大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)講課稿

1、大一高數(shù)知識(shí)點(diǎn)第一節(jié)第一節(jié) 空間向量及其線性運(yùn)算空間向量及其線性運(yùn)算設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyz

2、o 1MPNQR 2M結(jié)論：設(shè)),(111zyxA和),(222zyxB為兩已知點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一個(gè)點(diǎn)，且 MBAM，則 M(x, y, z)的坐標(biāo)分別為：ABMxyzo,121 xxx,121 yyy.121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn).M為為中中點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zzz 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點(diǎn)點(diǎn)，2M為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向線線段段.1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .

3、0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：三三、向量的概念、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原與原點(diǎn)構(gòu)成的向量點(diǎn)構(gòu)成的向量. . OMMbaba/,即即平行于平行于向量向量向量的共線、共面向量的共線、共面的夾角，垂直的夾角，垂直與與向量向量ba空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾

4、角的概念：, 0 a, 0 bab 向量a與向量b的夾角),(ba ),(ab 0() 四四、向量的、向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算1 1 加法：加法： 符合符合平行四邊形法則平行四邊形法則， 也稱為三角形法則也稱為三角形法則22 減法減法 3 3 數(shù)乘數(shù)乘設(shè) 是一個(gè)數(shù)，向量a與 的乘積a 規(guī)定為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa 數(shù)乘符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)乘符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.,/, 0zzyyxxabababababa 即即使使

5、，存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)則則向向量量設(shè)設(shè)向向量量定定理理 兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起點(diǎn)點(diǎn)A和和終終點(diǎn)點(diǎn)B在在軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA ,那那么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的值值，稱稱為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影.ABjuPr向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為五五、向量、向量的坐標(biāo)的坐標(biāo)xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x

6、向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：,zyxaaa向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向

7、的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六六、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單