談今年全國1卷理科20題爭議蘇淳

1、談今年全國 1 卷理科 20 題爭議統(tǒng)計學(xué)遭遇數(shù)學(xué)的尷尬蘇淳試題：(2018年全國理科I卷第 20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶前要對產(chǎn)品作檢驗， 如檢驗出不合格品，則更換為合格品。檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取 20 件作檢驗，再根據(jù) 檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p,且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為 f(p)，求的最大值點p?，F(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了 20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中p。確定的作為p的值。 已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為 2元，若有不合格品進入用戶手中， 則工

2、廠要對每件不合格品支 付 25 元的賠償費用(i) 若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X).(ii) 以檢驗費用與賠償費用和的期望值作為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢 驗？01題目開宗明義,面對的是大批量的產(chǎn)品,產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件。每箱先抽檢 20件,根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗。命題者怕在這里引起誤會, 不可謂不仔細地斟酌了詞句, 特別強調(diào)了要決定的是 "是否 對余下的所有產(chǎn)品作檢驗 ",說明這里的選項只有兩個：要么對余下的所有產(chǎn)品都作檢驗(全檢),要么就都不檢驗 (全不檢 ),不存在部分檢驗的問題

3、。正是在這種思路的指導(dǎo)之下,誕生 了對于第(2)小題(ii)的官方解答。如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢查費用為400元。由于E(X)>400,故應(yīng)對余下的產(chǎn)品作檢驗。注明：E(X)=400是第(i)的計算結(jié)果，即若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢 驗費用與賠償費用的和的期望值。站在統(tǒng)計學(xué)的角度來看,這種解答是沒有問題的。因為它考慮的是實際需求。要檢驗 的是大批量的產(chǎn)品,不僅僅是一箱,而是許多許多箱。所以只對“全檢”與“全不檢”的費 用作一比較,以決定是否需要全檢。問題尷尬的是,它是出在“數(shù)學(xué)試卷”中的題目,而且它自身又帶有明顯的“數(shù)學(xué)特 點”,這就讓人難以弄清它到

4、底是要考“統(tǒng)計”還是要考“數(shù)學(xué)”了。題目中的第 (1)小題要求學(xué)生用極大似然估計估計出產(chǎn)品的不合格率,沒有出現(xiàn)“極大 似然估計” 這個統(tǒng)計學(xué)上的名詞,完全用的是數(shù)學(xué)語言, 求函數(shù)的極大值點。學(xué)生理所當(dāng)然 地把它作為數(shù)學(xué)題來做,求導(dǎo)數(shù),求導(dǎo)函數(shù)的零點,觀察導(dǎo)函數(shù)的符號,確認P。 =0.1 就是函數(shù) f(p) 的最大值點。問題出在第 (2)小題。題目說, “對一箱產(chǎn)品檢驗了 20件,結(jié)果恰有 2件不合格品。以 (1)中的p。作為p的值”p是什么？題目在大前提中說到，“每件產(chǎn)品為不合格品的概率都是 p” ,意即p就是不合 格率。幸虧學(xué)生沒有學(xué)習(xí)更多的統(tǒng)計知識, 也沒有更多時間去思考, 否則他們會問：

5、 既然“檢 驗了 20件，發(fā)現(xiàn)2件不合格”，那么為啥不可以直接用頻數(shù) 2/20=0.1去估計不合格率p,而 要繞一個圈子去求什么 f(p)的最大值點？你這分明不就是要考我們數(shù)學(xué)嗎 ？02其實不然， 命題者想考的還是統(tǒng)計。 只是礙于學(xué)生統(tǒng)計知識不足， 無法把問題講清楚。 因為嚴格來說， 統(tǒng)計不是數(shù)學(xué)， 它是一門處理數(shù)據(jù)的藝術(shù)。出于不同的需求，可以對同一批 數(shù)據(jù)作不同的處理。舉例來說，對不合格的估計，既可以采用頻數(shù)估計(又叫作矩估計) ，也可以采用極大似然估計，各有各的優(yōu)缺，適用于不同的場合，滿足不同的需求?？汕傻氖牵诒绢}的場合 下，無論抽檢的20件產(chǎn)品中所發(fā)現(xiàn)的不合格品的件數(shù)k是多少，兩種估計

6、的結(jié)果都是相同的，都是 k/20 。既然命題者不愿意讓學(xué)生采用頻數(shù)估計，而一定要用極大似然估計，那么在這里只有 一種理解，那就還是要考數(shù)學(xué)。要考核學(xué)生通過求導(dǎo)求函數(shù)最值和最值點的能力。 既然這里是考數(shù)學(xué)， 那么一以貫之， 通題就應(yīng)當(dāng)都按數(shù)學(xué)問題處理。 至少別人按數(shù)學(xué)問題做 了，不能算錯。例如，有人這樣解答第 (2)小題 (ii):設(shè)對剩下的180件產(chǎn)品再抽檢r件(0< r< 180)，將此時的檢驗費用與賠償費用的和記作Y,則有E(Y)=2r+25(180-r) 0.仁450-r/2，在r=180時，E(丫達到最小。所以應(yīng)對剩下的產(chǎn)品 “全檢”。這種求最小值的處理方式與第 (1)小題

7、的精神一致。都是用數(shù)學(xué)中的最值作為問題的解 答。既然(i)中可用最值點作為不合格率的估計，那么(ii)中也可以按最值的標(biāo)準(zhǔn)取舍檢驗方案。更何況，這里還涉及到邏輯中的如何否定“全稱命題”的問題。無論怎么說,對“全檢”的否定是“不全檢” ，包括“部分檢”與“全不檢” 。正如不少中學(xué)教師指出的，這是中學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)中反復(fù)強調(diào)的， 而且也是作為高考所要考核的內(nèi)容的。 不能在同一張卷子中體現(xiàn)不同的 要求。事實上，第(2)小題(ii)的官方解答中所采用的取舍標(biāo)準(zhǔn)只有具備產(chǎn)品檢驗經(jīng)驗的人才知 道，因為只有面對在大批量產(chǎn)品時，才會只在“全檢”與“全不檢”之間進行選擇。03在我國的本科專業(yè)分類中已經(jīng)把統(tǒng)計學(xué)獨立出

8、來， 作為與數(shù)學(xué)并列的一級學(xué)科， 就是因 為“統(tǒng)計不是數(shù)學(xué)” 。數(shù)學(xué)的一個基本特是： “一個問題只有一個答案” ，統(tǒng)計學(xué)則不然，對 同一個問題，可以有不同的答案。例前面說到的， 對同一個參數(shù)， 可以用頻數(shù)估計， 也可以用極大似然估計，它們往往會有所不同。在當(dāng)前大數(shù)據(jù)時髦的今天，面對同樣的數(shù)據(jù)得出不同結(jié)論的情況就更為常見。 中學(xué)里既然把統(tǒng)計放到數(shù)學(xué)中來學(xué)，那就有一個如何教如何學(xué)如何考核的問題。尤其是在出高考題時， 更需要考慮周全。前些我在參與出高考安徽數(shù)學(xué)卷時， 一直把握一條原則， 就是 大題盡量考概率。因為概率是數(shù)學(xué)，一是一二是二，不會遭遇尷尬。統(tǒng)計則不然，需要謹慎 而又謹慎。042018年全國數(shù)學(xué)卷I第20題不是錯題，無論題目本身還是官方解答，都不存在問題。 它是一道關(guān)于產(chǎn)品檢驗的統(tǒng)計題， 面對的是大批量的產(chǎn)品， 考慮的是實際的需求。 在這類問 題中，對于已經(jīng)做了“部分抽檢”后的產(chǎn)品，在進一步的行動中只有兩個選項，即“全檢” 或“免檢”，不存在“部分檢”的情況。一些中學(xué)師生中所出現(xiàn)的問題主要原因就是過多地從數(shù)學(xué)角度來看待統(tǒng)計問題。我從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實際可能遇到的情