第十四章整式的乘除與因式分解教材分析

1、4第十四章 整式的乘除與因式分解教材分析1、教學(xué)內(nèi)容及地位本章屬于課程標(biāo)準(zhǔn)中的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，其核心知識是：整式的乘除運(yùn)算和因式分解。這些知識是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的運(yùn)算、列代數(shù)式、整式加減和解一元一次方程及不等 式的基礎(chǔ)引入的。也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、一元二次方程以及函數(shù)等知識的基礎(chǔ)， 同時又是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等學(xué)科及其他科學(xué)技術(shù)不可缺少的數(shù)學(xué)工具，因此，本章在初中學(xué) 段占有重要地位。2、本章教學(xué)內(nèi)容在學(xué)習(xí)上各部分知識之間的聯(lián)系如下：|現(xiàn)實(shí)世界、其他學(xué)科、數(shù)學(xué)中的問題惜境L幕：同底數(shù)幕的乘法、冨的乘方、積的乘方r單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式j(luò) I整式乘除運(yùn)算一-多項(xiàng)式窄以單項(xiàng)式|分配眸-多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

2、乘法公式*平方差公式L幕：同底數(shù)需的除法、零指數(shù)完全平方公式整式除法-單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式j(luò)分配誹多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式L因式分解的倉義因式分解一L提公因式法因式分解的方法一公式法從上 面 可 以看出，本章內(nèi)容的突出的特點(diǎn)是：內(nèi)容聯(lián)系緊密、以運(yùn)算為主。全章緊緊圍繞整式的乘除運(yùn) 算，分層遞進(jìn)，層層深入。在整式的乘除中，單項(xiàng)式的乘除是關(guān)鍵，這是因?yàn)槠渌顺家?轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除法。實(shí)際上，單項(xiàng)式的乘除進(jìn)行的是幕的運(yùn)算與有理數(shù)的運(yùn)算，因此幕的運(yùn) 算是學(xué)好整式乘除的基礎(chǔ)。3、教學(xué)目標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)人教材具體目標(biāo)目標(biāo)1:了解整數(shù)指數(shù)幕的意義和基本 性質(zhì)，會進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算 （其 中的多項(xiàng)式相乘僅指一次式相乘）目

3、標(biāo)1:掌握正整數(shù)幕的乘、除運(yùn)算性質(zhì)，能用代數(shù)式和文字語言 正確地表述這些性質(zhì)，并能 運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行計算掌握單項(xiàng)式 乘（或除以）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘 多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行計算目標(biāo)2：會推導(dǎo)乘法公式：（a+b）（a- b）=a2- b2； （a+b）2=a2+2ab+b2， 了解公式的幾何背景，并能進(jìn)行 簡單 計算目標(biāo)2:會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算目標(biāo)3:會用提公因式法、公式法（直 接用公式不超過二次） 分解因式（指 數(shù)是正整數(shù)）.目標(biāo)3:理解因式的意義并感受分解因式與整式乘法是相反方向的 變形，掌握提

4、公因式法和運(yùn)用公式法（直接運(yùn)用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步驟，能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解 目標(biāo)4:掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算目標(biāo)解析：解析每個目標(biāo) 目標(biāo)1中課標(biāo)對整式乘法運(yùn)算的要求 其中的多項(xiàng)式相乘僅指一次式相乘， 是對多 項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的難度作一個要求。 目標(biāo)2中對乘法公式的要求不僅是能利用公式進(jìn)行（簡單）的乘法運(yùn)算，更要引起老師們 注意的是，目標(biāo)要求會“推導(dǎo)”乘法公式，因此在教學(xué)中要從代數(shù)、幾何多個角度出發(fā)推導(dǎo) 公式。 目標(biāo)3中，課標(biāo)要求：會用提公因式法、公式法（直接用公式不超

5、過二次）分解因式（指數(shù)是正整數(shù)）。首先初中階段對分解因式只要求掌握兩種方法，而對于分組分解法和十 字相乘法則不做要求；其次，直接用公式不超過二次，如把多項(xiàng)式a8-1分解因式則是超課標(biāo)了；最后，多項(xiàng)式中的字母指數(shù)僅限于正整數(shù)的情況，不考慮指數(shù)是負(fù)數(shù)，分?jǐn)?shù)或字母的情 況。而在學(xué)習(xí)過程中比克標(biāo)的要求要高一些，通過教學(xué)我們要讓學(xué)生理解因式分解的意義， 了解因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，從中體會事物之間相互轉(zhuǎn)化的辨證思想。通過學(xué)生的 自主探索，發(fā)現(xiàn)和掌握因式分解的基本方法一一提公因式法和公式法（數(shù)學(xué)書P172選學(xué)部分中提到了 “十字相乘法”），滲透特殊到一般，逆向思維，換元等思想， 培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察、

6、深入分析問題的良好習(xí)慣和能力。通過因式分解的應(yīng)用與實(shí)踐，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力， 使他們獲得一些研究問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)與方法。顯然教材比課標(biāo)中的目標(biāo)高很多，建議 老師們根據(jù)自己學(xué)生的情況進(jìn)行分層目標(biāo)要求。 課標(biāo)總目標(biāo)與人教材具體目標(biāo)整體要求偏低 ，建議從兩個方面把握： 課標(biāo)是由國家教育部制訂的，教材的版本可以不同，但課標(biāo)是同一個，從中考角 度講，中考內(nèi)容一定不能超出課標(biāo)要求的范圍，因此應(yīng)以課標(biāo)為準(zhǔn)繩把握教學(xué)目標(biāo)。 課標(biāo)是國家對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的基本規(guī)范和要求，它只規(guī)定了學(xué)生在相應(yīng)學(xué)段 應(yīng)該達(dá)到的最低、最基本的要求，因此又要根據(jù)學(xué)生的具體情況和教材編寫的特點(diǎn)，提出不 同層次的教學(xué)目標(biāo)。4、

7、本章教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本章教學(xué)重點(diǎn)是整式的乘除運(yùn)算和因式分解的兩種基本方法，教學(xué)難點(diǎn)乘法公式的靈活 應(yīng)用，熟練掌握因式分解的兩種方法和變形技巧。5、課時安排本章教學(xué)時間約13課時，具體分配如下（僅供參考）：15.1整式的乘法4課時15.2乘法公式2課時15.3整式的除法2課時15.4因式分解3課時數(shù)學(xué)活動小結(jié)2課時6教學(xué)要求 基本要求-會識別、能計算：經(jīng)歷幕的運(yùn)算性質(zhì)、整式的乘法法則、乘法公式的探索過程，能夠進(jìn)行簡單的整式乘法 運(yùn)算(特別是利用乘法公式進(jìn)行計算)掌握三個對象以內(nèi)的數(shù)字指數(shù)的幕的運(yùn)算，如：a a2 (a2)3掌握可轉(zhuǎn)化為幕的運(yùn)算的數(shù)字簡單問題，如：272 34掌握三個以內(nèi)單項(xiàng)式的乘法

8、運(yùn)算，如：-3ab2 2a3b (_2ab)2掌握一個單項(xiàng)式與一個二項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，如：3x2y (2xy2 -3xy)掌握兩個一次二項(xiàng)式的乘法運(yùn)算(特別是應(yīng)用乘法公式的)，女口： (x+3)(x _2); (a +2b)(a _2b); (3m _n)經(jīng)歷整式除法法則的探索過程，會進(jìn)行簡單的整式除法運(yùn)算理解因式分解的意義，感受分解因式與整式乘法是相反方向的變形掌握因式分解的方法提取公因式法和公式法(直接使用公式不超過兩次)并能熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行簡單的因式分解.略高要求-會運(yùn)用性質(zhì)解決相關(guān)問題能靈活地運(yùn)用三個幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計算，并能弄清各性質(zhì)之間以及它們與合并同類項(xiàng) 之間的區(qū)別與聯(lián)系.能

9、根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)、法則進(jìn)行整式的加、減、乘、除、乘方較簡單的混合運(yùn)算能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算.如: 415X 0.2515= (4X 0.25) 15=,;(利用乘法交換律和結(jié)合律，逆用積的乘方性質(zhì)簡化運(yùn)算) 98X 102= (100-2)X( 100+2)=,;1022= (100+2) 2=,.(利用乘法公式將數(shù)的運(yùn)算簡化)能綜合運(yùn)用兩個乘法公式進(jìn)行計算，并把公式推廣到三個數(shù)的情況.女口： P155 例 5:運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計算：(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c) 2體會代數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，能用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式，從中體會數(shù)學(xué)的整體 性.如平方

10、差公式和完全平方公式.較高要求-知識的靈活應(yīng)用能夠逆用幕的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡化計算.女口： P164第7題：若2m=a , 32n = b,則23m+10n =.(用a、b的代數(shù)式表示)會逆用乘法公式解決問題.女口： P171第9題：若4y2 +my +9是一完全平方式，求 m值.2 + 2女口 ：已知x-y=-10，求x -xy的值.(可以整體代入)2能夠綜合應(yīng)用本章的知識適當(dāng)進(jìn)行等式的恒等變形.女口： P157 第 7 題：已知 a+b=5，ab=3,求 a2 +b2 的值.女口：已知x+5y=6 ,求x2+5xy+30y的值.(利用因式分解，兩次整體代入) 女口：在(x2+ax+b)(2x2

11、-3x-1)的積中，x3項(xiàng)的系數(shù)是-5，x2項(xiàng)的系數(shù)是-6，求a，b的值.(求待定系數(shù)的值)知道在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.如P172 11.(無特別說明都是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式) 7、教學(xué)建議把握教學(xué)要求，重視 “過程”的教學(xué)為減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，新的課程標(biāo)準(zhǔn)中對于那些對后續(xù)學(xué) 習(xí)意義不大、學(xué)得很早但用得很晚，以及過繁過難的內(nèi)容進(jìn)行了刪減或降低要求。教學(xué)中要 注意準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，避免將刪掉或降低難度的內(nèi)容重新揀回。本章整式乘除的運(yùn)算性質(zhì)、 除法運(yùn)算性質(zhì)、乘法公式的得出過程， 一般都是從數(shù)的運(yùn)算， 歸納得到式的運(yùn)算性質(zhì)，是一個由特殊到一般，從具體到抽象的歸納過程。在性質(zhì)

12、和公式發(fā) 生過程的教學(xué)中， 要重視上述歸納的過程教學(xué)， 使學(xué)生在這個過程中理解和掌握性質(zhì)和公式。 應(yīng)是學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，在運(yùn)用的基礎(chǔ)上予以鞏固。改變教學(xué)方式，加強(qiáng)學(xué)生的自主活動教材中安排了大量的“探究”和“思考”欄目，以“觀察歸納 類比概括”為主要線索呈現(xiàn)運(yùn)算法則的探索過程。在探索活動中體會整式運(yùn)算的規(guī)律，教學(xué)中應(yīng)注重學(xué) 生對算理的理解，能夠合理安排運(yùn)算順序，尋找簡捷的運(yùn)算途徑，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理 能力和表達(dá)能力。在本章教學(xué)中，可以通過設(shè)置合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、探究和歸納；通 過設(shè)置恰當(dāng)數(shù)量和難度的符號運(yùn)算， 促進(jìn)學(xué)生對算理的理解和基本運(yùn)算技能的掌握； 通過“探 究

13、”欄目，讓學(xué)生體驗(yàn)獲得結(jié)論的過程，獲得成功的喜悅和信心；通過“思考”欄目可以拓 展思維空間，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，加深對問題的認(rèn)識。在學(xué)習(xí)活動中要充分信任學(xué)生，努力發(fā)揮 他們的主觀能動性，讓他們通過觀察、思考、探究、討論、歸納，主動地進(jìn)行學(xué)習(xí)。勤于思 考，善于思考，是學(xué)好數(shù)學(xué)的先決條件。滲透思想方法，注意數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系本章主要涉及的數(shù)學(xué)思想方法有： 轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、 類比思想、分類討論思想、 一般到特殊再到一般的基本數(shù)學(xué)思想等。“轉(zhuǎn)化思想”的使用在本章中極為突出。例如多項(xiàng)式的乘除法都是先轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘 除，再轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘除與同底數(shù)冪的乘除法。 由此可以看出， 在整式的乘除法的學(xué)習(xí)中， 只有打好基礎(chǔ)，才能夠熟練地進(jìn)行后面的運(yùn)算；只有在熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法的前提下，才能夠 順利地取得較好的效果。在教學(xué)中，還要注意代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合，實(shí)際上就是抽象與直觀的 結(jié)合。在以運(yùn)算為主的“整式的乘除”一章中，抽象的運(yùn)算公式、性質(zhì)和法則借助于圖形， 就可以直觀地反映它們的含義，揭示它們的本質(zhì)，便于學(xué)生理解，增強(qiáng)記憶效果。比如教材 在介紹單乘多、多乘多、平方差公式、完全平方公式時，都是先通過計算，得出用符號語言 表達(dá)的法則，然后用文字語言加以概括和總結(jié)，最后用圖形語言給出直觀解釋，將文字、符 號、圖形這三種數(shù)學(xué)語言的有機(jī)結(jié)合，有利于