清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)第五次本構(gòu)模型

1、非線性有限元非線性有限元第第5 5章章 本構(gòu)模型本構(gòu)模型 計(jì)算固體力學(xué)計(jì)算固體力學(xué)第第5 5章章 本構(gòu)模型本構(gòu)模型 1 1引言引言2 2應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 3 3一維彈性一維彈性 4 4非線性彈性（超彈性）非線性彈性（超彈性）5 5一維塑性一維塑性 6 6多軸塑性多軸塑性7 7超彈塑性模型超彈塑性模型8 8粘彈性粘彈性 9 9應(yīng)力更新算法應(yīng)力更新算法1010連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與本構(gòu)模型連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與本構(gòu)模型1 1 引言引言 本構(gòu)方程率形式的積分算法稱為應(yīng)力更新算法（也稱為本構(gòu)更新本構(gòu)方程率形式的積分算法稱為應(yīng)力更新算法（也稱為本構(gòu)更新算法），包括：算法），包括：徑向返回算法的一類圖形返回

2、算法，徑向返回算法的一類圖形返回算法，算法模量與基本應(yīng)力更新方案一致的概念，算法模量與基本應(yīng)力更新方案一致的概念，大變形問題的增量客觀應(yīng)力更新方案，大變形問題的增量客觀應(yīng)力更新方案，基于彈性響應(yīng)的應(yīng)力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能?；趶椥皂憫?yīng)的應(yīng)力更新方案，自動滿足客觀性的超彈性勢能。 為了進(jìn)行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，為了進(jìn)行分析，選擇材料模型是很重要，往往又不是很明確，僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗(yàn)，即可能是材料行為的幾條僅有的信息可能是一般性的知識和經(jīng)驗(yàn)，即可能是材料行為的幾條應(yīng)力應(yīng)變曲線。應(yīng)力應(yīng)變曲線。 在有限元軟件庫中選擇合適的本構(gòu)模型，如果沒有合適的

3、本構(gòu)在有限元軟件庫中選擇合適的本構(gòu)模型，如果沒有合適的本構(gòu)模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構(gòu)模型的關(guān)鍵特征，模型，要開發(fā)用戶材料子程序。重要的是理解本構(gòu)模型的關(guān)鍵特征，創(chuàng)建模型的假設(shè)，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是創(chuàng)建模型的假設(shè)，材料、荷載和變形域、以及程序中的數(shù)值問題是否適合模型。否適合模型。2 應(yīng)力應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 材料應(yīng)力應(yīng)變行為的許多基本特征可以從一維應(yīng)力狀態(tài)(單軸應(yīng)力或者剪切)的一組應(yīng)力-應(yīng)變曲線中獲得，多軸狀態(tài)的本構(gòu)方程常?；谠谠囼?yàn)中觀察到的一維行為而簡單生成。 載荷位移曲線載荷位移曲線 0llx名義應(yīng)力（工程應(yīng)力）給出為名義應(yīng)力（工程應(yīng)力）給出為 定

4、義伸長定義伸長 0atpx工程應(yīng)變定義為工程應(yīng)變定義為 1000 xxllll2 2 應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 cauchycauchy（或者真實(shí)）應(yīng)力（或者真實(shí)）應(yīng)力表示為表示為 以以每單位當(dāng)前長度應(yīng)變的增量每單位當(dāng)前長度應(yīng)變的增量隨長度隨長度的變化得到另一種應(yīng)變度量的變化得到另一種應(yīng)變度量 xllxllldleln)ln(00對數(shù)應(yīng)變（也稱為真實(shí)應(yīng)變）對數(shù)應(yīng)變（也稱為真實(shí)應(yīng)變） xxxxde對材料時間求導(dǎo)，表達(dá)式為對材料時間求導(dǎo)，表達(dá)式為一維情況，上式為變形率一維情況，上式為變形率 當(dāng)前面積的表達(dá)式給出為當(dāng)前面積的表達(dá)式給出為xajllaja000 xxxxpjjatat10真實(shí)應(yīng)力

5、應(yīng)變曲線 工程應(yīng)力應(yīng)變曲線2 2 應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 考慮一種不可壓縮材料考慮一種不可壓縮材料( (j j1)1)，名義應(yīng)力和工程應(yīng)變的，名義應(yīng)力和工程應(yīng)變的關(guān)系為關(guān)系為真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)力( (對于不可壓縮材料對于不可壓縮材料) )(0 xxsp1000 xxllll)()(0 xxxxss) 1()(0 xxxss說明了對于本構(gòu)行為應(yīng)用不同泛函表達(dá)式的區(qū)別，對于同樣材說明了對于本構(gòu)行為應(yīng)用不同泛函表達(dá)式的區(qū)別，對于同樣材料取決于采用何種應(yīng)力和變形的度量。料取決于采用何種應(yīng)力和變形的度量。 應(yīng)力應(yīng)變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材料線彈性行應(yīng)力應(yīng)變曲線的顯著特征之一是非線性的度。材

6、料線彈性行為的范圍小于應(yīng)變的百分之幾，就可以采用小應(yīng)變理論描述。為的范圍小于應(yīng)變的百分之幾，就可以采用小應(yīng)變理論描述。2 2 應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)與變形率無關(guān)的材料稱為應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)與變形率無關(guān)的材料稱為率無關(guān)率無關(guān)；否則，；否則，稱為稱為率相關(guān)率相關(guān)。名義應(yīng)變率定義為。名義應(yīng)變率定義為 率無關(guān)和率相關(guān)材料的一維反應(yīng)0lx lxlll00因?yàn)?和即名義應(yīng)變率等于伸長率，例如即名義應(yīng)變率等于伸長率，例如 xx 可以看出，對于可以看出，對于率無關(guān)材料的應(yīng)力應(yīng)率無關(guān)材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線是應(yīng)變率獨(dú)立的，變曲線是應(yīng)變率獨(dú)立的，而對于率相關(guān)材料的應(yīng)而對于率相關(guān)材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線，力應(yīng)變

7、曲線，當(dāng)應(yīng)變當(dāng)應(yīng)變率提高時是上升的率提高時是上升的；而；而當(dāng)溫度升高時是下降的。當(dāng)溫度升高時是下降的。2 2 應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 對于彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變的對于彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變的卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，卸載曲線簡單地沿加載曲線返回，直到完全卸載，材料返回到了它的直到完全卸載，材料返回到了它的初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈初始未伸長狀態(tài)。然而，對于彈塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲塑性材料，卸載曲線區(qū)別于加載曲線，卸載曲線的斜率是典型的應(yīng)力線，卸載曲線的斜率是典型的應(yīng)力應(yīng)變彈性（初始）段的斜率，卸應(yīng)變彈性（初始）段的斜率，卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變。其它材料的行載后產(chǎn)生永久應(yīng)變。其它材料的

8、行為介于這兩種極端之間。由于在加為介于這兩種極端之間。由于在加載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損載過程中微裂紋的形成材料已經(jīng)損傷，脆性材料的卸載行為，當(dāng)荷載傷，脆性材料的卸載行為，當(dāng)荷載移去后微裂紋閉合，彈性應(yīng)變得到移去后微裂紋閉合，彈性應(yīng)變得到恢復(fù)。卸載曲線的初始斜率給出形恢復(fù)。卸載曲線的初始斜率給出形成微裂紋損傷程度的信息。成微裂紋損傷程度的信息。(a)彈性,(b)彈-塑性,(c)彈性含損傷 3 3 一維彈性一維彈性 彈性材料的基本性能是應(yīng)力僅依賴于應(yīng)變的當(dāng)前水平。這意彈性材料的基本性能是應(yīng)力僅依賴于應(yīng)變的當(dāng)前水平。這意味著加載和卸載的應(yīng)力味著加載和卸載的應(yīng)力- -應(yīng)變曲線是一致的，當(dāng)卸載結(jié)束

9、時材料恢應(yīng)變曲線是一致的，當(dāng)卸載結(jié)束時材料恢復(fù)到初始狀態(tài)。稱這種應(yīng)變是復(fù)到初始狀態(tài)。稱這種應(yīng)變是可逆的可逆的。而且，彈性材料是率無關(guān)。而且，彈性材料是率無關(guān)的的( (與應(yīng)變率無關(guān)與應(yīng)變率無關(guān)) )。彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變是一一對應(yīng)的。彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變是一一對應(yīng)的。小應(yīng)變小應(yīng)變 可逆和路徑無關(guān)默認(rèn)在變形中沒有能量耗散可逆和路徑無關(guān)默認(rèn)在變形中沒有能量耗散，在彈性材料中，在彈性材料中，儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復(fù)。儲存在物體中的能量全部消耗在變形中，卸載后材料恢復(fù)。 對于一維彈性材料，對于一維彈性材料，可逆、路徑無關(guān)、無能量耗散可逆、路徑無關(guān)、無能量耗散是等價的特征。是等價

10、的特征。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。對于二維和三維彈性，以及超彈性材料，也類似。)(xxsxxxdwx0)(對于任意應(yīng)變，不管如何達(dá)到應(yīng)變值，上式給出唯一應(yīng)力值。對于任意應(yīng)變，不管如何達(dá)到應(yīng)變值，上式給出唯一應(yīng)力值。 3 3 一維彈性一維彈性 應(yīng)變能一般是應(yīng)變的凸函數(shù)，例如，應(yīng)變能一般是應(yīng)變的凸函數(shù)，例如， (a)凸應(yīng)變能函數(shù) (b)應(yīng)力應(yīng)變曲線 0)()(2121xxxxww21xx當(dāng)當(dāng) 公式的等號成立。公式的等號成立。 凸應(yīng)變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)凸應(yīng)變能函數(shù)的一個例子如圖所示。在這種情況下，函數(shù)是單調(diào)遞增的，如果是單調(diào)遞增的，如果w 是非凸函數(shù)，則是

11、非凸函數(shù)，則 s 先增后減，材料應(yīng)變先增后減，材料應(yīng)變軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應(yīng)，軟化，這是非穩(wěn)定的材料反應(yīng)， 如右下圖。如右下圖。0 xdds(a)非凸應(yīng)變能函數(shù)(b)相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變曲線 大應(yīng)變大應(yīng)變 從彈性推廣到大應(yīng)變，只要選擇應(yīng)變度量和定義應(yīng)力（功共從彈性推廣到大應(yīng)變，只要選擇應(yīng)變度量和定義應(yīng)力（功共軛）的軛）的彈性勢能彈性勢能。勢能的存在是默認(rèn)了可逆、路徑無關(guān)和無能量勢能的存在是默認(rèn)了可逆、路徑無關(guān)和無能量耗散耗散。如。如 3 3 一維彈性一維彈性 xxews 在彈性應(yīng)力在彈性應(yīng)力- -應(yīng)變關(guān)系中，從應(yīng)變的勢函數(shù)可以獲得應(yīng)力為應(yīng)變關(guān)系中，從應(yīng)變的勢函數(shù)可以獲得應(yīng)力為超彈性。如一維大應(yīng)變

12、問題，以超彈性。如一維大應(yīng)變問題，以greengreen應(yīng)變的二次函數(shù)表示應(yīng)變的二次函數(shù)表示221xseeew xsexees 對于小應(yīng)變問題，即為胡克定律。對于小應(yīng)變問題，即為胡克定律。大應(yīng)變大應(yīng)變 一種材料的一種材料的cauchycauchy應(yīng)力率與變形率相關(guān)，稱為應(yīng)力率與變形率相關(guān)，稱為次彈性次彈性。這。這種關(guān)系一般是非線性的，給出為種關(guān)系一般是非線性的，給出為 3 3 一維彈性一維彈性 一個特殊的線性次彈性關(guān)系給出為一個特殊的線性次彈性關(guān)系給出為 這是與路徑無關(guān)的超彈性關(guān)系。對于多軸問題，一般次彈性這是與路徑無關(guān)的超彈性關(guān)系。對于多軸問題，一般次彈性關(guān)系不能轉(zhuǎn)換到超彈性，它僅在一維情況

13、下是嚴(yán)格路徑無關(guān)的。關(guān)系不能轉(zhuǎn)換到超彈性，它僅在一維情況下是嚴(yán)格路徑無關(guān)的。然而，如果是彈性小應(yīng)變，其行為足以接近路徑無關(guān)的彈性行為。然而，如果是彈性小應(yīng)變，其行為足以接近路徑無關(guān)的彈性行為。因?yàn)榇螐椥缘暮唵涡?，公式因?yàn)榇螐椥缘暮唵涡?，公?5.3.11)(5.3.11)的多軸一般形式常常應(yīng)用在的多軸一般形式常常應(yīng)用在有限元軟件中，以模擬大應(yīng)變彈塑性的彈性反應(yīng)。有限元軟件中，以模擬大應(yīng)變彈塑性的彈性反應(yīng)。),(xxxdfxxxxeed對上式的關(guān)系積分，得到對上式的關(guān)系積分，得到xxelnxxxxxdedd1ln4 4 非線性彈性非線性彈性 對于有限應(yīng)變有許多不同的應(yīng)力和變形度量，同樣的本構(gòu)對于

14、有限應(yīng)變有許多不同的應(yīng)力和變形度量，同樣的本構(gòu)關(guān)系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構(gòu)關(guān)關(guān)系可以寫成幾種不同的形式，總是可能從一種形式的本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換到另一種形式。系轉(zhuǎn)換到另一種形式。 大應(yīng)變彈性本構(gòu)模型首先表述成大應(yīng)變彈性本構(gòu)模型首先表述成kirchhoffkirchhoff材料的一種特殊材料的一種特殊形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關(guān)、可逆和無形式，由線彈性直接生成到大變形。滿足路徑無關(guān)、可逆和無能量耗散。因此，路徑無關(guān)的程度可以視為材料模型彈性的度能量耗散。因此，路徑無關(guān)的程度可以視為材料模型彈性的度量。量。 次彈性材料是路徑無關(guān)程度最弱的材料，遵從次彈性材料是路徑無

15、關(guān)程度最弱的材料，遵從cauchycauchy彈性，彈性，其應(yīng)力是路徑無關(guān)的，但是其能量不是路徑無關(guān)的。其應(yīng)力是路徑無關(guān)的，但是其能量不是路徑無關(guān)的。 超彈性材料或者超彈性材料或者greengreen彈性，它是路徑無關(guān)和完全可逆的，彈性，它是路徑無關(guān)和完全可逆的，應(yīng)力由應(yīng)變勢能導(dǎo)出。應(yīng)力由應(yīng)變勢能導(dǎo)出。4 4 非線性彈性非線性彈性 小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動 e:cs klijklijecs式中式中 c c 為彈性模量為彈性模量( (切線模量切線模量) )的四階張量，對的四階張量，對kirchhoffkirchhoff材料是材料是常數(shù)，代表了應(yīng)力和應(yīng)變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各常數(shù)，

16、代表了應(yīng)力和應(yīng)變的多軸狀態(tài)。它可以完全反映材料的各向異性。向異性。 許多工程應(yīng)用包括許多工程應(yīng)用包括小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動。在這些問題中，大變形。在這些問題中，大變形的效果主要來自于大轉(zhuǎn)動，如直升機(jī)旋翼、船上升降器或者釣魚的效果主要來自于大轉(zhuǎn)動，如直升機(jī)旋翼、船上升降器或者釣魚桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴(kuò)展即可以模擬材料的反應(yīng)，但桿的彎曲。由線彈性定律的簡單擴(kuò)展即可以模擬材料的反應(yīng)，但要以要以pk2pk2應(yīng)力代替其中的應(yīng)力和以應(yīng)力代替其中的應(yīng)力和以greengreen應(yīng)變代替線性應(yīng)變，這稱應(yīng)變代替線性應(yīng)變，這稱為為saint-saint-venantvenant- - kirchhof

17、fkirchhoff材料，或者簡稱為材料，或者簡稱為kirchhoffkirchhoff材料。材料。最一般的最一般的kirchhoffkirchhoff模型為模型為4 4 非線性彈性非線性彈性 e:cs klijklijecs式中式中c c為彈性模量的四階張量，有為彈性模量的四階張量，有8181個常數(shù)。利用對稱性可以顯個常數(shù)。利用對稱性可以顯著地減少常數(shù)。著地減少常數(shù)。 一般的四階張量有一般的四階張量有3 34 48181個獨(dú)立常數(shù)，與全應(yīng)力張量的個獨(dú)立常數(shù)，與全應(yīng)力張量的9 9個個分量和全應(yīng)變張量的分量和全應(yīng)變張量的9 9個分量有關(guān)。個分量有關(guān)。 如次彈性本構(gòu)方程如次彈性本構(gòu)方程這樣這樣c

18、c為對稱矩陣（為對稱矩陣（主對稱性主對稱性），在），在8181個常數(shù)中有個常數(shù)中有4545個是獨(dú)立的。個是獨(dú)立的。成為上三角或下三角矩陣。成為上三角或下三角矩陣。 4 4 非線性彈性非線性彈性 利用勢能表示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和利用勢能表示的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和greengreen公式，公式， ijklklijeeweew22ijijews故有故有 ijklklijeses應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（次對稱性次對稱性），即），即 jiijjiijeess,4 4 非線性彈性非線性彈性 應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（應(yīng)力張量和應(yīng)變張量均為對稱張量（次對稱性次對稱性），即

19、），即 jiijjiijeess,ijlkjiklklijijklcccc再利用模量的主對稱性使獨(dú)立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，再利用模量的主對稱性使獨(dú)立彈性常數(shù)的數(shù)目減少，由由3636個常數(shù)減少為個常數(shù)減少為2121個，為個，為各向異性材料各向異性材料。 應(yīng)力和應(yīng)變張量的對稱性要求應(yīng)力的應(yīng)力和應(yīng)變張量的對稱性要求應(yīng)力的6 6個獨(dú)立分量僅與應(yīng)變個獨(dú)立分量僅與應(yīng)變的的6 6個獨(dú)立分量有關(guān)，由彈性模量的局部對稱結(jié)果，獨(dú)立常數(shù)的個獨(dú)立分量有關(guān)，由彈性模量的局部對稱結(jié)果，獨(dú)立常數(shù)的數(shù)目減少到數(shù)目減少到3636個。個。 4 4 非線性彈性非線性彈性 寫成矩陣形式為（可以是上或下三角矩陣）寫成矩陣形式為（可以是上

20、或下三角矩陣） 對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當(dāng)坐標(biāo)變號，對于正交各向異性，具有正交的三個彈性對稱面，當(dāng)坐標(biāo)變號，為使應(yīng)變能密度不變，有為使應(yīng)變能密度不變，有 045353425241514ccccccc這樣由這樣由2121個常數(shù)減少為個常數(shù)減少為1414個，為個，為正交各向異性材料正交各向異性材料。 若材料對稱坐標(biāo)平面，當(dāng)沿軸平面反射時，彈性模量不變，若材料對稱坐標(biāo)平面，當(dāng)沿軸平面反射時，彈性模量不變，固為固為正交各向異性體正交各向異性體，有，有 05646362616ccccc12132333221166565546454436353433262524232216151413

21、1211121323332211222eeeeeecccsymccccccccccccccccccssssss 對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料對于一個由三個彼此正交的對稱平面組成的正交材料( (如木如木材或纖維增強(qiáng)的復(fù)合材料材或纖維增強(qiáng)的復(fù)合材料) )，僅有，僅有9 9個獨(dú)立彈性常數(shù)，個獨(dú)立彈性常數(shù)，kirchhoffkirchhoff應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為材料對稱坐標(biāo)平面，為材料對稱坐標(biāo)平面，為正交各向異性體正交各向異性體4 4 非線性彈性非線性彈性 對于對于各向同性材料各向同性材料，僅有，僅有3 3個常數(shù)個常數(shù) 366554423123211332211ccccccc

22、ccccc4 4 非線性彈性非線性彈性 小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動小應(yīng)變和大轉(zhuǎn)動 klijklijijkkijecees2e:ceies2)(trace對于各向同性的對于各向同性的kirchhoff材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以寫成為材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以寫成為式中式中l(wèi)am常數(shù)，體積模量常數(shù)，體積模量k，楊氏模量，楊氏模量 e和泊松比和泊松比)1 (2e)21)(1 (e32k的關(guān)系為的關(guān)系為 材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料材料對稱的一個重要的例子是各向同性。一個各向同性材料沒有方位或者方向的選擇，因此，當(dāng)以任何直角坐標(biāo)系表示的應(yīng)沒有方位或者方向的選擇，因此，當(dāng)以任何直角坐標(biāo)系表示的應(yīng)

23、力應(yīng)變關(guān)系是等同的。對于小應(yīng)變的許多材料力應(yīng)變關(guān)系是等同的。對于小應(yīng)變的許多材料( (如金屬和陶瓷如金屬和陶瓷) )可以作為各向同性進(jìn)行模擬。張量可以作為各向同性進(jìn)行模擬。張量c c是各向同性的。在任何坐標(biāo)是各向同性的。在任何坐標(biāo)系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。系統(tǒng)中，一個各向同性張量有相同的分量。(克羅內(nèi)克)符號構(gòu)成的一個線性組合： 4 4 非線性彈性非線性彈性 不可壓縮性不可壓縮性 在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。在變形的過程中，不可壓縮材料的體積不變，密度保持常數(shù)。不可壓縮材料的運(yùn)動稱為等體積運(yùn)動。不可壓縮材料的運(yùn)動稱為等體積運(yùn)動。 1detfj總體變形總體變

24、形 等體積約束運(yùn)動的率形式等體積約束運(yùn)動的率形式 0)(dvtracediv 將應(yīng)力和應(yīng)變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，將應(yīng)力和應(yīng)變率度量寫成偏量和靜水（體積的）部分的和，對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為：對于不可壓縮材料，靜水部分也稱為張量的球形部分，分解式為： hyddev voldevddd 對于不可壓縮材料，壓力不能從本構(gòu)方程確定，而是從動量對于不可壓縮材料，壓力不能從本構(gòu)方程確定，而是從動量方程確定。方程確定。 4 非線性彈性非線性彈性 kirchhoff應(yīng)力應(yīng)力 jtfsf由由jacobian行列式放大，稱它為權(quán)重行列式放大，稱它為權(quán)重cauchy

25、應(yīng)力。對于應(yīng)力。對于等體積等體積運(yùn)動運(yùn)動，它等同于，它等同于cauchy應(yīng)力。應(yīng)力。 次彈性次彈性次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應(yīng)力率和變形率。次彈性材料規(guī)律聯(lián)系應(yīng)力率和變形率。 d:c上式是率無關(guān)、線性增加和可逆的。對于有限變形狀態(tài)的微小增量，應(yīng)力和應(yīng)變的增量是線性關(guān)系，當(dāng)卸載后可以恢復(fù)。然而，對于大變形能量不一定必須守恒，并且在閉合變形軌跡上作的功不一定必須為零。次彈性規(guī)律主要用來代表在彈-塑性規(guī)律中的彈性反應(yīng)，小變形彈性，且耗能效果也小。 4 非線性彈性非線性彈性 切線模量之間的關(guān)系切線模量之間的關(guān)系 對于各向同性材料對于各向同性材料jaumann率的切線模量為率的切線模量為 某些次彈性本構(gòu)關(guān)系共同

26、應(yīng)用的形式為某些次彈性本構(gòu)關(guān)系共同應(yīng)用的形式為dc:jjdc:ttdc:gg)(jkiljlikklijjijklc對于同一種材料，切線模量不同，材料反應(yīng)的率形式不同，如對于同一種材料，切線模量不同，材料反應(yīng)的率形式不同，如 *ccicccjjtjctc如果如果是常數(shù)，是常數(shù)，不是常數(shù)。不是常數(shù)。 切線模量切線模量證明見第證明見第5.4.5節(jié)，推導(dǎo)復(fù)雜節(jié)，推導(dǎo)復(fù)雜4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 平衡方程是以物體中應(yīng)力的形式建立的，應(yīng)力來源于變形，如應(yīng)變。如果本構(gòu)行為僅是變形的當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，為與時間無關(guān)的彈性本構(gòu)。而對于接近不可壓縮的材料，僅依賴變形（應(yīng)變）不一定能夠得到應(yīng)力。

27、 儲存在材料中的能量（功）僅取決于變形的初始和最終狀態(tài)，并且是獨(dú)立于變形（或荷載）路徑，稱這種彈性材料為超彈性（hyper-elastic）材料，或者為green彈性，例如常用的工業(yè)橡膠。動物的肌肉也具有超彈性的力學(xué)性質(zhì)。這里主要討論橡膠材料的超彈性力學(xué)行為。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 eeccs)()(2w 對于功獨(dú)立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（對于功獨(dú)立于荷載路徑的彈性材料稱之為超彈性（green彈彈性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應(yīng)變）能量性）材料。超彈性材料的特征是存在一個潛在（或應(yīng)變）能量函數(shù)，它是應(yīng)力的勢能：函數(shù)，它是應(yīng)力的勢能： 通過適當(dāng)轉(zhuǎn)換

28、獲得了對于不同應(yīng)力度量的表達(dá)式通過適當(dāng)轉(zhuǎn)換獲得了對于不同應(yīng)力度量的表達(dá)式 tttwjfeeffccffsf)()(2pfst 由于變形梯度張量由于變形梯度張量f是不對稱的，因此名義應(yīng)力張量是不對稱的，因此名義應(yīng)力張量p的的9個個分量是不對稱的。分量是不對稱的。 在橡膠大變形中應(yīng)用在橡膠大變形中應(yīng)用多項(xiàng)式模型多項(xiàng)式模型和和ogden指數(shù)模型指數(shù)模型。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很目前，世界半數(shù)以上的橡膠是合成橡膠。合成橡膠的種類很多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁二烯的共聚多，例如，制造輪胎使用的丁苯橡膠（苯乙烯和丁

29、二烯的共聚物）或乙丙烯橡膠（物）或乙丙烯橡膠（erp）；用于汽車配件的有）；用于汽車配件的有氯丁橡膠氯丁橡膠及另及另一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。一種具有天然橡膠各種性能的異戊橡膠。 在眾多的合成橡膠中，在眾多的合成橡膠中，硅橡膠硅橡膠是其中的佼佼者。它具有無味是其中的佼佼者。它具有無味無毒，不怕高溫和嚴(yán)寒的特點(diǎn)，在攝氏無毒，不怕高溫和嚴(yán)寒的特點(diǎn)，在攝氏300度和零下度和零下90度時能夠度時能夠“泰然自若泰然自若”、“面不改色面不改色”，仍不失原有的強(qiáng)度和彈性。例，仍不失原有的強(qiáng)度和彈性。例如生物材料。如生物材料。 橡膠是提取橡膠樹、橡膠草等植物的膠乳，加工后制成的具橡膠是提取橡膠樹、橡

30、膠草等植物的膠乳，加工后制成的具有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀(jì)前，有彈性、絕緣性、不透水和空氣的材料。在半個世紀(jì)前，“橡橡膠膠”一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提一詞是專指生橡膠，它是從熱帶植物巴西三葉膠的膠乳提煉出來的。煉出來的。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 1839年，年，charle goodyear發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓發(fā)明了橡膠的硫化方法，其姓氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標(biāo)。氏現(xiàn)在已經(jīng)成為國際上著名橡膠輪胎的商標(biāo)。 從從19世紀(jì)中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，世紀(jì)中葉起橡膠就成為一種重要的工程材料。然而，橡膠材料

31、的行為復(fù)雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可橡膠材料的行為復(fù)雜，不同于金屬材料僅需要幾個參數(shù)就可以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移以描述材料特性。橡膠材料受力以后，變形是伴隨著大位移和大應(yīng)變，其本構(gòu)關(guān)系是非線性的，并且在變形過程中體積和大應(yīng)變，其本構(gòu)關(guān)系是非線性的，并且在變形過程中體積幾乎保持不變。幾乎保持不變。 橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐橡膠具有許多特殊的性能，例如電絕緣性、耐氧老化性、耐光老化性、防霉性、化學(xué)穩(wěn)定性等。光老化性、防霉性、化學(xué)穩(wěn)定性等。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 由于計(jì)算機(jī)以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借

32、助由于計(jì)算機(jī)以及有限元數(shù)值分析的飛速發(fā)展，我們可以借助計(jì)算機(jī)來對超彈性材料的工程應(yīng)用進(jìn)行深入研究以及優(yōu)化設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)來對超彈性材料的工程應(yīng)用進(jìn)行深入研究以及優(yōu)化設(shè)計(jì)?？梢杂糜邢拊葦?shù)值方法來計(jì)算分析橡膠元件的力學(xué)性能，包可以用有限元等數(shù)值方法來計(jì)算分析橡膠元件的力學(xué)性能，包括選取和擬合橡膠的本構(gòu)模型，以及用有限元建模和處理計(jì)算括選取和擬合橡膠的本構(gòu)模型，以及用有限元建模和處理計(jì)算結(jié)果等。結(jié)果等。 橡膠是一種彈性聚合物，其特點(diǎn)是有很強(qiáng)的非線性粘彈性行橡膠是一種彈性聚合物，其特點(diǎn)是有很強(qiáng)的非線性粘彈性行為。它的力學(xué)行為對溫度、環(huán)境、應(yīng)變歷史、加載速率都非為。它的力學(xué)行為對溫度、環(huán)境、應(yīng)變歷史、加載

33、速率都非常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復(fù)雜。橡膠的制常敏感，這樣使得描述橡膠的行為變得非常復(fù)雜。橡膠的制造工藝和成分也對橡膠的力學(xué)性能有著顯著的影響。造工藝和成分也對橡膠的力學(xué)性能有著顯著的影響。固體橡膠材料的拉伸試驗(yàn)曲線與材料演化模型固體橡膠材料的拉伸試驗(yàn)曲線與材料演化模型 固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于固體橡膠是幾乎不可壓縮的，其泊松比接近于0.5?？赡妫赡?，大應(yīng)變。大應(yīng)變。初始各向同性，應(yīng)變增加后分子定向排列。初始各向同性，應(yīng)變增加后分子定向排列。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 常用的橡膠性態(tài)可分為常用的橡膠性態(tài)可分為固體橡膠固體橡膠和和泡沫橡膠泡沫橡

34、膠。4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡一般將多孔橡膠或彈性泡沫材料統(tǒng)稱為泡沫材料。彈性泡沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海綿、包裝材料等。 泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大泡沫橡膠是由橡膠制成的彈性泡沫材料，能夠滿足非常大的彈性應(yīng)變要求，拉伸時的應(yīng)變可以達(dá)到的彈性應(yīng)變要求，拉伸時的應(yīng)變可以達(dá)到500或更大，壓縮或更大，壓縮時的應(yīng)變可以達(dá)到時的應(yīng)變可以達(dá)到90或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性或更小。與固體橡膠的幾乎不可壓縮性相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積

35、縮小變形，因此相比，泡沫材料的多孔性則允許非常大的體積縮小變形，因此具有良好的能量吸收性。具有良好的能量吸收性。泡沫橡膠材料的多面體微元模型泡沫橡膠材料的多面體微元模型 a) 開放腔室，開放腔室，b) 封閉腔室封閉腔室4 非線性彈性非線性彈性 超彈性材料超彈性材料 泡沫橡膠材料的應(yīng)力泡沫橡膠材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 a)壓縮壓縮 b)拉伸拉伸小應(yīng)變小應(yīng)變 5%，線彈性，泊松比為，線彈性，泊松比為0.3 。大應(yīng)變，壓縮時，泊松比為大應(yīng)變，壓縮時，泊松比為0.0； 拉伸時，泊松比大于拉伸時，泊松比大于0.0。100%典型固體橡膠材料單軸拉伸應(yīng)力典型固體橡膠材料單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 橡

36、膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性非線性彈性 小變形小變形 以多項(xiàng)式形式本構(gòu)模型為例，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為以多項(xiàng)式形式本構(gòu)模型為例，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為niiinjijiijjdiicu12121) 1(1) 3() 3(31i32i1j21201110) 1(1)3()3(jdicicu忽略二階及二階以上小量，變?yōu)楹雎远A及二階以上小量，變?yōu)閺椥猿?shù)為彈性常數(shù)為 101102),(2dkccggkgkgkkge262339k5 . 0,3ge當(dāng)當(dāng) 橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性非線性彈性 3211)(ai1332212)(ai3213)(ai0llx定義伸長定義伸長 工程應(yīng)變定

37、義為工程應(yīng)變定義為 10 xxl1xx二階張量基本不變量二階張量基本不變量 31i32i小變形，有小變形，有 13i小變形小變形 橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性非線性彈性 例題例題 在超彈性計(jì)算中，橡膠使用三次減縮多項(xiàng)式應(yīng)變能本構(gòu)模型，在超彈性計(jì)算中，橡膠使用三次減縮多項(xiàng)式應(yīng)變能本構(gòu)模型，應(yīng)變能密度表達(dá)式為應(yīng)變能密度表達(dá)式為3110)3(iiiicu100 461312c = .200 01752c= . 53010818.=c若取若取（單位為（單位為mpa），求材料彈性常數(shù)。），求材料彈性常數(shù)。 利用公式利用公式解：解：101102),(2dkccggkgkgkkge2623,39

38、解出橡膠的彈性常數(shù)為解出橡膠的彈性常數(shù)為 ， e=1.384mpa，= 0.5 小變形小變形 橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 4 非線性彈性非線性彈性 k 常用的橡膠力學(xué)性能描述方法主要分為兩類，一類是基于常用的橡膠力學(xué)性能描述方法主要分為兩類，一類是基于熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質(zhì)的的方法，另一類是基于橡膠為連續(xù)介質(zhì)的唯象學(xué)唯象學(xué)描描述方法。述方法。 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)為觀察到橡膠中的彈性恢復(fù)力主要熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)方法的基礎(chǔ)為觀察到橡膠中的彈性恢復(fù)力主要來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結(jié)構(gòu)無序，熵的減少是來自熵的減少。橡膠在承受荷載時分子結(jié)構(gòu)無序，熵的減少是由于橡膠伸長使得

39、橡膠結(jié)構(gòu)由高度無序變得有序。由對橡膠中由于橡膠伸長使得橡膠結(jié)構(gòu)由高度無序變得有序。由對橡膠中分子鏈的長度、方向以及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)得到本構(gòu)關(guān)系。分子鏈的長度、方向以及結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)得到本構(gòu)關(guān)系。橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 唯象學(xué)描述方法假設(shè)在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，唯象學(xué)描述方法假設(shè)在未變形狀態(tài)下橡膠為各向同性材料，即長分子鏈方向在橡膠中是隨機(jī)分布的。這種各向同性的假設(shè)即長分子鏈方向在橡膠中是隨機(jī)分布的。這種各向同性的假設(shè)是用單位體積（彈性）應(yīng)變能函數(shù)（是用單位體積（彈性）應(yīng)變能函數(shù)（u）來描述橡膠特性的基）來描述橡膠特性的基礎(chǔ)，其本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式模型和礎(chǔ)，其本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式模型和ogde

40、n形式模型。形式模型。niiinjijiijjdiicu12121) 1(1) 3() 3(典型的典型的本構(gòu)模型本構(gòu)模型為多項(xiàng)式形式，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為為多項(xiàng)式形式，其應(yīng)變能密度表達(dá)式為特殊形式可以由設(shè)定某些參數(shù)為特殊形式可以由設(shè)定某些參數(shù)為0來得到。如果所有來得到。如果所有 0ijc0j則得到減縮多項(xiàng)式模型則得到減縮多項(xiàng)式模型 ininiiiijdicu21010) 1(1)3(21201110) 1(1)3()3(jdicicu對于完全多項(xiàng)式對于完全多項(xiàng)式，如果，如果n1, 則只有線性部分的應(yīng)變能量，則只有線性部分的應(yīng)變能量，即即mooney-rivlin形式形式橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型

41、 ，則得到，則得到neo-hookean形式形式 對于減縮多項(xiàng)式對于減縮多項(xiàng)式，如果，如果 n121110) 1(1)3(jdicu100%100%mooney-rivlin形式和形式和neo-hooken形式本構(gòu)模型形式本構(gòu)模型（后者是將（后者是將hooke定律擴(kuò)展至大變形）定律擴(kuò)展至大變形）橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 yeoh形式本構(gòu)模型是形式本構(gòu)模型是 n3時減縮多項(xiàng)式的特殊形式時減縮多項(xiàng)式的特殊形式 iiiiiijdicu2313010) 1(1) 3(100%典型的典型的s形橡膠應(yīng)力形橡膠應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 ，c10正值，在小變形時為切線模量；正值，在小變形時為切線模量；c20為負(fù)

42、值，中等變形時軟化；為負(fù)值，中等變形時軟化；c30正值，大變形時硬化。正值，大變形時硬化。橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 ogden形式本構(gòu)模型形式本構(gòu)模型 arruda-boyce形式本構(gòu)模型形式本構(gòu)模型 van der waals模型模型 jjdiumln2112332)1ln()3(2232jjdicuiiiimiln211)3(251122212321121(3)(1)iiinniiiiiiujd橡膠本構(gòu)模型橡膠本構(gòu)模型 其他形式的本構(gòu)模型有：其他形式的本構(gòu)模型有：試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù) 橡膠類材料的本構(gòu)關(guān)系除具有超彈性、大變形的特征外，橡膠類材料的本構(gòu)關(guān)系除具有超彈性、大

43、變形的特征外，其本構(gòu)關(guān)系與生產(chǎn)加工過程有直接關(guān)系，如橡膠配方和硫化工其本構(gòu)關(guān)系與生產(chǎn)加工過程有直接關(guān)系，如橡膠配方和硫化工藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構(gòu)關(guān)系，都要依賴于精藝。確定每一批新加工出來的橡膠的本構(gòu)關(guān)系，都要依賴于精確和充分的橡膠試驗(yàn)。確和充分的橡膠試驗(yàn)。 通常在試驗(yàn)中應(yīng)該測得在幾種不同荷載模式下的應(yīng)力通常在試驗(yàn)中應(yīng)該測得在幾種不同荷載模式下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，應(yīng)變曲線，這樣可以選擇出最合適的本構(gòu)模型以及描述這種模型的參數(shù)。這樣可以選擇出最合適的本構(gòu)模型以及描述這種模型的參數(shù)。 同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應(yīng)力同一種橡膠材料的三種拉伸變形狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖，應(yīng)變曲線圖，對

44、比試驗(yàn)曲線，由最小二乘法擬合多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的系數(shù)。對比試驗(yàn)曲線，由最小二乘法擬合多項(xiàng)式本構(gòu)模型中的系數(shù)。試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù) 給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)力表達(dá)式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)力表達(dá)式的系數(shù)通過最小二乘法擬合確定，這樣可以使得誤差最小。即對于定，這樣可以使得誤差最小。即對于n 組應(yīng)力組應(yīng)力-應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)應(yīng)變的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取相對誤差據(jù)，取相對誤差e 的最小值，擬合應(yīng)力表達(dá)式中的系數(shù)，得的最小值，擬合應(yīng)力表達(dá)式中的系數(shù)，得到理論本構(gòu)模型。到理論本構(gòu)模型。2thtest11niiiett按照本構(gòu)關(guān)系與伸長率對應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式按

45、照本構(gòu)關(guān)系與伸長率對應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的應(yīng)力值實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的應(yīng)力值 確定材料常數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式確定材料常數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式 試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)試驗(yàn)擬合本構(gòu)模型系數(shù)0rlog0.01840.4575eh010010110230.05egcccc 對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗(yàn)來確定對于已經(jīng)成型的橡膠元件，通常不容易通過上述試驗(yàn)來確定其材料常數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式是通過橡膠的其材料常數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式是通過橡膠的irhd硬度指標(biāo)來確定材料硬度指標(biāo)來確定材料的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關(guān)系來確的彈性模量和切變模量，再由材料常數(shù)和彈性模量的關(guān)系來確定材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ?yīng)變條件）定

46、材料常數(shù)?；竟綖椋ㄐ?yīng)變條件）將得到的材料常數(shù)代入將得到的材料常數(shù)代入mooney-rivlin模型進(jìn)行計(jì)算。模型進(jìn)行計(jì)算。 例子例子 采用氫化丁腈橡膠采用氫化丁腈橡膠h-nbr75，硬度為，硬度為75mpa，解得，解得 08.366mpae 101.328mpac010.0664mpac 由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復(fù)雜的超彈性模型計(jì)由于大型有限元軟件的迅速發(fā)展，使得復(fù)雜的超彈性模型計(jì)算過程由計(jì)算機(jī)程序完成，在算過程由計(jì)算機(jī)程序完成，在abaqus等商用軟件中給出了具體等商用軟件中給出了具體的計(jì)算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合和選的計(jì)算。用戶要熟悉如何輸入數(shù)據(jù)文件，

47、根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合和選用合適的本構(gòu)模型，如何處理輸出結(jié)果并檢驗(yàn)其是否正確。對于用合適的本構(gòu)模型，如何處理輸出結(jié)果并檢驗(yàn)其是否正確。對于初學(xué)者來說，商用軟件是一個初學(xué)者來說，商用軟件是一個“黑匣子黑匣子”，因此，掌握超彈性材，因此，掌握超彈性材料模型理論和計(jì)算方法是取得仿真成功的關(guān)鍵。料模型理論和計(jì)算方法是取得仿真成功的關(guān)鍵。結(jié)論與討論結(jié)論與討論 需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析需要注意的是，對于不可壓縮材料的平面問題，無論是解析解還是數(shù)值解，均不能采用平面應(yīng)變解答。因?yàn)閷τ诓豢蓧嚎s材解還是數(shù)值解，均不能采用平面應(yīng)變解答。因?yàn)閷τ诓豢蓧嚎s材料，如果采用平面應(yīng)變模型，其體積不變，

48、內(nèi)力為不確定量，在料，如果采用平面應(yīng)變模型，其體積不變，內(nèi)力為不確定量，在有限元中的節(jié)點(diǎn)位移不能反映單元內(nèi)力的變化。有限元中的節(jié)點(diǎn)位移不能反映單元內(nèi)力的變化。對于不可壓縮材對于不可壓縮材料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務(wù)必應(yīng)用平面應(yīng)力（或料或者接近于不可壓縮材料的平面問題，務(wù)必應(yīng)用平面應(yīng)力（或者廣義平面應(yīng)變）解答者廣義平面應(yīng)變）解答。part3鋼part2橡膠 rspart1鋼rr b過盈面過盈面橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解橡膠減震軸過盈配合的解析解和有限元解平面應(yīng)變和平面應(yīng)力模型平面應(yīng)變和平面應(yīng)力模型過盈量過盈量1.9mm ，應(yīng)力非常大，應(yīng)力非常大，原因是平面應(yīng)變模型原因是平面應(yīng)

49、變模型 r (mm)r(mpa)020406080-1-0.8-0.6-0.4-0.20theoreticabaqus01020304050607080-700-600-500-400-300-200-1000r(mpa)r(mm) part3fea 理論解 理論解 part2fea 理論解 part1fea橡膠和鋼環(huán)的解析解與橡膠和鋼環(huán)的解析解與fe解的徑向應(yīng)力比較解的徑向應(yīng)力比較 廣義平面應(yīng)變平面應(yīng)力問題廣義平面應(yīng)變平面應(yīng)力問題不發(fā)生體積自鎖不發(fā)生體積自鎖平面應(yīng)變模型平面應(yīng)變模型發(fā)生體積自鎖發(fā)生體積自鎖5 5 一維塑性一維塑性 應(yīng)力保持40mpa的蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果對比 ),( tte

50、e 123= s5 5 一維塑性一維塑性 123= s允許應(yīng)力允許應(yīng)力 5 5 一維塑性一維塑性 5 5 一維塑性一維塑性 形狀形狀改變比能與改變比能與體積體積改變比能改變比能體積改變能密度與形狀改變能密度體積改變能密度與形狀改變能密度2 13 32131 3215 5 一維塑性一維塑性 123= s5 5 一維塑性一維塑性 5 5 一維塑性一維塑性 5 一維塑性一維塑性 對于卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變的材料稱為塑性材料。對于卸載后產(chǎn)生永久應(yīng)變的材料稱為塑性材料。 應(yīng)變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分應(yīng)變的每一增量分解成為彈性可逆部分和塑性不可逆部分 塑性理論的主要內(nèi)容有：塑性理論的主要

51、內(nèi)容有： peddd),(qf屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應(yīng)力的函數(shù)屈服函數(shù)控制塑性變形的突變和連續(xù)，是內(nèi)變量和應(yīng)力的函數(shù) 流動法則控制塑性流動，即確定塑性應(yīng)變增量。流動法則控制塑性流動，即確定塑性應(yīng)變增量。內(nèi)部變量內(nèi)部變量的演化方程控制屈服函數(shù)的演化，包括應(yīng)變的演化方程控制屈服函數(shù)的演化，包括應(yīng)變-硬化關(guān)系。硬化關(guān)系。 彈彈-塑性定律是路徑相關(guān)和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變塑性定律是路徑相關(guān)和耗能的，大部分的功消耗在材料塑性變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應(yīng)力取決于整個變形中，不可逆換成其它形式的能量，特別是熱。應(yīng)力取決于整個變形的歷史，不能表示成為應(yīng)變的單

52、值函數(shù)；而它僅能指定作為應(yīng)力形的歷史，不能表示成為應(yīng)變的單值函數(shù)；而它僅能指定作為應(yīng)力和應(yīng)變的率之間的關(guān)系。和應(yīng)變的率之間的關(guān)系。5 一維塑性一維塑性 一維率無關(guān)塑性一維率無關(guān)塑性 典型彈典型彈-塑性材料的應(yīng)力塑性材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線應(yīng)變曲線 應(yīng)變的增量假設(shè)分解成為彈性和塑性部分的和，率形式應(yīng)變的增量假設(shè)分解成為彈性和塑性部分的和，率形式 pe應(yīng)力增量應(yīng)力增量( (率率) )總是與彈性模量和彈性應(yīng)變的增量總是與彈性模量和彈性應(yīng)變的增量( (率率) )有關(guān)有關(guān) eeddee 非線性彈非線性彈-塑性區(qū)段，應(yīng)力塑性區(qū)段，應(yīng)力-應(yīng)變應(yīng)變deeddetan切線模量切線模量 應(yīng)力應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的是應(yīng)變關(guān)系

53、的是率率均勻的。均勻的。如果被任意的如果被任意的時間時間因子縮放，本因子縮放，本構(gòu)關(guān)系保持不變。因此，材料構(gòu)關(guān)系保持不變。因此，材料反應(yīng)是反應(yīng)是率無關(guān)率無關(guān)的。的。 5 一維塑性一維塑性 一維率無關(guān)塑性一維率無關(guān)塑性 通過流動法則給出了塑性應(yīng)變率，常常表示為塑性流動勢能的形式通過流動法則給出了塑性應(yīng)變率，常常表示為塑性流動勢能的形式p塑性率參數(shù)塑性率參數(shù) 流動勢能的一個例子是流動勢能的一個例子是 )(sign等效應(yīng)力等效應(yīng)力 屈服條件為屈服條件為 0)(yf單軸拉伸的屈服強(qiáng)度單軸拉伸的屈服強(qiáng)度 等效塑性應(yīng)變等效塑性應(yīng)變 材料在初始屈服之后屈服強(qiáng)度的增加稱為功硬化或者應(yīng)變硬化材料在初始屈服之后屈

54、服強(qiáng)度的增加稱為功硬化或者應(yīng)變硬化( (對應(yīng)于應(yīng)變軟化對應(yīng)于應(yīng)變軟化) )。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。硬化行為一般是塑性變形先期歷史的函數(shù)。 屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強(qiáng)度總是相等。屈服行為是各向同性硬化；拉伸和壓縮的屈服強(qiáng)度總是相等。5 一維塑性一維塑性 一維率無關(guān)塑性一維率無關(guān)塑性 fsignp)(一個特殊的模型，一個特殊的模型， 塑性應(yīng)變率寫成為塑性應(yīng)變率寫成為 p)(signff 塑性模型稱為關(guān)聯(lián)的，否則，塑性流動是非關(guān)聯(lián)的。塑性模型稱為關(guān)聯(lián)的，否則，塑性流動是非關(guān)聯(lián)的。對于關(guān)聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向。對于關(guān)聯(lián)塑性，塑性流動是沿著屈服面的法線方向

55、。 由此看出由此看出僅當(dāng)滿足屈服條件僅當(dāng)滿足屈服條件時發(fā)生塑性變形。時發(fā)生塑性變形。 0)(yf當(dāng)塑性加載時，應(yīng)力必須保持在屈服面上，當(dāng)塑性加載時，應(yīng)力必須保持在屈服面上， 實(shí)現(xiàn)了實(shí)現(xiàn)了一致性條件一致性條件 0)(yfhddy)(這給出這給出塑性模量塑性模量 5 一維塑性一維塑性 一維率無關(guān)塑性一維率無關(guān)塑性 ddhy)(典型的硬化曲線，典型的硬化曲線，塑性模量塑性模量對應(yīng)塑性加載和純彈性加載或卸載，切線模量為對應(yīng)塑性加載和純彈性加載或卸載，切線模量為 heeee2tan塑性轉(zhuǎn)換參數(shù)塑性轉(zhuǎn)換參數(shù)塑性加載彈性加或卸載10加載卸載條件還可以寫為加載卸載條件還可以寫為 00f0f一致性條件的率形式一

56、致性條件的率形式 應(yīng)力狀態(tài)位于塑性表面應(yīng)力狀態(tài)位于塑性表面 塑性率參數(shù)非負(fù)塑性率參數(shù)非負(fù) 對于塑性加載對于塑性加載 0必須保持在屈服面上必須保持在屈服面上 其應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力狀態(tài)0f對于彈性加載或者卸載對于彈性加載或者卸載 0沒有塑性流動沒有塑性流動 0f因此因此 材料硬化描述材料硬化描述 (a) bauschinger效果效果 (b) 屈服面的平移和擴(kuò)展屈服面的平移和擴(kuò)展 在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了在循環(huán)加載中，各向同性硬化模型提供了金屬金屬應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)的粗應(yīng)力應(yīng)變反應(yīng)的粗糙模型。圖糙模型。圖a為為bauschinger效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮屈服效果，在拉伸初始屈服之后的壓縮

57、屈服強(qiáng)度降低。認(rèn)識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性強(qiáng)度降低。認(rèn)識這種行為的方法之一是觀察屈服表面的中心沿著塑性流動方向移動。圖流動方向移動。圖b為多軸應(yīng)力狀態(tài)圓環(huán)屈服表面擴(kuò)張對應(yīng)于為多軸應(yīng)力狀態(tài)圓環(huán)屈服表面擴(kuò)張對應(yīng)于各向各向同性硬化（冪硬化）同性硬化（冪硬化），它的中心平移對應(yīng)于，它的中心平移對應(yīng)于運(yùn)動硬化運(yùn)動硬化。 5 一維塑性一維塑性 混合硬化混合硬化 屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運(yùn)動硬化。屈服面積不變，屈服中心平移，運(yùn)動硬化。背應(yīng)力的內(nèi)部變量背應(yīng)力的內(nèi)部變量 stress-strain cu

58、rve under cyclic loadscombined hardening model 混合硬化混合硬化 5 一維塑性一維塑性 屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積改變，屈服中心不變，各向同性硬化；屈服面積不變，屈服中心平移，運(yùn)動硬化。屈服面積不變，屈服中心平移，運(yùn)動硬化。5 一維塑性一維塑性 運(yùn)動硬化運(yùn)動硬化 塑性流動關(guān)系塑性流動關(guān)系 p背應(yīng)力背應(yīng)力的內(nèi)部變量的內(nèi)部變量 屈服條件屈服條件 yf一維率相關(guān)塑性一維率相關(guān)塑性 在率相關(guān)塑性中，材料的塑性反應(yīng)取決于加載率在率相關(guān)塑性中，材料的塑性反應(yīng)取決于加載率， 一種方法是過應(yīng)力模型，等效塑性應(yīng)變率取決于超過多少屈服應(yīng)力一種方

59、法是過應(yīng)力模型，等效塑性應(yīng)變率取決于超過多少屈服應(yīng)力 my10)(等效塑性應(yīng)變率的一種交換形式等效塑性應(yīng)變率的一種交換形式 ,粘度粘度 過應(yīng)力過應(yīng)力5 一維塑性一維塑性 應(yīng)變軟化應(yīng)變軟化 0, 0uf0uf單調(diào)凸本構(gòu)曲線不再成立。應(yīng)變軟化如何加載？單調(diào)凸本構(gòu)曲線不再成立。應(yīng)變軟化如何加載？位移加載位移加載6 多軸塑性多軸塑性 tresca屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則mises屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則在有限元程序中一般應(yīng)用哪種屈服準(zhǔn)則？為什么？在有限元程序中一般應(yīng)用哪種屈服準(zhǔn)則？為什么？摩擦滑移屈服表面摩擦滑移屈服表面 6 多軸塑性多軸塑性 mohr-coulomb本構(gòu)模型本構(gòu)模型0nqf 滑移方向（塑性流動）是水

60、平的（沿q 的方向）而不是垂直屈服面。這是非關(guān)聯(lián)塑性流動的例子。對于連續(xù)體和多軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的行為，m-c準(zhǔn)則具有普適性。它應(yīng)用于模擬土壤和巖石。 c m-c準(zhǔn)則是基于這樣的概念，即當(dāng)任意面上的切應(yīng)力和平均法準(zhǔn)則是基于這樣的概念，即當(dāng)任意面上的切應(yīng)力和平均法向應(yīng)力達(dá)到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服向應(yīng)力達(dá)到臨界組合時在材料中發(fā)生屈服 c是內(nèi)聚力，通過是內(nèi)聚力，通過 定義內(nèi)摩擦角定義內(nèi)摩擦角 tan6 多軸塑性多軸塑性 mohr-coulomb屈服行為屈服行為mohr-coulomb屈服表面屈服表面drucker-prager屈服表面屈服表面 在在mohr平面上的兩條直線代表了方程式，它們是平面上的