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1、辯數(shù)學(xué)解題中的邏輯思維與非邏輯思維摘要:文章首先論述了數(shù)學(xué)解題屮邏輯思維能力的重要性,分析 了數(shù)學(xué)解題中非邏輯思維能力的創(chuàng)新性,探討了邏輯思維與非邏輯 思維的內(nèi)涵以及二者的相互關(guān)系,著重強(qiáng)調(diào)了邏輯思維與非邏輯思 維的辯證統(tǒng)一性在數(shù)學(xué)解題中整體體現(xiàn),提出了數(shù)學(xué)教師應(yīng)同時(shí)注 重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與非邏輯思維能力的觀點(diǎn)。關(guān)鍵字:數(shù)學(xué)解題邏輯思維非邏輯思維辯證與統(tǒng)一abstract: firstly, thesis states the importance of logical thinking capacity and the innovation of non-logical thinkin
2、g capacity in solving math problem, as wel1 as their connotation and an analysis of the relation between the two. it emphasizes the overall reflection of logical thinking and nonlogical thinking' s dialectical unity in solving math problem, and come up with an opinion that math teachers should f
3、ocus on cultivating students' capability both in logical thinking and non-logical thinkingkeywords:mathproblems-solving, logicalthinking, non- logicalthinking, dialecticalunity數(shù)學(xué)解題強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的緊密結(jié)合與靈活運(yùn)用,這要求學(xué)生具 備抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力以及自由創(chuàng)新的非邏輯思維能力。數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教 育家g 波利亞曾指出:“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面,一方面它是歐兒里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科 學(xué),從這方面看,數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)的演
4、繹科學(xué),但另一方面,創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù) 學(xué),看起來(lái)卻像是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”。以下筆者從三個(gè)方面論述數(shù)學(xué)解 題屮邏輯思維與非邏輯思維運(yùn)用。數(shù)學(xué)解題中邏輯思維能力的重要性(-)邏輯思維的內(nèi)涵及其重要性邏輯思維,指在思維的過(guò)程中按照階梯式嚴(yán)謹(jǐn)周密的遵循思維的邏輯規(guī)律 和規(guī)則,逐步推導(dǎo)得出結(jié)論的思維模式。它是由已知推導(dǎo)求得未知的一種方式, 利用公式、概念、公理、定理等進(jìn)行推理、演算、歸納、總結(jié),是一種定向思 維。在我們的觀念中,數(shù)學(xué)以其嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、形式性為根木標(biāo)志,以嚴(yán)謹(jǐn) 周密的演繹思維、邏輯推理為手段充分表達(dá)出人的心智的功能,滿(mǎn)足人們求真、 向善、唯美并樂(lè)意承接挑戰(zhàn)、揣摩思考的美好天性,所以數(shù)學(xué)
5、解題離不開(kāi)嚴(yán)謹(jǐn) 周密的邏輯思維,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力也是至關(guān)重要的,中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì) 學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)尤其放在教學(xué)任務(wù)的首位。(-)邏輯思維在解題中的運(yùn)用例一:x, y g r,若卜| +卜| +卜一對(duì)+卜一w 2a, (g k ()則2x + 3y的取值范圍為(2014年江西卷文科第15題變式)【點(diǎn)撥】木題是一道已知一個(gè)含參數(shù)絕對(duì)值不等式求變量范圍的題目。從題中已知信息出發(fā),已知:x + y + x-a + y-a < 2a ,結(jié)合目標(biāo)是求2x + 3y的取值范圍。對(duì)于絕對(duì)值的處理方法有兩種,一是對(duì)兀,y的范圍分類(lèi)討論,直接 消去絕對(duì)值求解;二是利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)。因此,木題
6、的解決有兩種方 式:(1)對(duì)變量進(jìn)行分類(lèi)討論,進(jìn)而得到當(dāng)且僅當(dāng)0<x<6/且osy"時(shí)有不 等式成立,最后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解;(2)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)冇: % + x-a > x-(x-a) = a (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x與兀一tz異號(hào),即為x(x-a)w0,owxwg時(shí)等號(hào)成立),y + y-a>y-(y-a) = a (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)y與y-a異 號(hào)即y(y-a)< 0即0 < y< a時(shí)等號(hào)成立),從而有:2a < x + y x-a + y-a <2a ,故|a:|+ y + x-a + y-a =2ct 成立,而等號(hào)當(dāng) 且
7、僅當(dāng)0 5兀5 d且0 5)v a吋成立,于是轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解。由此可見(jiàn),解決該數(shù)學(xué)題關(guān)鍵在于邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)與周密,善于利用已知 的公式或概念,結(jié)合需要求解的目標(biāo),對(duì)條件進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化求解。對(duì)于這一類(lèi) 型的題冃要求學(xué)生熟練掌握基本的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)方法,并具備嚴(yán)諜縝密的邏輯 思維能力,能根據(jù)已知的條件定位題目考察的知識(shí)點(diǎn)是什么,再結(jié)合需耍求解 的目標(biāo),確定解題方向以及解題的數(shù)學(xué)思想與方法。然而,對(duì)于某些題這種途 徑并不能達(dá)到解題的口的,或者說(shuō)這不是最好、最快速的解題方法,而高考數(shù) 學(xué)屮,即要求做題的準(zhǔn)確性,也要求做題的迅速性,因此需要尋找其他的方法, 也就是下面要介紹的運(yùn)用非邏輯思維解題的方法
8、。二、數(shù)學(xué)解題中非邏輯思維能力的創(chuàng)新性(-)非邏輯思維的內(nèi)涵及其創(chuàng)新性非邏輯思維,指不遵從特定的邏輯規(guī)則,對(duì)思考的對(duì)象的木質(zhì)及其相互關(guān) 系做出直觀、快捷的斷定與理解的一種思維模式。它不要求思考對(duì)彖的已知條 件的多元性或完整性,側(cè)重利用人腦的直覺(jué)與靈感對(duì)思考對(duì)象進(jìn)行猜測(cè)與想像, 是一種變向思維。數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程離不開(kāi)直覺(jué)、靈感、猜測(cè)、想象、聯(lián)想、觀 察、實(shí)驗(yàn)、探索等非邏輯思維方法,數(shù)學(xué)的創(chuàng)新也需要運(yùn)用非邏輯思維方法, 科學(xué)的突破性正是非邏輯思維的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)解題屮往往側(cè)重邏輯思維的運(yùn)用, 但有的時(shí)候非邏輯思維在解題中占據(jù)著更為重要的角色,它以其鮮明的自由性、 發(fā)散性、靈活性為根木特征,在解題的過(guò)程
9、中往往給人以“柳暗花明乂一村” 的喜悅感與成就感,解題方法更是具備鮮明的奇異性與創(chuàng)新性。(二)非邏輯思維在解題中的運(yùn)用例二:(10001丿+/(10001丿10000、,10001丿【點(diǎn)撥】本題是一道已知一個(gè)函數(shù)解析式求某些項(xiàng)z和的題目。如果直接 對(duì)上述的和式進(jìn)行求和幾乎是不可能求解的,而觀察和式中函數(shù)/(兀)的特點(diǎn)可自變量滿(mǎn)足關(guān)系式需+賂10001 10001(1、“0000、(29999#5000、(5001)+/=f+/b(xx)i;<1(xx)1;u(xx)i;(l(xx)l 丿<1(xx)1?(10001丿2100019999+10001運(yùn)用非邏輯思維猜測(cè),是否有下述關(guān)系
10、式成立:=常數(shù)10001)二常數(shù)(1 < < 5000).事實(shí)上,可以證明即/+/yioood10001 )10001-k< 10001=1(1 < jt < 5000).從而求得/10001'2<1000110000j 000b=5000.由此可見(jiàn),非邏輯思維在解數(shù)學(xué)題時(shí)是不嚴(yán)格按照常規(guī)解題進(jìn)行的,其思維過(guò)程具備跳躍性。所以在運(yùn)用非邏輯思維解題時(shí),應(yīng)人膽猜測(cè)、想象。在數(shù) 學(xué)解題屮,非邏輯思維的運(yùn)用不單單局限于上面類(lèi)型的例題,在選擇題、證明 題,甚至是填空題的解題中,所涉及的選項(xiàng)代入法、特殊值法、猜想歸納法等 等均是運(yùn)用非邏輯思維的體現(xiàn)??茖W(xué)的創(chuàng)新離
11、不開(kāi)大膽想象與聯(lián)想的非邏輯思 維,創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂,是國(guó)家繼續(xù)向上發(fā)展的不竭動(dòng)力。要提高國(guó) 家實(shí)力,離不開(kāi)創(chuàng)新,更離不開(kāi)非邏輯思維的運(yùn)用。三、數(shù)學(xué)解題中邏輯思維與非邏輯思維的辯證與統(tǒng)一(-)兩種思維的辯證與統(tǒng)一不難看岀,邏輯思維的定向性與非邏輯思維的變向性形成鮮明的對(duì)比,但 二者乂存在一定的統(tǒng)一性。正如哲學(xué)中提及到的,任何事物間都具有一定辯證 統(tǒng)一性;量變與質(zhì)變的轉(zhuǎn)化一一非邏輯思維方法在數(shù)學(xué)題解小得到廣泛運(yùn)用時(shí), 亦可以上升為具有方向的邏輯思維方法;或者說(shuō),當(dāng)非邏輯思維述不夠成熟, 不能將題完全解答出來(lái)時(shí),需要運(yùn)用邏輯思維的方式對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析綜合、歸納總結(jié),最終得到準(zhǔn)確有效的結(jié)論??v
12、觀這一整個(gè)思路,顯然這是邏輯思維 與非邏輯思維的一個(gè)整合,是密不可分的一個(gè)整體。從邏輯思維的角度來(lái)說(shuō), 這既要求學(xué)牛具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),也要熟練掌握數(shù)學(xué)的主體思想與基本 方法。從非邏輯思維的角度來(lái)說(shuō),這不僅要求個(gè)人直覺(jué)與靈感的敏銳性,具備 一定的天賦,也與后天的經(jīng)驗(yàn)積累和對(duì)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的常握冇很大的關(guān)系。(-)邏輯思維與非邏輯思維的結(jié)合在解題中的運(yùn)用例三:已知數(shù)列色滿(mǎn)足仇=邁,a” = j2 + (n i 2,n w n),求通項(xiàng)匕?!军c(diǎn)撥】本題是一道已知數(shù)列首項(xiàng)與遞推公式求通項(xiàng)公式的題。數(shù)列從形式 上可以視為是特殊的函數(shù),運(yùn)用邏輯思維方式,很顯然可以用函數(shù)思想來(lái)分析 研究數(shù)列問(wèn)題。對(duì)a
13、” = 72+7變形可得到a” =+,由已知1 丘丄® =、£丘(0,1),運(yùn)用非邏輯思維猜測(cè)色丘(0,1),這一結(jié)論由數(shù)學(xué)歸納法可以2 2證得。進(jìn)而可以引進(jìn)三角函數(shù)扛二cos仇(0仇彳),從而冇an = 2cos0n =(2 + 2cos 粘=zcos-,即 =仏 曲絢=血叫求得 ,所224*以?xún)悠蚶?tt+in,即 =2cos-n+l綜上所述,邏輯思維與非邏輯思維的結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中充分體現(xiàn)了解題的 創(chuàng)新性與完美性,其中靈感的爆發(fā)與其有目的、有方向的思考是緊密結(jié)合的。 首先,非邏輯思維的運(yùn)用是一個(gè)出發(fā)點(diǎn),能否得出的有用的結(jié)論需要用邏輯思 維進(jìn)行演繹推理。其次,任何邏輯方法
14、在解題中的具體運(yùn)用都必須借助于直覺(jué), 最終能得到結(jié)論才能證明直覺(jué)的止確性。最后,多步驟的邏輯思維終將會(huì)取得 正確的結(jié)論,這是無(wú)疑的,但要獲得數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)新就需要依賴(lài)靈活、自由的 非邏輯思維。因此,當(dāng)代數(shù)學(xué)教師應(yīng)趨向于綜合培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力與非 邏輯思維能力。參考文獻(xiàn)1 hi詳高,hl爽創(chuàng)新是靈魂創(chuàng)新是追求j.數(shù)學(xué)通訊,2015.04:46-52.2 吳愛(ài)莉.淺談非邏輯思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)j中國(guó)校外教育,2011.03: 86.3 曠明非邏輯思維在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用j.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2006.8-9:37-38.4 努爾東莫衣丁培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力a.教育研究, 2015.1671-6035 (2015) 02-0257-01.5 王友春.高中生數(shù)學(xué)解
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