線性代數(shù)課件 5章 特征值及特征向量

1、一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法一、特征值與特征向量的定義一、特征值與特征向量的定義注意注意a（1） 是方陣是方陣（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量x（4）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值）一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值（3）方陣）方陣 的與特征值的與特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一a 定義定義1設(shè)設(shè) 是是 階方陣，階方陣，an若數(shù)若數(shù) 和和 維非零列向量維非零列向量 ，使得，使得 nx axx 成立，則稱成立，則稱為方陣為方陣 的對(duì)應(yīng)于特征

2、值的對(duì)應(yīng)于特征值 的一個(gè)的一個(gè)特征向量。特征向量。x a 是方陣是方陣 的一個(gè)的一個(gè)特征值，特征值， a10,01exo例：1,exx 滿足滿足設(shè)設(shè) a 是是 n 階方陣，如果數(shù)階方陣，如果數(shù) 和和 n 維維非零非零列向量列向量 (1)axx則稱則稱 為為 a 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 稱為稱為 a 的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于( (或?qū)儆诨驅(qū)儆? )特征值特征值 的的特征向量特征向量。 ()0 (2)ea x把把(1)改寫為改寫為 是是 a 的特征值的特征值0 ae 使得使得(2)有非零解有非零解 (2)的所有非零解向量都是對(duì)應(yīng)于的所有非零解向量都是對(duì)應(yīng)于 的特征向量的特征向量. xx分析分

3、析axx 0ae x 或或 0ea x 已知已知0,x 所以齊次線性方程組有非零解所以齊次線性方程組有非零解0ae 或或0ea 111212122212nnnnnnaaaaaaaeaaa 是關(guān)于是關(guān)于 的一個(gè)多項(xiàng)式，稱為矩陣的一個(gè)多項(xiàng)式，稱為矩陣 的的特征多項(xiàng)式。特征多項(xiàng)式。 a定義定義2 2 已知已知 (),n nijn naa 數(shù)數(shù) ，則，則ea 為為a的的特征矩陣特征矩陣 1112121222120nnnnnnaaaaaafaeaaa 稱為矩陣稱為矩陣 的的特征方程。特征方程。a特征方程特征方程| 0ae 的根即為的根即為a的特征值。的特征值。 由代數(shù)基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍恰有由代

4、數(shù)基本定理，特征方程在復(fù)數(shù)范圍恰有 n 個(gè)根個(gè)根(重根按重根按重?cái)?shù)計(jì)算重?cái)?shù)計(jì)算)。因此，。因此，n 階方陣在復(fù)數(shù)范圍恰有階方陣在復(fù)數(shù)范圍恰有 n 個(gè)特征值。個(gè)特征值。 本章關(guān)于特征值、特征向量的討論永遠(yuǎn)假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)本章關(guān)于特征值、特征向量的討論永遠(yuǎn)假設(shè)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。進(jìn)行。定理定理5.1.2nnnaaa 221121)1( an 21)2()()()(21naef 設(shè)設(shè) n 階方陣階方陣 特征值為特征值為)(ijaa n ,21, 則則nnnnn 21121)1()( aaaannnnn)1()(12211 又又定理定理5.1.3解解例例2,2111112baa;, 1 , 1 , 4)

5、 1 (baa求的特征值為若;, 2 , 4)2(baa求的特征值為若.,111) 3(所對(duì)應(yīng)的特征值及求的一個(gè)特征向量是若baa(1) a+2+2=4+1+1 |a|=4*1*1.12ba(2) |a-4e|=0 |a-2e|=0.03baoea)(3(0001112111112ba030204ba124ba設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 a 的特征值，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量的特征值，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量 xxkxkaxax)()()1( xxaxxaaxaxa22)2( 證明證明 (1) 是是 ka 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為 x。 k(2) 是是 的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為

6、的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量仍為 x。2 2a(3) 當(dāng)當(dāng) a 可逆時(shí)，可逆時(shí)， 是是 的特征值，對(duì)應(yīng)的的特征值，對(duì)應(yīng)的1 1 a特征向量仍為特征向量仍為 x。證證 xxaxaxaaxa 1)3(1111 性質(zhì)性質(zhì)1二、特征值與特征向量的性質(zhì)二、特征值與特征向量的性質(zhì)設(shè)設(shè) 是方陣是方陣 a 的特征值，的特征值， 則則 是是 的特征值。的特征值。k kammaaaa 2210)(mmaaaaaaeaa 2210)( 的特征值。的特征值。如果如果 a 可逆，則可逆，則mmkkaaaaa 1011)(mmkkaaaaeaaaaaa 1011)( 的特征值。的特征值。是是是是推廣推廣例例1設(shè)設(shè)n階方陣階方

7、陣a有有n個(gè)特征值個(gè)特征值1，2，.，n，求，求|a+3e|.，有特征值設(shè)aea3則3解解所以，a+3e的特征值： 4，5，.，n+3(3)!|3|3!nae性質(zhì)性質(zhì)2： 矩陣矩陣 和和 的特征值相同。的特征值相同。taa1212,ssap ppp pp，且線性無關(guān)，1 1221( ,sssak pk pk p kk則不全為零）a證明：設(shè) 是 的特征值| 0ae則, 0|)( |tea| 0tae即ta所以 是的特征值反之，亦然。注意：特征值相同并不意味著特征向量相同。注意：特征值相同并不意味著特征向量相同。1210,0323taa反例，1有同一特征值11,01 但對(duì)應(yīng)的特征向量分別為（4）定

8、理定理5.1.1設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣a的三個(gè)特征值為的三個(gè)特征值為2 , 1, 1 求求eaa23 解解 a的特征值全不為零，故的特征值全不為零，故a可逆?？赡?。112 aaaa, 2321 aeaaeaaa23223)(1 的三個(gè)特征值為的三個(gè)特征值為)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 計(jì)算得計(jì)算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 eaa因此，因此，例例112,2a 設(shè)是 的 個(gè)不同特征值，21,pp是對(duì)應(yīng)于 的特征向量，21, 線性無關(guān)。線性無關(guān)。則則21,pp121 122,0(1)k kk pk p1 122()0a k pk p1 1 1222kpkp1

9、1 1 1212(1)0kpkp乘 ：2212()0k p12又20k10k兩邊左乘a，證 設(shè)有一組數(shù)12121212 ,.,mmmmampppppp 定理設(shè)是方陣 的 個(gè)特征值依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量 如果各不相等 則線性無關(guān)性質(zhì)三性質(zhì)三注意.屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量.矩陣的特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而 言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值三、特征值與特征向量的求法三、特征值與特征向量的求法(1) 0ae 求出求出 即為特征值即為特征值;i 2()0iae x （ ）由由

10、ia 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量()0iae x 設(shè)設(shè)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為irn ,1，()iirr ae ia 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的全全部部特特征征向向量量為為11iinrnrkk ，rkkirn,1，1,0inrkk 且且，不不全全為為例例2 2 求求3113a解解 的特征值與特征向量的特征值與特征向量.31|24013ea4,221當(dāng)當(dāng)2時(shí)時(shí), ,02xae解解00111121xx同解方程組同解方程組21xx 特征值為特征值為01111kkx是是2時(shí)全部特征向量。時(shí)全部特征向量。得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為11,1p 當(dāng)當(dāng)4時(shí)時(shí), ,40,ea x解解121 101 10 xx 同解方程組同解

11、方程組12xx 2220xk p k是是4時(shí)全部特征向量。時(shí)全部特征向量。得基礎(chǔ)解系為得基礎(chǔ)解系為2(1, 1),p t解解第一步：寫出矩陣第一步：寫出矩陣a的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.ae 特征值為特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值第二步：對(duì)每個(gè)特征值代入齊次線性方程組代入齊次線性方程組 0,ae x 求非零解。求非零解。314020112a3140201123412)2() 1()2(2. 2, 1321例例3齊次線性方程組為得基礎(chǔ)解系是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量.當(dāng) 時(shí)，232oxea)2(1140001142ea000000114,1

12、102p.4013p223323(,k pk p k k不全為零）232系數(shù)矩陣自由未知量:3x令 得基礎(chǔ)解系:31x 111(0k p k 常數(shù))是對(duì)應(yīng)于12 的全部特征向量.齊次線性方程組為當(dāng) 時(shí)，11oxea)(414030111ea0000101011011p,232oeaa設(shè)證明a 的特征值只能取1或2.解解，有特征值設(shè)aeaa232則2322320,aae又因?yàn)樘卣髦抵荒苋?，232012.或者例例4、(1) 向量 滿足 , 0 a0 是 a 的特征向量嗎？(2) 實(shí)矩陣的特征值(特征向量)一定是實(shí)的嗎?(3) 矩陣 a 可逆的充要條件是所有特征值_.naae 210 或或，a 有

13、一個(gè)特征值為_.0 ea(4) ，a 有一個(gè)特征值為_.0 aea 可逆, a 的特征值一定不等于_.回答問題(5) 一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)于幾個(gè)特征向量?一個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)幾個(gè)特征值?(后面證明)(6) a 的各行元素之和均等于2,則 a 有一個(gè)特征值是_, 它對(duì)應(yīng)的特征向量是_。 1112222111333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa特征向量的個(gè)數(shù)=_。 是 的一個(gè)特征值，它對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)的0 nna )r(0aen 一、單選題一、單選題可逆矩陣可逆矩陣與矩陣（與矩陣（ ）有相同的特征值）有相同的特征值 ； ； 2 2； 為為

14、n 階方陣，則（階方陣，則（ ）結(jié)論成立）結(jié)論成立 可逆，則矩陣可逆，則矩陣屬于特征值屬于特征值的特征向量的特征向量 也是也是屬于屬于的特征向量；的特征向量； 的特征向量既為方程的特征向量既為方程( () )的全部解；的全部解； 特征向量的線性組合仍是特征向量特征向量的線性組合仍是特征向量 與與特征向量相同特征向量相同 課堂練習(xí)課堂練習(xí)一、單選題一、單選題答案：答案： ； ; 3. ; 3. 設(shè)設(shè)是一個(gè)可逆矩陣，則其特征值中（是一個(gè)可逆矩陣，則其特征值中（ ） 有零特征值有零特征值 有二重特征值零有二重特征值零 可能有也可能無零特征值可能有也可能無零特征值 無零特征值無零特征值4aa1 -1-

15、1、如如果果方方陣陣 的的任任一一一一行行的的n n個(gè)個(gè)元元素素之之和和都都為為a ,a ,則則 有有一一個(gè)個(gè)特特征征值值（ ） a (2) -a (3) 0 (4)aa (2) -a (3) 0 (4)a二、填空題二、填空題已知三階方陣的三個(gè)特征值為，則已知三階方陣的三個(gè)特征值為，則|a|a|（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ），），的特征值為（的特征值為（ ）設(shè)設(shè)k=0，k是正整數(shù)，則的特征值為（是正整數(shù)，則的特征值為（ ） 若若，則的特征值為（，則的特征值為（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 1二、填空題二、填空題4設(shè)設(shè)a是是3階方

16、陣，已知方陣，階方陣，已知方陣，都不可逆，則的特征值為（都不可逆，則的特征值為（ ）已知三階矩陣已知三階矩陣a的特征值為，的特征值為，則（則（ ）。）。1, -1, 3-726e 、單單位位矩矩陣陣 的的特特征征值值，特特征征向向量量（）7( )aa*、的的特特征征值值是是28an0 e) aaaae * *、設(shè) 為 階方陣， ，為伴隨矩陣、設(shè) 為 階方陣， ，為伴隨矩陣為n階單位矩陣，若 有特征值 ，則(為n階單位矩陣，若 有特征值 ，則(必有特征值：（）必有特征值：（） 122113221b 966636663a求矩陣求矩陣 a，b 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。96663666

17、3 ae解解 （對(duì)矩陣（對(duì)矩陣a） 1016366633 100630663331 cc 0332 30363666313 rr備用題備用題3, 3321 a 的特征值為的特征值為對(duì)于對(duì)于 ，解方程組，解方程組31 0)(1 xae 000110101126660666031aeae 3231xxxx同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系13 xt)1, 1 , 1(1 因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為1 )0(111 kk 966636663a對(duì)于對(duì)于 ，解方程組，解方程組332 0)(2 xae 00000011166666666

18、632aeae 同解方程組為同解方程組為 ，令，令321xxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 10,0132xx,)0 , 1, 1(2t t)1, 0 , 1(3 因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為332 3322 kk ),(32不同時(shí)為零不同時(shí)為零kk 966636663a（對(duì)矩陣（對(duì)矩陣b） 122113221b122113221 be123113223321 ccc 30013022131211112213 0332 3, 3321 b 的特征值為的特征值為對(duì)于對(duì)于 ，解方程組，解方程組31 0)(1 xbe 00011010142214322431beb

19、e 3231xxxx同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系13 xt)1 , 1 , 1(1 因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為1 )0(111 kk 122113221b對(duì)于對(duì)于 ，解方程組，解方程組332 0)(2 xbe 00021010122212322232bebe 32312xxxx同解方程組為同解方程組為 ，令，令 ，得基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系13 xt)1 , 2, 1(2 因此，對(duì)應(yīng)于特征值因此，對(duì)應(yīng)于特征值 的所有特征向量為的所有特征向量為332 )0(222 kk 122113221b一、相似矩陣的定義及性質(zhì)一、相似矩

20、陣的定義及性質(zhì)二、矩陣可對(duì)角化的條件二、矩陣可對(duì)角化的條件（重點(diǎn)（重點(diǎn))設(shè)a，b都是 n 階矩陣，若有可逆矩陣 p，使bapp 1則稱 b 是a的相似矩陣，或說矩陣a與b相似。對(duì)a進(jìn)行運(yùn)算 稱為對(duì)a進(jìn)行相似變換，可逆矩陣p稱為把a(bǔ)變成b的相似變換矩陣.app1 定義定義 特別地，如果a與對(duì)角矩陣相似，則稱a是可對(duì)角化的.性質(zhì)性質(zhì))tr()tr(ba (1) 相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系;(2) a與與b相似相似, 則則r(a)=r(b);(3) a與與b相似相似, 則則 ; 從而從而a與與b有相同的特征值有相同的特征值;(4) a與與b相似相似, 則則 ;(5) a與與b相似相

21、似, 則則 ;(6) a與與b相似相似, 則則 與與 相似相似; 其中其中(7) a與與b相似相似, 且且a可逆可逆, 則則 與與 相似。相似。beae ba )(a )(b 1 a1 bmmtataat 10)( xa10100002 12yb(1) 與與相似，相似，求求x與與y和和a的特征值。的特征值。 11322002aa bb21(2) 與與相似，相似，求求a與與b。解解 (1) , )tr()tr(ba ba yyx22122 10yxa的特征值等于的特征值等于b的特征值為：的特征值為：1,1,2 例例12 ba2, 0 ba(2)2)tr()tr( baba2 babaaaaaef

22、a )4()(tr)(23befb )(bbb )2()(tr23 11322002aa bb21二、矩陣的對(duì)角化二、矩陣的對(duì)角化（利用相似變換把方陣對(duì)角化）（利用相似變換把方陣對(duì)角化）定理5.2.1 階矩陣 可對(duì)角化（與對(duì)角陣相似）na 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。annan推論1 若 階方陣 有 個(gè)互不相同的特征值,則 可對(duì)角化。（與對(duì)角陣相似）a(逆命題不成立),21np 記記,2121nna 1 2 n ), 1(niaiii app1 1 2 n 下面討論對(duì)角化的問題下面討論對(duì)角化的問題pap 1 2 n ,221121nnnaaa n階矩陣階矩陣a可對(duì)可對(duì)角化的充要條角化的充要條件是

23、件是a有有n個(gè)線個(gè)線性無關(guān)的特征性無關(guān)的特征向量。向量。線性無線性無關(guān)關(guān)ip可逆可逆注意：這時(shí)注意：這時(shí)p和對(duì)角陣是如何構(gòu)成的？和對(duì)角陣是如何構(gòu)成的？ 不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量不同特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量 合并以后仍是線性無關(guān)的。合并以后仍是線性無關(guān)的。即設(shè)即設(shè) 是矩陣是矩陣a的不同的特征值，的不同的特征值，t ,21又設(shè)又設(shè) 對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為1 )1(1)1(2)1(1,i 對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為2 )2(2)2(2)2(1,i 對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為t )()(2)(1,tittt )()(1)2(2)2(1)1(

24、1)1(1,tittii 則則仍是線性無關(guān)的。仍是線性無關(guān)的。引理引理)1(0)2(22)2(11 iill )1(11)1(11iikk 證證 (只證兩個(gè)不同特征值的情況只證兩個(gè)不同特征值的情況)設(shè)設(shè)上式兩邊左乘上式兩邊左乘 a 得得)2(0)()2(22)2(112 iill )()1(11)1(111iikk )2()1(2 0)()1(11)1(1112 iikk 再由再由 線性無關(guān)得線性無關(guān)得)1(1)1(2)1(1,i 011 ikk類似可得類似可得021 ill由假設(shè)由假設(shè) 得得 21 0)1(11)1(11 iikk 例例4 4 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？判斷下列實(shí)矩陣能否

25、化為對(duì)角陣？122(1) 224242a 212(2) 533102a 解解: : 722 0 122(1)224242ae 得得1232,7 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12221 ,0 .01pp 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為122 20ae x 1222244244ae 122000000 12322xxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 70ae x37 8227254245ae 1102011000 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3122p 132312xxxx 2211020012 123,ppp線性無關(guān)線性無關(guān)即即a有有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以個(gè)線性無關(guān)的特征

26、向量，所以a可以對(duì)角化。可以對(duì)角化。212(2)533102ae 310 212 533102a 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以所以 不能化為對(duì)角矩陣不能化為對(duì)角矩陣.a1231. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為 0ae x1231 312523101ae 101011000 解：解：例例5 5、設(shè)設(shè)0011100yxa當(dāng)當(dāng)x，y滿足什么條件時(shí)，滿足什么條件時(shí)，a能對(duì)角化？能對(duì)角化？0011100|yxea) 1()1 (2二重）( 1, 121解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，11oxea)(1012101yxea, 2)( ear所以，必有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量。所以，必有一個(gè)線性無

27、關(guān)的特征向量。解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12oxea)(1010101yxea00000101yx必須有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量必須有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量1)(ear只有即即 x + y=0。是是 重根時(shí)，重根時(shí)，啟示：如果方陣可以對(duì)角化，那么啟示：如果方陣可以對(duì)角化，那么對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于kktntnnaef)()()()(2121 ), 2 , 1()r(tiaensii 設(shè)設(shè) 的所有不同的特征值為的所有不同的特征值為t ,21nna 則則), 2 , 1(1tinsii 注注： 就是就是 的重根數(shù)，稱之為的重根數(shù)，稱之為 的的(代數(shù)代數(shù))重重?cái)?shù)數(shù)

28、， 就是就是 對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，稱對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，稱之為之為 的的幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)。ini i isi i 該定理說明：該定理說明：。如果是單。如果是單重特征值，它有一個(gè)且僅有一個(gè)無關(guān)的特征向量。重特征值，它有一個(gè)且僅有一個(gè)無關(guān)的特征向量。定理定理5.2.2tntnnaef)()()()(2121 ), 2 , 1()r(tiaensniii n階矩陣階矩陣a可對(duì)角化的充要條件是可對(duì)角化的充要條件是a的每個(gè)的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù)。特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于它的幾何重?cái)?shù)。即即 設(shè)設(shè)t ,21互不同，此時(shí)互不同，此時(shí)nnnnt 21), 2 , 1()r(tin

29、naeii 或或則則 a可對(duì)角化的充要條件是可對(duì)角化的充要條件是亦即：亦即： 的重?cái)?shù)的重?cái)?shù) 恰好等于它對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征恰好等于它對(duì)應(yīng)的最大無關(guān)特征i in向量的個(gè)數(shù)。向量的個(gè)數(shù)。一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)二、實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的條件二、實(shí)對(duì)稱矩陣可對(duì)角化的條件（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）性質(zhì)性質(zhì)1 1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).(.(證明略）證明略）一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)一、實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1的意義的意義因?yàn)閷?duì)稱矩陣因?yàn)閷?duì)稱矩陣 的特征值的特征值 為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組ai ()0iae x 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，可知該齊次線性方程

30、組一定有實(shí)的，可知該齊次線性方程組一定有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量?；A(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量。0iae 是實(shí)系數(shù)方程組。是實(shí)系數(shù)方程組。注注未必所有的實(shí)矩陣對(duì)應(yīng)的特征值都是實(shí)數(shù)。未必所有的實(shí)矩陣對(duì)應(yīng)的特征值都是實(shí)數(shù)。,0110a例：0110|ea12. i性質(zhì)性質(zhì)2 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。正交。a12,pp是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量。是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量。證證 設(shè)設(shè) 是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 的兩個(gè)特征值，且的兩個(gè)特征值，且12,a12, 則則11122212, ()appapp于是于是 112121

31、22tttp pp a ppp212,tp p 12120.tp p,21 120.tp pa為實(shí)對(duì)稱矩陣，為實(shí)對(duì)稱矩陣，taa1212(,)0tpppp即即 正交。正交。12,pptp11tp )(11tap )(1ttap1.1apt例：例：asppp,21tqqq,2112s定理定理5.3.1 (實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化)對(duì)于任一對(duì)于任一 階階實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣 ，na其中其中 是以是以 的的 個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。 an一定存在一定存在 n 階階正交矩陣正交矩陣 使得使得,p,1appappt推論：推論： 為為 階實(shí)對(duì)稱矩陣，階實(shí)對(duì)稱

32、矩陣， 是是 的的 重特征值，重特征值，an0 ak即即 的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為.k0()0ae x 則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于 的特征向量中，線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)為的特征向量中，線性無關(guān)的向量的個(gè)數(shù)為 0 ,k0(),knr ae （則則 ）0().r aenk 知道結(jié)論即可知道結(jié)論即可二、實(shí)對(duì)稱矩陣（正交）對(duì)角化的結(jié)論二、實(shí)對(duì)稱矩陣（正交）對(duì)角化的結(jié)論0().r aenk 證明：證明： a為實(shí)對(duì)稱矩陣，則為實(shí)對(duì)稱矩陣，則a必可對(duì)角化。必可對(duì)角化。.),(21相似與ndiaga.00相似與eea,0重根是k,0個(gè)中有則k0.0個(gè)中有ke,)(0kner0().r aenk 即

33、即 的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為.k0()0ae x 例例1 設(shè)設(shè)324202 ,423a t求正交矩陣求正交矩陣 ，1tat 使得使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。解解32422423ae 218 0 1231,8. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為121 0ae x 424212424ae 212000000 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系112 ,0p 202 .1p 21322xxx 令令1310,01xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為時(shí)，齊次線性方程組為38 80ae x 5248282425ae 1011012000 132312xxxx 令令31x 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)

34、解系311,21p 112 ,0p 202 .1p 311,21p 之間是什么關(guān)系？之間是什么關(guān)系？令令先正交化：先正交化：1112 ,0p 21221114501(,)4222(,)55101pp 再單位化：令再單位化：令1151122,5500 244355522535351535 ?1,21特征向量嗎所對(duì)應(yīng)的還是311,21p 單位化得單位化得3213211,323123 123(,)t 得正交矩陣得正交矩陣142353 5221353 552033 5 1118t at 唯一嗎？唯一嗎？求正交矩陣求正交矩陣 ，把實(shí)對(duì)稱矩陣，把實(shí)對(duì)稱矩陣 化為對(duì)角陣的方法：化為對(duì)角陣的方法：ta1. 解

35、特征方程解特征方程0,ae 求出對(duì)稱陣求出對(duì)稱陣 的全部不同的特征值。的全部不同的特征值。a即求齊次線性方程組即求齊次線性方程組()0iae x 的基礎(chǔ)解系。的基礎(chǔ)解系。3. 將屬于每個(gè)將屬于每個(gè) 的特征向量先正交化，再單位化。的特征向量先正交化，再單位化。i 2. 對(duì)每個(gè)特征值對(duì)每個(gè)特征值 ，求出對(duì)應(yīng)的特征向量，求出對(duì)應(yīng)的特征向量，i 這樣共可得到這樣共可得到 個(gè)兩兩正交的單位特征向量個(gè)兩兩正交的單位特征向量n12,n 4. 以以 為列向量構(gòu)成正交矩陣為列向量構(gòu)成正交矩陣12,n 12(,)nt 有有1tat 即即111rrtat 必須注意必須注意：對(duì)角陣中：對(duì)角陣中 的順序的順序12,n

36、12,n 要與特征向量要與特征向量 的排列順序一致。的排列順序一致。例例2 設(shè)設(shè)t求正交矩陣求正交矩陣 ，1tat 使得使得 為對(duì)角陣。為對(duì)角陣。220212 ,020a 解解 20212022ea 214 0 1234,1,2. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由14 40,ae x2204232024ae 102012000 122 .1p 即即132322xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由21 0,ae x120202021ae 120021000 221.2p 即即123222xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng) 時(shí)，由時(shí)，由22 20,ae x4202232022ae 201210000 312 .2p 即即312122xxxx 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系?,321如何處理ppp只需只需把把 單位化單位化，得，得1p12 32 3 ,1 3 （考慮為什么？） 1232211,212 ,3122t 得正交矩陣得正交矩陣1400010.002tat 有有只需只需把把 單位化單位化，得，得2p,3231322 只需只需把把 單位化單位化，得，得3p.3232313 把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可以