垂線，垂足為 Q,則PQ= PA

12、時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切。由第(2)小題易得： MDE為等腰直角三角形， 故厶PQM也是等腰直角三角形，由P (1 , u)得 PE= u, PM=|4-u| , PQ =字=|4-UL 由 PQ2= PA2得方程：(4 U) = u2+ 22，解得 應(yīng) 血2u= 4_2.6，舍去負(fù)值u = 42.6，符合題意的u= 4+2,6，所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為(1, 4+ 2 6 )例5、已知：如圖，拋物線12. 3y x2' x m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，/ ACB= 90° ,3 3求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)； 于另一點(diǎn)D,連結(jié)DM并延長交O 交x軸

13、、y軸于點(diǎn)F、G ,求直線過A、B、C的三點(diǎn)的O M交y軸 M于點(diǎn)E ,過E點(diǎn)的O M的切線分別 FG的解析式； 在條件下，設(shè) P為in上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連結(jié)PA交y軸于點(diǎn)H,問是 否存在一個(gè)常數(shù) k,始終滿足 AH - AP = k ,如果存在，請(qǐng)寫岀求解 過程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解：由拋物線可知，點(diǎn) （X2 , 0）.則有設(shè) A (xi, 0) , BC的坐標(biāo)為(0 , m),且mx 0.X1 X2= 3m 又0C是 Rt ABC的DCGAOCA COBOA OCOC 一 OB_ 為一 m ?-mx2即 xi X2= m22m = 3 m,解得m= 0 或mi= 3而 m

14、x 0,故只能取 m= 3這時(shí),122.3y = _ x3解法一：由已知可得：M（3 , 0）,亠扣-3）24故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（.，3, 4）A( V3 , 0), B( 3y/3 , 0), C (0, 3), D( 0,拋物線的對(duì)稱軸是 x =3 ,也是O M的對(duì)稱軸, 連結(jié)CETDE是O M的直徑，/ DCE= 90°，直線垂直平分 CE - E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 3, 3）OA _ OMOC 一 OD.3/ AOC=Z DOI= 90°3/ ACO=/ MD= 30°, AC/ DE / AC丄 CB CB丄 DE又 FGL DE FG/ CB 由 B (

15、3 3 , 0)、C (0, 3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線 CB的解析式為：y=3x 3可設(shè)直線3FG的解析式為y=3 x + n ,3把( 2 3,3）代入求得n = 5故直線FG的解析式為122(3解法二：令y = 0，解-x22 33x 3= 0 得 xi = - 3 , X2= 3 3 ,即 A ( . 3 , 0), B (3.3, 30)根據(jù)圓的對(duì)稱性， 易知：O M 半徑為 2. 3, M(、.3, 0)在 Rt BOC中 , / BOC= 90° , OB= 3 . 3 ,OC= 3CBO= 30°,同理，/ OD= 30°。而/ BME=Z DMO /

16、 DOI= 90°, DEI BCv DEL FG- BC/ FG/ EFM=Z CBO= 30° 在 Rt EFM 中，/ MEF= 90° , ME= 2、一 3 , / FEM= 30 ° , MF= 4 ： 3 , - OF=OMF MF= 5.3, F 點(diǎn)的坐標(biāo)為(5.3, 0)在 Rt OFG 中，OG= OF- tan 30 ° = 5、3 X 3 = 5：G 點(diǎn)3的坐標(biāo)為（0, 5）直線FG的解析式為y =x-5（解法二的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)參照解法一酌定）3ACAHAPACc c解法一：存在常數(shù)k= 12,滿足AH- AP 12 連結(jié)CP

17、由垂徑定理可知 AD二ACP=Z ACH(或利用/ P=Z ABC=Z ACO 又I/ CAH=Z PAC / ACHT APC即 AC= AH- AP 在 Rt AOC 中，AC= AO+ oC=(.、3 ) 2+ 32= 12 (或利用 AC= AO- AB=3 X 4.3 = 12a AH AN12解法二： 存在常數(shù) k = 12，滿足 AH - AN 12設(shè)AH= x, A吐y 由相交弦定理得 HD - HC = AH - HP 即例 6、拋物線 y = ax2 bx c（ a ： 0）交x軸于點(diǎn) a（-i,o）、b（3,0）, 交y軸于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,以BD為直徑的O M恰好過點(diǎn)C.

18、 （1）求頂點(diǎn)D的 坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P使厶PBD為直角三角形？若存在，求岀點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解：（1）（方法一）由題意：設(shè)拋物線的解析式為y =a（x JXx 一3）2 2.y =ax 2ax da =a(x1) 3a .點(diǎn) c(0,- 3a), D( 1, -4a)（方法二）由題意：3 _b +c =09a+3b+c = 0 ,解得b - -2ac = -3ay =ax 2ax -3a (下同方法一)DE（2）（方法一）過點(diǎn)D作DEIy軸于點(diǎn)E,易證 DE3A COB： OCAVCE 1OB -3a2a : 0 a =

19、一1故拋物線的解析式為：y =-X2x 3（方法二）過點(diǎn) D作DEI y軸于點(diǎn)E,過M作MGL y軸于點(diǎn)G,設(shè)O M交x軸于另一點(diǎn)H,交y軸于另點(diǎn)F,可先證四邊形 OHDE為矩形，貝U OH= DE= 1,再證0F= CE- a，由0H0B= OF- OC#:(一 a)(-3a) =1 3日（下同法一）（P1表示第一個(gè)P（3）符合條件的點(diǎn) P存在，共3個(gè)若/ BPD= 90 ° , P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則 P1 （ 0, 3）2點(diǎn)，下同）若/ DBP= 90°,過點(diǎn) P2作P2R丄x軸于點(diǎn) R,設(shè)點(diǎn)P2（P, p 2p 3）由厶BP2MA DBH得，2至=空-p+3p -2p3

20、_33 _9）DH BH，即 42 ，解得2或p =3 （舍去）故 2' 4若/ BDP= 90°,設(shè)DP31717y X亠的延長線交y軸于點(diǎn)N,可證 EDN HDB求得EN= 2 , N （ 0, 2 ）求得DN的解析式為 22求拋1 15z 391 15 （ ） 物線與直線DN的交點(diǎn)得P3 （ 2'4 ），綜上所述：符合條件的點(diǎn) P為（0, 3 ）、2' 4、（ 2' 4 ）例7、已知拋物線y=ax2+bx+c(a工0)與x軸交于不同的兩點(diǎn)對(duì)稱軸為x=1.求此拋物線的解析式；過A、B、C三點(diǎn)作O O'與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)且與直線AD垂直(垂

21、足為 E)的直線OE的方程； 的交點(diǎn)為Q ,直線x=m與拋物線的交點(diǎn)為 R,直線R、S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求岀A和B (4 , 0),與y軸交于點(diǎn) C ( 0 , 8)其D,求經(jīng)過原點(diǎn)O 設(shè)O O'與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P ,直線OE與直線BCx=m與直線OE的交點(diǎn)為S。是否存在整數(shù) m使得以點(diǎn) P、Q、 m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。b-2=1 ,2a解：由已知，有*a 42 +b 4+c = 0,解得c = 8.a = 一1«b=2拋物線c =8.的解析式是y=-x 2+2x+8 .(2)令 y=0，得方程-x 2+2x+8 = 0,解得 X1=-2 ,標(biāo)

22、為(-2 , 0).在OO'中，由相交弦定理，得即2 X 4=8X |OD| , |OD|=1. 點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) 標(biāo)為(0 , -1).在 Rt AOD中，J |OA|=2 , |OD|=1 , OE! AD, 由勾股定理，有AD=.2212 = ,5 .又 |OA| |OD|= |AD| |OE| , .lOEF225X2=4.點(diǎn)A的坐OA| |OB|=|OC| |OD| ,D的坐0x/ |0A| 2=|AE| |AD| ,即 22= 5 |AE| ,|AE|=5同理，由 |OD|2=|DE| -|AD| ,得|DE|=-54411工，y二工.在 Rt DOE中 , J-|

23、DE| |OE|=丄|x|5522 |y|=-4).5方程為設(shè)直線OE的方程為y=kx (k工0).直線OE經(jīng)過點(diǎn)11.設(shè)點(diǎn) E(x , y),且 x<0 , y<0.在 Rt AOE中，-|AE| -|OE|=|y|-|OA| ,2222 x=- 2. 點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-,554 2=-k , K=2.直線 OE的5 52|OD| , |x|=-5E(- 2 , - 4 ) , 55y=2x.(3)在OO'中，對(duì)稱軸x=1垂直平分弦 AB,.由垂徑定理的推論知直線x=1經(jīng)過圓心0'. C(0 , 8) ,由對(duì)稱當(dāng)?shù)命c(diǎn)P的坐標(biāo)為(2 , 8).設(shè)直線BC的方程為y=k

24、x+b (k工0).則有丿4k b-°解得 b = 8.k = 一2 直線BC的方程為b =8.y=-2x+8.聯(lián)立方程組y = 2x y =-2x +8 ,x =2點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2 , 4)./點(diǎn) P(2 , 8)，點(diǎn) Q(2 , 4),PQRS為平行四邊形，已知 PQ/ RS.設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為PQ/ RS,尚需條件 |RS|=|PQ|.(m , -m +2m+8)，點(diǎn)S的坐標(biāo)的(m , 2m).要使四邊形 由 |(-m 2+2m+8)-2m|=|8-4|=4, 得 |-m 2+8|=4 ,解得 m=士 2,或m=± 2 3 .而m=2, 士 2 . 3不合題意，應(yīng)舍去.存

25、在整數(shù) m=-2，使得以P、Q R、S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.例8、如圖3已知拋物線y = ax2 bx C，經(jīng)過點(diǎn)A(0, 5)和點(diǎn)B(3, 2)(1)求拋物線的解析式：(2) 現(xiàn)有一半徑為I，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，問O P在運(yùn)動(dòng)過程 中，是否存在O P與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在， 請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)： 若不存在，請(qǐng)說明理由；(3) 若O Q的半徑為r，點(diǎn)Q在拋物線上、O Q與兩坐軸都相切時(shí)求半徑 r的值解析(1)由題意，得；b=-4解得c=5拋物線的解析式為 y =x2 -4x 5(2)當(dāng)O P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在O P與坐標(biāo)軸相切的情況.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(xo, y0)，則則當(dāng)O P

26、與y軸相切時(shí)，有|xo|=i, xo = ±1由 x0 =1，得 yo=12+4x1+5=10. R(_1,10),由 xo =1，得 yo =12 -4 1 5=2, P2(1,2).當(dāng)O P與x軸相切時(shí)有|y0|=1拋物線開口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方. y0 =12由 yo =1，得 x0 -4x0 5 = 1，解得 yo=2, B(2, 1)綜上所述，符合要求的圓心P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：R(1,10?2,(1,P2),(2,1)(3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x, y),則當(dāng)O Q與兩條坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有y=-x5-/5 由 y=x 得 X2 - 4x 5 二 X,即 x2 -5x 5

27、= 0，解得 x 二由 y = -X，得 x2 -4x 5 = -X，即x2 -3x 5 = 0 ,此方程無解例9、已知：如圖，拋物線y3 x- -x 3的圖象與x軸分別交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn),33經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A C，點(diǎn)D是劣弧OA上一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)與A, O不重合).(1)(2)(3)求拋物線的頂點(diǎn) E的坐標(biāo)；求LI M的面積；連CD交AO于點(diǎn)F，延長CD至G，使FG相切，并請(qǐng)說明理由.解("拋物線寺2x13GA 與 U M32(x+1 )(說明：用公式求 E點(diǎn)的坐標(biāo)亦可).(2)連 AC ； 7_ M 過 A, O, C,Z AOC.AC為L O的直徑.而 OA =3,

28、OC =麗(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)時(shí)，直線 GA與LI M相切理由：在 Rt ACO 中，OA =3, 0Ch$3 V tan Z ACO = - = 73 . Z ACO =60 ：,Z CAO =30；，-點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)GAD 二 DOZ ACG =Z DCO =30.OF =OCLtan30： =1 , Z CFO =60：在厶GAF 中,AF =2, FG =2Z AFG =Z CFO =60：.AGF為等邊三角形.Z GAF =60；.Z CAG =Z GAF Z CAO =90；又AC為直徑，.當(dāng)D為OA的中點(diǎn)時(shí)，GA為L| M的切線解得a=2,拋物線的解析表達(dá)式為y*x2x

29、 .例10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) B(_2、2,0) , A(m,0) (- . 2 m . 0)，以AB為邊在x軸下 方作正方形 ABCD，點(diǎn)E是線段OD與正方形 ABCD的外接圓除點(diǎn) D以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié) BE與 AD相交于點(diǎn)F .(1) 求證：BF = DO ;(2) 設(shè)直線丨是 BDO的邊BO的垂直平分線，且與 BE相交于點(diǎn)G 若G是厶BDO的外心，試求經(jīng) 過B, F, O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；(3) 在(2)的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使該點(diǎn)關(guān)于直線 BE的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求 出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解(1)在 ABF 和 ADO

30、 中，四邊形 ABCD 是正方形，.AB =AD,/ BAF 二/ DAO =90；. 又;/ABF =上 ADO , ABF ADO ,.BF 二 DO .(2) 由(1),有 ABF ADO，: AO = AF = m .二點(diǎn) F (m, m).?G是 BDO的外心，.點(diǎn)G在DO的垂直平分線上.點(diǎn)B也在DO的垂直平分線上. DBO為等腰三角形，BO二BD =2AB .而 BO =2血怦=2Q m =2T2 + m ,.2.2 =、2 2、2 m , m =2 -2,2 .F 2 -2、2,2 -2 2 .設(shè)經(jīng)過B, F, O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為 討二ax2 bx c 0 .丁拋物線過

31、點(diǎn) O 0,0 , c=0 . . y=ax2，bx.把點(diǎn)B-2、,2,0，點(diǎn)F 2-22,2-2、2的坐標(biāo)代入中，得0 - -2.2 彳 a-2. 2 b,2-2、2 二 2 -2 2 2 a 2-2.2 b.-2、2a b 二 0,2-2 2 a b =1.(3)假定在拋物線上存在一點(diǎn) P，使點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)P在x軸上.7 BE是/ OBD的平分線，-x軸上的點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)P必在直線BD上，即點(diǎn)P是拋物線與直線 BD的交點(diǎn).設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為 y二kx b，并設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)Q，則由 BOQ 二 OQ =0B 二 Q(0, 2/2 ).把點(diǎn)B -2、2,0，點(diǎn)

32、Q 0,2,2代入kx b中，得0 =,2k b, k 一1,2 “2b.b - -.2.直線BD的解析表達(dá)式為y = -x -2、2 .設(shè)點(diǎn)P x0, y0，則有y0二-怡-2,2 .把代入，得 丄X： *2x0 - -x0 -2.2 ,2.* x：x2 1 x 2.2=0,即 x0 2 .2 1 x0 4、2 = 0 .X。2、一 2 x02 =0 .解得x0 =:2邁或x0 =2 .當(dāng) x0 = -2、. 2 時(shí)，y = - x0 '22 = 2,2 -2、2 - 0 ；當(dāng) x° = -2 時(shí)，y0 = -x()- 2、2 = 2 - 2 2 .在拋物線上存在點(diǎn) R -

33、21.2,0 , F2 -2,2-22，它們關(guān)于直線 BE的對(duì)稱點(diǎn)都在是等腰直角三角形.x軸上.例11、若拋物線y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交于 A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，以O(shè)A、OB 為直徑分別作。Oi >O O2(1) 試證：無論m取何實(shí)數(shù)，拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2) 當(dāng)兩圓相等時(shí)，求m的值；(3) 如果兩圓外切，求m的范圍；點(diǎn)B能否在原點(diǎn)的左側(cè)？請(qǐng)說明理由；(5) 兩圓內(nèi)切時(shí)，求m的范圍；(6) 若兩圓內(nèi)切時(shí)，當(dāng) M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, 0)，試證：OA v OM v OB ；如果兩圓外切，且。Oi>© O2的周長之比為2:1，求m的值；(8) 若兩圓面

34、積之和為7 n，求m的值；4(9) 若兩圓外切時(shí)，外公切線長為 3,求m之值。分析 若設(shè) y=x2-(m+3)x+m+1 與 x 軸交于 A(xi，0)、B(X2,O)，顯然 xivX2。(1)因?yàn)閽佄锞€y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為所對(duì)應(yīng)的一元二次方程 x2-(m+3)x+m+1=0的兩根。所以，要證明拋物線與 x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，就是要證明方程 x2-(m+3)x+m+1=0的根的判別式> 0 =-(m+3) 2-4(m+1) =m2+2m+52=(m+1) +4> 0顯然，問題可證。由(1)可知，點(diǎn)A、點(diǎn)B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，若兩圓相等，則 OA=OB，且點(diǎn)A，點(diǎn)B分 布在原點(diǎn)的兩側(cè)，又