蒙特卡洛方法與定積分計算

1、蒙特卡洛方法與定積分計算By 鄧一碩 2010/03/08關(guān)鍵詞：Monte-Carlo ,定積分，模擬，蒙特卡洛分類：統(tǒng)計計算作者信息：來自中央財經(jīng)大學；統(tǒng)計學專業(yè)。版權(quán)聲明：本文版權(quán)歸原作者所有，未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載。原文可能隨時需要修改 紕漏，全文復制轉(zhuǎn)載會帶來不必要的誤導， 若您想推薦給朋友閱讀，敬請以負責 的態(tài)度提供原文鏈接；點此查看如何在學術(shù)刊物中引用本文本文講述一下蒙特卡洛模擬方法與定積分計算，首先從一個題目開始：設(shè)'二二-，用蒙特卡洛模擬法求定積分.':11 的值。隨機投點法設(shè)服從正方形1 1 '上的均勻分布，則可知 一分別服從0,1上的均勻分布，且、相互獨

2、立。記事件門-r '二，貝的概率為尸二P(Y < JQO)=斥“何州止=J話眇二J即定積分：的值就是事件出出現(xiàn)的頻率。同時，由伯努利大數(shù)定律，我們可 以用重復試驗中心出現(xiàn)的頻率作為V的估計值。即將加看成是正方形!內(nèi)的隨機投點，用隨機點落在區(qū)域：一 1 中的頻率作為定積分的近似值。這種方法就叫隨機投點法，具體做法如下：圖1隨機投點法示意圖1、 首先產(chǎn)生服從."_上的均勻分布的 打個隨機數(shù)(2為隨機投點個數(shù)，可以 取很大，如-?-)并將其配對。2、 對這對數(shù)據(jù)_ U，記錄滿足不等式二二的個數(shù)，這就是事件 出發(fā)生的頻數(shù) ，由此可得事件以 發(fā)生的頻率；，貝U 一：。舉一實例，譬

3、如要計算-1 '' '模擬次數(shù)；二 時，R代碼如下：n=10A4;x=r unif(n);y=r unif(n);f=fun ctio n(x)exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi)mu_n=sum(yvf(x);J=mu_n/n;J模擬次數(shù)！ J.時，令！ J.,其余不變。定積分的精確值和模擬值如下:表1精確值一|1 210510e00.3413447 0.342 0.3440.341870.3415390.341302注：精確值用integrate(f,0,1)求得擴展如果你很細心，你會發(fā)現(xiàn)這個 方法目前只適用于積分區(qū)間 W，且積分函數(shù)一.在區(qū)間 上的取值也位

4、于內(nèi)的情況。那么，對于一般區(qū)間上的定積分也;貳 呢？ 一個很明顯的思路，如果我們可以將.與.建立 代數(shù)關(guān)系就可以了。首先，做線性變換，令 - 7 .- ':|，此時，r=(b-a)v+a 丁 =卩一切丿討咖+嗣。進一步如果在區(qū)間-上有：一)=一：，令則一,_。此時，可以得到'- 0其中.一., 1j '這說明，用隨機投點法計算定積分方法具有普遍意義舉一個實例，求定積分'一 顯然芷=2» = 5，二和買盤（工）|2蘭卞蘭5,d二枷壞竽仗）區(qū)§§5，由于.總i一于沁彗心l在.；上時單調(diào)減函數(shù)，所以一， . - ：-。R中代碼為a=2;b

5、=5;g=function(x)exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi);f=fun ctio n(y)(g(a+(b-a)*y)-c)/(d-c);c=g(5);d=g(2);s_0=(b-a)*(d-c);n=10八4;x=ru nif(n);y=ru nif(n);mu_n=sum(y<=f(x);J=mu_n/n;J_0=s_0*J+c*(b-a);定積分 川眛，；飛弋沁戈二的精確值和模擬值如下:表2真實值10410510e00.02274985 0.023327920.023117360.022626590.022841520.02278524注：精確值用integrate

6、（g,2,5）求得）平均值法蒙特卡洛模擬法計算定積分時還有另一種方法， 叫平均值法。這個原理也很簡單： 設(shè)隨機變量服從上的均勻分布，則的數(shù)學期望為所以估計：的值就是估計廠的數(shù)學期望值。由辛欽大數(shù)定律，可以用丿二: 的觀察值的均值取估計；，的數(shù)學期望。具體做法：先用計算機產(chǎn)生二個服從上均勻分布的隨機數(shù)：' 對每一個I，計算'.-1譬如，計算 工-1"心，R中的代碼為n=10A4;x=r unif(n);f=fun ctio n(x)exp(-xA2/2)/sqrt(2*pi)J=mea n(f(x);其精確值和模擬值如下:表3真實值103L0410510e00.34134470.34058310.34107390.34144430.3414066 0.3413366平均值法與隨機投點