結(jié)構(gòu)動力學(xué)陳政清教授

1、結(jié)構(gòu)動力學(xué)1概論1.1應(yīng)用范圍(土木工程領(lǐng)域)正問題：地震風(fēng)震移動荷載動力機械反問題：結(jié)構(gòu)參數(shù)與損傷識別地震：由基礎(chǔ)傳入激發(fā)能量大高度隨機性作用時間短風(fēng)振：可以事微振動也可能事發(fā)散的造成災(zāi)難性的后果。(Tocoma橋)1940年后才被認(rèn)識。 車振：列車質(zhì)量大恒/活載比小，車振明顯：豎向行人振動：人荷載的特點：1.82.0步/秒動力荷載：機械周期性運動的不平衡力的激發(fā)結(jié)構(gòu)的振動土木工程師.必須要有很強的結(jié)構(gòu)動力與穩(wěn)定的意識。12動力問題及其特點一總的原則：慣性力不可忽略，即是動力問題。例：一個茶杯慢慢推它.往前移忽然推它往后退因此.動力問題也可視為考慮慣性力的平衡問題二. 特點：1位移不僅是位置

2、的函數(shù)，而是時間的函數(shù)址垃龍“ Ju2慣性力荷載與加速度成正比。F=ma=以后用上面一點表示對時間的數(shù)bt3慣性力與質(zhì)量分布有關(guān)13結(jié)構(gòu)動力學(xué)基本術(shù)語結(jié)構(gòu)動力學(xué)：研究結(jié)構(gòu)在平衡位置的往復(fù)振動的特性一. 確定性荷載確定性分析P(t)有明確的函數(shù)表達式，任時刻的P (t)的已知.例：簡諧荷載 P (t)=.竝也隨機荷載一-隨機性分析荷載的時間歷程不確定，例如風(fēng)荷載，可能的地震波，列車過橋的振動。本課程只討論研究確定性分析，它式基礎(chǔ)，體現(xiàn)的動力學(xué)全部的概念與方法，某些隨機性問題可以化為確定性分析。如：地震分析，應(yīng)用檢測的地震波輸入隨機荷載隨機振動，變?yōu)榇_定性問題。二. 動力設(shè)計問題擬定結(jié)構(gòu)解析模型一

3、數(shù)學(xué)模型一動力分析一動力實驗驗證一動力修改本課程主要研究數(shù)學(xué)模型與動力分析兩部分三. 解析模型（力學(xué)模型）3要素：簡化假定計算簡圖.結(jié)構(gòu)參數(shù)表例：梁的解析模型承受橫向荷載：平截面假定 直線法假設(shè)離散參數(shù)模型（集參數(shù)模型）集中剛度.集中質(zhì)量連續(xù)參數(shù)模型（分布參數(shù)模型）：剛度.質(zhì)量均為連續(xù)函數(shù) 為使問題簡化，一般均將連續(xù)模型進一步簡化為離散模型PCX)Vo©_oo ” * g四數(shù)學(xué)模型即解析模型的運動微分方程例：梁的運動方程：m霄+EI瀘=P（t）建立方法以后講解：有動力平衡法，虛位移法與達朗爾原理3種&&&&&&五. 自由度（DOF： d

4、egree of freedom） 所考慮的動力系統(tǒng)種位移變量的個數(shù) 例：* h匚孚叩蠱O扎杞十向住疫陽*哉直韋隹務(wù)序特詰舌-卜冃k瘦附：實變函數(shù)論知識：可數(shù)無窮.不可數(shù)無窮。連續(xù)函數(shù).具不可數(shù)無窮自由度.可選用一組基函數(shù)轉(zhuǎn)化為可數(shù)無窮。例:周期函數(shù)。s （x）= 2 :'可數(shù)無窮:跟,K=1, 2,六. 結(jié)構(gòu)動力試驗基本要素：施加動荷載：激振，振動七. 動力修改 依據(jù)實測結(jié)果.修改結(jié)構(gòu)參數(shù).以獲得理想的動力響應(yīng)結(jié)果。八結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題結(jié)構(gòu)參數(shù)識別.損傷識別通過動力試驗獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)，由結(jié)構(gòu)響應(yīng)反推結(jié)構(gòu)的動力特性。日常應(yīng)用實例：選西瓜，選碗（損傷診斷）1.4學(xué)習(xí)注意點：只有先深刻理解結(jié)構(gòu)

5、的動力學(xué)基本概念，才可能從事反問題研究。 正問題研究的是解析模型，它與實際結(jié)構(gòu)總有區(qū)別 注重動手能力，包括建模，分析，以及動力試驗的反分析（識別）補充內(nèi)容：A.結(jié)構(gòu)振動的運動學(xué)。運動學(xué)：只研究運動形態(tài)，不涉及運動的原因。振動：土木工程結(jié)構(gòu)總通過基礎(chǔ)與大地牢固相連，它不可能在動力荷載下發(fā)散宏觀的剛體運動，只能產(chǎn)生圍繞平衡位置的往復(fù)運動，稱為振動。A.1簡諧振動一. 最簡單的振動形式u（t）=Acos（，t -:）A:振幅.:圓頻率:初相位1頻率：f =一 （1/ 秒）=2兀f有此文獻選用正弦函數(shù)u = A sin（，t -）兩種記法僅是初位相不同.' 'u = A sin（ ，t

6、 - : ） = Acos（ ，t ：）2故 ='2二. 簡諧運動的速度與加速度仍是簡諧函數(shù)u - -A，sin（，t - ） = A cos（ .t 亠，/ 2 -:） 2 皿2u - -A，cos（t - ） = A、cos（ ，t 二-:）TT 即速度振幅是位移振幅的倍，相位超前一2加速度振幅是位移振幅的J倍，相位超前二三. 復(fù)數(shù)表示法 注意e* = cos x i si n x默認(rèn)u的實數(shù)表示為簡諧振動 注意 i =e有 u=A ，e-2 “阿伸u=A - eA 2.諧波分析三角級數(shù)理論：0到2二的周期函數(shù)cdf(x)=x A k cos( kx ：k)2k 土oO0 A k

7、(cos kx sin -：k ' sin kx cos ：k)2k zioOcos kxbk sin kx0. vk2k =±（式中a0.ak.bk的計算式見高數(shù)）如果一個振動是周期的，周期為T ,那么可分解為：a。00f （ t） = 一 ' ak cos k x - bk sin k -t2 k _1上式右端a k cos k “x,稱為k階諧波習(xí)題：1.找岀兩個日常生活中應(yīng)用結(jié)構(gòu)動力學(xué)的例子2. 復(fù)習(xí)高數(shù)中三角分解公式，令x =t.變換式（3）中的系數(shù)計算方式3. 鋸齒波可表示為f （ t） =kt - T空t乞丄2 2作為諧波分解，求岀各系數(shù)，畫岀A k -

8、ak2 bk24如圖設(shè)質(zhì)點A沿圓周作勻速圓周運動，速度大小為V，方向恒與半徑r垂直.試證A點在x軸的投影是簡諧振動。A.3.狀態(tài)向量.靜力學(xué)問題的變形又由各質(zhì)點的位移來確定。換句話說，僅由質(zhì)點位移不 不可能存在兩個不同的運動動力學(xué)的運動狀態(tài)必須由質(zhì)點位移與速度兩者共同確定。 能確定運動狀態(tài)，但位移與速度兩者可以完全確定運動狀態(tài)。 狀態(tài)。它們具有相同的位移和速度。位移與速度（u,u ）合起來稱為物體運動的狀態(tài)向量。例：簡諧振動u = A tuA = uB =0 A.B是兩個運動狀態(tài)u A = u B個周期但A.C是兩個相同的運動狀態(tài)，僅相隔A ,B ,C 的情況類似狀態(tài)空間：由各質(zhì)點的狀態(tài)向量組

9、成的空間。狀態(tài)方程：物體的運動方程也可寫成以狀態(tài)變量為未知數(shù)的狀態(tài)方程。 第二章.SDOF系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 單自由度系統(tǒng)（SDOF）的運動方程S:single運動方程也即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。多自由度系統(tǒng)還可通過急于跳躍到多自由度。）單自由度系統(tǒng)雖然簡單，但是包含了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的全部思想和方法。振型迭加法轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)，因此學(xué)習(xí)它非常重要。（錯誤想法：結(jié)構(gòu)振動復(fù)雜，單自由度系統(tǒng)不存在因而忽視單自由度, 2.1質(zhì)量.剛度阻尼的理想元件實際的結(jié)構(gòu)往往是質(zhì)量剛度.阻尼結(jié)合在一起為了建立集總參數(shù)模型，可以假想集總參數(shù)的理想元件。集中質(zhì)量：認(rèn)為質(zhì)量集中在一個點上確定慣性力與加速度的關(guān)系F=-ma理想彈簧：只有

10、剛度，沒有質(zhì)量，確定力與位移的關(guān)系。r |'i, /兩大類：力與位移正比 Fe=-kx,實際結(jié)構(gòu)一. 符號扭矩與轉(zhuǎn)角成正比Te = -k日實際構(gòu)造2.2集總參數(shù)模型有些實際結(jié)構(gòu)物的振動可以直接簡化為集總參數(shù)模型 例如摩托車前輪的振動單層平頂廠房的振動（樓面的質(zhì)量大于柱的質(zhì)量）7777/<'應(yīng)用理想元件，經(jīng)合理簡化，由實際結(jié)構(gòu)得到了相應(yīng)的便于分析的解 析模型。且是一個自由度的集總參數(shù)模型。2.3集總參數(shù)模型的運動方程.應(yīng)用牛頓二定律，達朗貝爾原理P t 亠 M g - ku - cu=M u或 P t Mg - ku - cu - M u=0 達朗貝爾將-M u稱為慣性力寫

11、成動平衡方程令u=us ur UsMg是靜平衡位移k由于Us是常數(shù)，從而U = ur u = u r上式變?yōu)?P tM g - ku s - ku r - cu r =M u r整理得：M u r cu r ku r = P t .2.4位移原理，廣義位移與廣義力先看下面的例子"A是均質(zhì)剛體桿，總質(zhì)量為 m雖然桿上的各點的位移不同，但是仍可歸結(jié)為SDOF問題直接應(yīng)用牛頓二定律較困難，用虛位移法原理則較為方便。虛位移法要點：1. 選好獨立自由度本題可選KUa.Ub中任一個。2. 假定有位移二3. 再做虛位移:二4. 計算虛功二力.虛位移動力問題虛位移原理：:W實際力 J.W慣性力=0設(shè)

12、剛桿逆時針轉(zhuǎn)一極小的角度二，則可認(rèn)為u(x,t)=x二轉(zhuǎn)變?yōu)閱蝹€自由度二再由一虛位移：、.u(x,t)彈簧虛功： 2、W = -ka v(a、二)=-ka 二 v阻尼虛功：、：W2 = cL:(L、；)=-cL2 二rL、W3 二 p(x,t)x、；dx外力虛功；0L2-X'.rdx -P0(t)、v0L32.5.虛位移的原理的應(yīng)用一假定振型法先看 電視塔或水塔的例子塔的橫向振動u （x, t）這時塔不可能再看做剛性的具有與剛度El （x）.振動為塔的彎曲振動，質(zhì)量也必須視為沿塔的分布質(zhì)量 m（x）,平臺可視為集中質(zhì)量 M,結(jié)構(gòu)的內(nèi) 阻尼邊可假定為 C（ x）橫向激振力設(shè)為 P（ x）

13、.本質(zhì)上，這是一個無限多個自由度的振動問題，通過假定振型，可化為單自由度問題一 假定振型法的一般步驟與公式（彎曲振動為例）1. 設(shè)振動為變量分離形式。u(x,t)二(x)v(t)其中（X）是一個結(jié)構(gòu)容許位移具體形式可由經(jīng)驗選定所有容許位移。即使任意一個滿 足邊界條件的連續(xù)函數(shù)本例要求：(0) h汽0) =0那么=x2 二 x2L x23x= xsi n-（.都可選為容許位移.Lv（t）表明塔上各點有共同的隨時時間變化的規(guī)律因此稱為廣義位移:（x）則刻劃了塔振動的形式.因此稱為振型函數(shù)2. 將真實力分為保守力與非保守力.保守力：彈性變形的力.重力等.特點：沿閉合路徑一周作功為零 非保守力：摩擦力

14、.阻尼力計算各種力的虛功.W保 、W慣:W :W 03保守力的虛功為應(yīng)變能（虛功）變分的負(fù)值塔彎曲應(yīng)變能:于是1 LV彎曲二Elu 2dx2oL、.V E I u u d x-04便分運算公式（x）為已知函數(shù)，其變分為零）變分：本質(zhì)上是指未知函數(shù)的微小變化。微分：變量的微小變化。兩者運算法則相同。u(x,t)=屮(x)v(t)u = Vu (x,t) (x)v(t)、.u = ,.v、.u -.v、u (x,t) =(x)v(t)宀(x)、.v(t)5計算各項虛功L 、.W慣性力=mu、udx -Mu、.兒J 0L=-m ( x) v ( x). v d* M ( )L- v( .)Lv-L“

15、=一 |J°m 屮 2(x)dx +M屮 2(L) 'viv-m v. v （ m為廣義質(zhì)量）L、W阻尼-c(x)u、udxL-c( x) (x ) v (X、.)v d x-0(x )v-c * v. v（ c*為廣義粘滯阻尼因數(shù)）L、.w外力二 P(x)、.udx*0P(x)'(x) dx、v=P 、. vL、.V = i EIu 、.u dxJo2 x dx)v、=K v、. v6代入虛功方程，消去 j.v，即得運動方程:；fW非保守、.v、.W慣性力=0*0*itf a-C v v P、.v-K、.v-vm v3v至此，化為了廣義位移v的單自由度方程。作為練習(xí)

16、:32x 2x2x3L設(shè)匚二嚴(yán)，'-：2*量綱與單位問題:4x(4r2x m( x) = m( 1-yLc( x) = 0 ,P (x=)E 1(E計算m , C , K，比較兩種振型二、軸向振動問題 僅應(yīng)變能計算不同、.v設(shè)u i(x)v(t)后，為方便與一般單自由度概念一致，可取- (x)為無量綱函數(shù)，這樣 u與v永遠保持單位一致。U2 下 K / M的值。LEAu、. u dxLEA'-： 2dx)dx三壓彎復(fù)合運動只計了質(zhì)量慣性力，現(xiàn)忽略塔身重量上例電視塔問題處理時忽略了塔的重量產(chǎn)生的壓力，影響，考慮平臺重量 Mg產(chǎn)生的壓力P的作用。(P=Mg) 塔彎曲時，塔在豎直線上

17、的投影會縮短，于是Mg做功。微段縮短量：d. = ds dx=dx J1 +u "2 一 dx E (1 + 丄 u "2) dx 一 dx21 .2=u dx2全塔縮短量:L(ds - dx)d 0dxP=Mg作虛功:L= .0u lu dxWMg 二 Mg、L=Mg u u dx$0L=(M g j ： 2dx)v、. v=K gv、.v*講課時，應(yīng)突出壓力做功，不要突出重力。因為一般而言，重力是保守力。 此處本壓為壓彎效應(yīng)，只是壓力平臺重 量產(chǎn)生。Kg稱為幾何剛度。在原公式中加上一項后，K *變?yōu)镵 =Ke -Kg*L其中： kE ei ' 0L 2J =Mg

18、 i dx° 0*從另一方面講，本例的重量不可忽略,是因為重量與平衡位置的關(guān)系是相互垂 直的關(guān)系，與豎直懸掛物體的振動不同。Mg得幾何剛度系數(shù)一般地，可用一軸向力N代替上例中的Kg = N屮以 d xJ0于是壓彎復(fù)合振動方程為m v +cv +( KE -K G )v = P (t)討論：若P、v不隨時間變化,上式變?yōu)関 -一: :，即靜力失穩(wěn)。Ke -Kg利用Ke、Kg的假定振型計算公式，可以很快得到臨界失穩(wěn)荷載，精確度與所選用'(x)函數(shù)有關(guān)。四假定振型法的一般公式承受軸向與彎曲荷載作用的一維結(jié)構(gòu)(桿)的運動方程都可以用假定振型法化為mS+ ch( K_ gK v ( P

19、) t(計算時Kg以壓力為正)其中m、c、K、Kg、P的計算式可見教材 P31 (2.252.29)，但我們不推薦死記公式的 方法。運動方程即是包含慣性力的力平衡方程，因此按照達朗貝爾原理，運動方程的每一項 都是力的量綱，具有力的物理意義。習(xí)題：P342.13 和 2.14，2.17，2.18 (選作)第三章 SDOF自由振動3.1. SDO F運動方程的一般形式mu 亠 cu 亠 Ku =P(t)或 mu 亠 cu 亠 K u = P (t)(每一項具有相同的量綱，量綱為力或廣義力) 為便于分析，用 m除上式得"少(1)m令W：w0為無阻尼固有頻率Ccrccr為臨界阻尼尸 c=-c

20、cr為阻尼比Ccpermccr md 21w 0m K于是，最終化為u 2 w0u 亠w20u2w 0 -0-p(t)KP(t)=0時，振動由初始條件產(chǎn)生，稱為自由振動。3.2無阻尼自由振動即.=0, P(t) =0式(2)化為 u ' w20 u = 0可以直接驗證u = Acoswo t A s i nw是方程的解。A由初始條件t =0: u =u0,u = u0 得至UuoA, = u。 A?=Wo從而 u=L0 c osw0 t 巴s i nw tWoA 二 u2ou()WosinU / WoUoWocos ;：u =Acos(wot =Acoswo(t9-)Wo可以看出，SD

21、O F無阻尼自由振動就是簡諧運動，它是一種等幅振動，從理論上講會永不停止。3.3粘滯阻尼SDO F自由振動基本方程- - 22w°u Wo u 二 0設(shè)解為st二 ce- 2亠 2 wos 亠 w0= 0特征方程（一）、弱阻尼:'<1 從而 2 -：Q=is,- - Wo iW). 1 - 2-2 w0 二，.(2 w0)4w0=：. wo 二 Wo ;2 1分三種情況:Wd =Wo有阻尼自由振動頻率(1)解:u =ciewo'iwd)t，c2ew0jwd)tWd tiw dt=e (Ge diw dtC2e d )Ci2 2iC A1 匕 2Cy 22 2i4

22、w0t（為畀已一亠滄旳IL 2 2i2 2i:w°t=e(A cos wdtA2 si n wdt)ix_ixixJx(應(yīng)用歐拉公式：cos x = eesin x = ee )2i可以由 Cwdt C2e 6l= A1 cos wdt - A2 sin wdt 反推 CC 2 與 A- A2 的關(guān)系。二 Ae _ w°t cos( wdt _ )A A 亠 A2?=arctan A2Ai再由初始條件定 Ai, A2或A,。例：利用 u(0), u(0)確定：A = u (0), A2 J® U(0) w0Wd這表明振幅會越來越小，稱為衰減振動。在u t圖上，Ae

23、0t構(gòu)成包絡(luò)線，時程曲線夾在兩個包絡(luò)線之間。頻率wd =w01 -比w0略小，但因0.1% ： 5% （般結(jié)構(gòu)阻尼很小），故實際差另U很小，當(dāng)=5% 時，wd =w0'.1 0.050.998 w0。、臨界阻尼-=1這時.210，于是 S = - W0。u =（6 C2t）e-w0t是一條逐漸趨于零的曲線，結(jié)構(gòu)根本不發(fā)生振動。二=1，即c =ccr =2 一下m，這是一個很大的值，一般條件下不發(fā)生。只有人為地加入阻 尼條件才能達到。應(yīng)用：飛機的翻滾，必須使 接近于1,才能迅速停在所需的狀態(tài)下。回頭看：Ccr =2jkm，臨界阻尼作為SDOF是否振動的分界線， 其本身也是固有的，是由k，

24、m決定的，即 k，m 一定，ccr =2不懇也一定。三、過阻尼 '.1這時，s = - H _、.-1 w0，結(jié)構(gòu)也不發(fā)生振動。3.4自由振動試驗測 SDOF的頻率和阻尼（小阻尼）1通過給定初始位移或初始速度可以使SDOF產(chǎn)生自由振動。2. 記錄下振動的全過程，即 ut曲線。3. 利用峰峰值之間的時間間隔，可以定wo或Wd。Tn2兀2兀設(shè)n個峰值之間的時間為 ，則T-,W0,WdTn J.TTd4. 對數(shù)衰減率= In也=ln“一吋心一咖Td）Aq2 二.w0=2 -=lnWdWd2 二因1在 ： 0.05時，約等于1。故有 二=2 7：即對數(shù)衰減率是阻尼比 的2二倍。實用時，為了提高

25、精度，當(dāng)取n個間隔Td計算對數(shù)率。3As教材另有：0 11（1）半幅值法：3 . C - 0.2）N（2）庫侖阻尼：可作為博士生內(nèi)容習(xí)題：P5138 （小型橋梁檢測可用）SDOF簡諧激勵響應(yīng)第四章4.1無阻尼SDOF簡諧激勵響應(yīng)一、簡諧激勵力P0 cos : HP0 :幅值，常數(shù)。'-1 :激勵頻率，與系統(tǒng)的自振頻率w無關(guān)。二、運動方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（穩(wěn)態(tài)解）mu， k u= 0 P o s】t設(shè)解為u = U c o S | t代入后得-m2 U K U = P（消去cos沖）*數(shù)學(xué)知識：微分方程的解全解=齊次解+特解P。2k - m1三、穩(wěn)態(tài)解的討論_ P0 / K- rF-1 -K

26、/ mP° / KW0 2P 2也可用：u +w0 u =°w0 cosOtK代入 u = U cos ： j t22P0 2-Q U + w0 u =0 w0K從而 UP°/K'J21 一 2w0令：u o =Po / K ,即P0作用下的靜位移。，即激勵頻率與固有頻率之比，簡稱頻比。Wo得:U。=H"o式中H），稱為頻響函數(shù)。（r實質(zhì)上是門的函數(shù)）121 -r貝y稱為為、穩(wěn)態(tài)放大因子，它表示動位移的幅值是靜位移的多少倍。1 rUou空 2COSyCOS (r =1)K m1 r最后將解改寫為討論:(2) r . 1，即 I 】w 0,1U不會

27、趨于無窮，也可能因幅值增大,（3） r =1,U,稱為共振。注意：無阻尼是一種穩(wěn)態(tài)假定，實際上因阻尼存在,四、運動方程的全解Uo由于系統(tǒng)還會發(fā)生自由振動，因此總的解為自由振動解與穩(wěn)態(tài)振動解之和。cosiitA1 cosw0tA2 sin w0t由 Ut=0=u 與 u"t=0 = u 確定系數(shù) A1> A2。1例、設(shè) r,即 w =2"'。24由 u = 0得：0= U 0 亠 A134Ai=- U 03u = 0得:A2= 044于是 u= U 0 cos I】t U 0 cos 2】t33=-U0 COS i.】t - cos 21 】t0 COS ICO

28、S ，0t是強迫振動與自由振動的疊加作業(yè)：1求u的零點位置（即時刻）。（令u=0，求解）2求u的最大值與時刻。（令u =0，求解）3. 用MATLAB繪出激勵力、穩(wěn)態(tài)的、自由振動的和全解的曲線。注意觀察“拍”的現(xiàn)象。4.2粘滯阻尼SDOF簡諧激勵一、穩(wěn)態(tài)解方法1.u 2 0U 亠心0u = P0 cos I 】tm設(shè) u =U cos（ -） =U 3. 設(shè)門：W°，繪出各矢量圖。（順序：激T彈T阻T慣）激余彈Q t L4. 由表與上圖可得cos亠U P / 2 2 （w 'kw2 -1'12sin帶入后分別令 cos 0t項與si n 0t項的系數(shù)為零求解U1、U2

29、,再化為u與a 方法2.1. 將u =U cos（ ；t -）帶入基本方程222 Pml i U cos（ I 】t 一 ：:）一2 】U sin（ I 】t 一 U cos（ I 】t 一 '） =° cos I 】tk2. 上式每一項都是一個簡諧力（同頻率不同相位）阻矢量位置圖Q t-20力平衡合成矢量圖）U - （2 w0）U一般而言，一個簡諧量可用旋轉(zhuǎn)矢量（幅值、相位角）在實軸上的投影表示.（基本原理：一個勻速旋轉(zhuǎn)的矢量在實軸上的投影是簡諧量）相位旋轉(zhuǎn)矢量幅值慣性力2mU''.4 -二（m1 2u cos（ i 】t - : 二）阻尼力2 '

30、w/ 1U小兀t -（2 ' wj. i U cos（ 1 】t）22彈力-02U'-.4 -激勵力2 P '0kWo疋：2Po2m2222w22= (wo ) U (2 Wo)U 2 Wo1'.1Wo2 -'-J2求得:P0k1=Us(1 r )(2 r)(1 r )(2 r)方法3.用復(fù)數(shù)表示法運動方程：P-2oiW tu 2 .°u o u 二一em激勵力：P°eiWt = Po cos i 】t iPo sin設(shè)解為 u =Ue 'G（U理解為復(fù)常數(shù)，可包含相位差）o2U 二 PoPo于是u 2(Wo)十2匚WoCi=

31、km，Pok上下同時除Wo2U =22,尸(1 r ) +2fr i(r丄)WoHL)=(1_r2) 2r為頻響函數(shù),仍是動力響應(yīng)與靜力位移的比值。幅值：D = H (門)=1(1 r2)(2 r)22、2©r相位角：tg 21 -r動力放大系數(shù) D（i I ），或幅頻曲線。-2 ' r 相頻曲線（按cos（l】t-G）定義：即tg（-）：1 - r2當(dāng)-Q時，化為上節(jié)結(jié)果。（無阻尼）作業(yè)：驗證三種方法得到同一結(jié)果瞬態(tài)解即振動剛開始的一段，可以按照無阻 尼處理，以簡化計算，見上節(jié)。1) .有阻尼時，自由振動很快衰減。一般穩(wěn)態(tài)解不需要討論兩解疊加的問題。一W-1 (t - to

32、 )。2) .響應(yīng)仍為簡諧運動，滯后相位角/，或者說滯后時間toT ,t-亍2兀3) .放大系數(shù)D可以大于1，也可能小于1。見圖.，即共振時,14) .共振時，r =1,D =,阻尼越小，放大系數(shù)越大，tg：.，故即二一2匚2力與位移有90 °相位差(共振標(biāo)志性特性)。D1、2 (放大系數(shù)一般在r ：: >2以前回到D=1)0.7時"放大j>1.5后，縮小 =0.7時，0 :： r :： 0.5區(qū)間是水平的，即放大系數(shù)不變作業(yè).用MATLAB繪出不同下的D】曲線?？裳芯康膯栴}，若r . . 1,且 ： 0.01 ,由隨機振動加自由振動的全解中是否有明顯的“拍”存

33、在，可否用自頻激勵發(fā)測低頻小阻尼系統(tǒng)的w0與0。即擴展教材例題4.2的范圍。43隔振原理本節(jié)利用復(fù)頻響應(yīng)計算方法來說明隔振原理最方便。一.兩類問題SDO F系統(tǒng)的振動力傳遞至基礎(chǔ)。（動力基礎(chǔ)隔振問題）例發(fā)電機引起的廠房振動（2D基礎(chǔ)本身運動引起 SDOF系統(tǒng)的響應(yīng)。（減少地震影響，減少車內(nèi)振動）二. 振動力的傳遞率 即第一類問題 傳至基礎(chǔ)的力f = ku cuu =U eu = K U e" n于是 f =(k+i0c)Ue燈工小P0P0 k而 U=H()= 宀k (1 r ) +2©r i于是注意f =(k ic) H (門)旦iC) H ()P0 kkCcr =2、km

34、 ,c 二Ccr2 . kmc = 2 w0m)cccr2 . km . m 2= 2k kkk w0f (1 2r i) H (門)巳傳遞率：不難看出r=r= .2 時,TR =1 2r i2.尸(1 r )2 r i一 2時，TR =1 2ri-1 2r i12 ri-12r i12.2 i1 + 2ri |-12r i=1-(1 8 2 + 2 i)4、21 8 2a+bi _a+bi1 +2迓匸1+ 2 匚 ric+dic+di,從而-1 +2匚 i-1十2i但按照復(fù)指數(shù)理論可以證明:令：a - bi =A ei ： c 亠 di = B e則a -bic diABA摸為A，即分子的摸

35、除以分母的摸。B傳遞率曲線:討論.2，放大 r , 2，減振5 0由于SDOF的強迫振動頻率 門的值是一定的，如發(fā)電機以 一赫茲的頻率旋轉(zhuǎn)，故增大rn意味著降低w0，常用方法：橡膠墊圈，彈簧 +橡膠墊，彈簧阻尼懸掛（洗衣機）。一般的，基礎(chǔ)隔振問題給土木工程師的動力設(shè)計任務(wù)是：激振頻率11是給定的（如發(fā)1二歸來繪曲線方便電機，勻速行駛的列車），設(shè)計者通過改變基礎(chǔ)動力參數(shù)（剛度，質(zhì)量） ，即變化w0達到隔 振目的。在激振頻率 門為常量，變化 w0以尋求減振效果時，用1r10.7071r ）：: :. 0rr即w0 ：:0.707門時有減振效果，因此減振設(shè)計的方向是降低基礎(chǔ)固有頻率到0.707門以下

36、，但不能無限降低還要綜合考慮結(jié)構(gòu)對基礎(chǔ)的其它要求，如動剛度要求（振動位移不能過大）。容易看出：彈性力：-k(u -z)阻尼力：-c(u - z)慣性力：-m u三. 基礎(chǔ)本身運動時，SDO F相對運動的方程基礎(chǔ)運動 z（t），質(zhì)點運動 u（t）于是 mu 亠c(u z)亠 k( u z) = P (t)質(zhì)點相對于基礎(chǔ)運動：v=u _ z, v = u _ z, u = v - z.（宜用V = u _ z,因w與;容 易混淆）上式化為mv亠cv亠kv = P - mz物理意義1. 相對運動v會引起結(jié)構(gòu)振動，比絕對運動u重要2. 計算基礎(chǔ)運動效應(yīng)只須看作基礎(chǔ)不動，物體相對基礎(chǔ)的運動方程中多了一個

37、慣性力的作用：-m，此即地震反應(yīng)計算原理。四、SDOF相對基礎(chǔ)運動時的頻響函數(shù)假設(shè)基礎(chǔ)運動為復(fù)簡諧形式：ze""（已知）i I timv cv kv = -mz = -mze先化為 v 2 oV v = -ze"'fl令 v得：（-1，- 21<02）Vei' = zeil12于是V=°=z (co。2 -C2 )+2®°0i(12r-r2 i 2 r二r2DW 一二是一個比值，以r=0為例,相對運動頻響函數(shù)r=0,vz=0 ；r =rJvT-1z如下圖示注意:=1洛必塔法則z,共振 _ =若o固定，則門=0；若

38、門固定，貝，0,即k五、絕對運動的頻響函數(shù)u =(v+z)e建令 u =Ue'G2r z(1 i 2 r)z(1 -r2) i 2 r從而U二 2(1 _r ) +i，2©rU 1 + i 2= r所以1 一形式與力的傳遞率完全相同2,嚴(yán)z (1 r ) i 2 r拾震器(動位移傳感器)結(jié)構(gòu)與加速度傳感器類似V=r2D，得V2=r Dzz2由而r D的曲線只有當(dāng)r八1時，Dr 1，這要求1'，與加速度計相反。要使銳盡可能下，則結(jié)構(gòu)很柔，拾震器是m大，k小，制作困難。三、應(yīng)用實例z（ t ）由車輪輸入。1.路面不平順引起的車輛振動可歸結(jié)為質(zhì)點與車輪間的相對運動問題，激勵3. 地震傳感器（加速度傳感器）（一）結(jié)構(gòu)電信號 v(t)=u(t)-z(t)常用加速度計，即輸出訊號應(yīng)與基礎(chǔ)加速度成正比（二）設(shè)計原理小二D-'0從而V121 2rD，（ 12表示加速度幅值）-'0D Z