2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(上海卷)理

1、上海數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)1.(2012上海,理1)計(jì)算:=(i為虛數(shù)單位). 1-2i=1-2i.2.(2012上海,理2)若集合a=x|2x+1>0,b=x|x-1|<2,則ab=. a=x|2x+1>0=,b=x|x-1|<2=x|-1<x<3,ab=.3.(2012上海,理3)函數(shù)f(x)=的值域是. f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-,sin 2x-1,1,f(x).4.(2012上海,理4)若n=(-2,1)是直線l的一個(gè)法向量,則l的傾斜角的大小為(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示). ar

2、ctan 2n=(-2,1)是直線l的一個(gè)法向量,v=(1,2)是直線l的一個(gè)方向向量,l的斜率為2,即傾斜角的大小為arctan 2.5.(2012上海,理5)在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)等于. -160的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為·(x)3·=-160.6.(2012上海,理6)有一列正方體,棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列,體積分別記為v1,v2,vn,則(v1+v2+vn)=. 棱長(zhǎng)是以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列,則體積v1,v2,vn是以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列,所以v1+v2+vn=·,(v1+v2+vn)=.7.(2012上海,理7

3、)已知函數(shù)f(x)=e|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間1,+)上是增函數(shù),則a的取值范圍是. (-,1f(x)=當(dāng)x>a時(shí)f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x<a時(shí),f(x)單調(diào)遞減,又f(x)在1,+)上是增函數(shù),所以a1.8.(2012上海,理8)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為2的半圓面,則該圓錐的體積為. 如圖,由題意知l2=2,l=2.又展開(kāi)圖為半圓,l=2r,r=1,故圓錐的高為,體積v=r2h=.9.(2012上海,理9)已知y=f(x)+x2是奇函數(shù),且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,則g(-1)=. -1令h(x)=f(x)+x2,則

4、h(1)+h(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,f(-1)=-3,g(-1)=f(-1)+2=-1.10.(2012上海,理10)如圖,在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)m(2,0)的直線l與極軸的夾角=.若將l的極坐標(biāo)方程寫(xiě)成=f()的形式,則f()=. 如圖所示,根據(jù)正弦定理,有=,=.11.(2012上海,理11)三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽.若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目,則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示). 若每人都選擇兩個(gè)項(xiàng)目,共有不同的選法=27種,而有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的選法有=18種,故填.12.(2012上海,理12)在平行四

5、邊形abcd中,a=,邊ab,ad的長(zhǎng)分別為2,1.若m,n分別是邊bc,cd上的點(diǎn),且滿足=,則·的取值范圍是. 2,5如圖,設(shè)=,則0,1,·=(+)·(+)=(+)·(+(-1)=·+(-1)·+·+(-1)·=1×2×+(-1)×(-4)+×1+(-1)×(-1)=1+4-4+-2+=-(+1)2+6.0,1,·2,5.13.(2012上海,理13)已知函數(shù)y=f(x)的圖像是折線段abc,其中a(0,0),b,c(1,0).函數(shù)y=xf

6、(x)(0x1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為. 由題意f(x)=則xf(x)=xf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx+(-10x2+10x)dx=x3+=×+-=.14.(2012上海,理14)如圖,ad與bc是四面體abcd中互相垂直的棱,bc=2.若ad=2c,且ab+bd=ac+cd=2a,其中a,c為常數(shù),則四面體abcd的體積的最大值是. 如圖:當(dāng)ab=bd=ac=cd=a時(shí),該棱錐的體積最大.作ambc,連接dm,則bc平面adm,am=,dm=.又ad=2c,sadm=c.vd-abc=vb-adm+vc-adm=.15.(2012上海,理1

7、5)若1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則().a.b=2,c=3b.b=-2,c=3c.b=-2,c=-1d.b=2,c=-1b由題意知b2-4c<0,則該方程的復(fù)數(shù)根為:,故=1+i.b=-2,c=3.16.(2012上海,理16)在abc中,若sin2a+sin2b<sin2c,則abc的形狀是().a.銳角三角形b.直角三角形c.鈍角三角形d.不能確定c由正弦定理可知a2+b2<c2,從而cos c=<0,c為鈍角,故該三角形為鈍角三角形.17.(2012上海,理17)設(shè)10x1<x2<x3<x4104,x5=105.隨

8、機(jī)變量1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機(jī)變量2取值,的概率也均為0.2.若記d1,d2分別為1,2的方差,則().a.d1>d2b.d1=d2c.d1<d2d.d1與d2的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)a18.(2012上海,理18)設(shè)an=sin,sn=a1+a2+an.在s1,s2,s100中,正數(shù)的個(gè)數(shù)是().a.25b.50c.75d.100dan=sin,當(dāng)n24時(shí),an均大于0,a25=0,可知s1,s2,s25均大于0.又a26=sin=-sin=-a1,s26=a1+a2+a25>0,而a27=sin=-sin=-a2,a27

9、+a2>0.同理可得a28+a3>0,a49+a24>0,而a51到a74均為正項(xiàng),a75=0,a76到a99均為負(fù)項(xiàng),且|a76|<a51,|a77|<a52,|a99|<a74,a100=0,故sn中前100項(xiàng)均為正數(shù).19.(2012上海,理19)如圖,在四棱錐p-abcd中,底面abcd是矩形,pa底面abcd,e是pc的中點(diǎn).已知ab=2,ad=2,pa=2.求:(1)三角形pcd的面積;(2)異面直線bc與ae所成的角的大小.解:(1)因?yàn)閜a底面abcd,所以pacd.又adcd,所以cd平面pad.從而cdpd.因?yàn)閜d=2,cd=2,所以三

10、角形pcd的面積為×2×2=2.(2)解法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則b(2,0,0),c(2,2,0),e(1,1).=(1,1),=(0,2,0).設(shè)與的夾角為,則cos =,=.由此知,異面直線bc與ae所成的角的大小是.解法二:取pb中點(diǎn)f,連接ef,af,則efbc,從而aef(或其補(bǔ)角)是異面直線bc與ae所成的角.在aef中,由ef=,af=,ae=2,知aef是等腰直角三角形.所以aef=.因此,異面直線bc與ae所成的角的大小是.20.(2012上海,理20)已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求

11、x的取值范圍;(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0x1時(shí),有g(shù)(x)=f(x),求函數(shù)y=g(x)(x1,2)的反函數(shù).解:(1)由得-1<x<1.由0<lg(2-2x)-lg(x+1)=lg<1,得1<<10.因?yàn)閤+1>0,所以x+1<2-2x<10x+10,-<x<.由得-<x<.(2)當(dāng)x1,2時(shí),2-x0,1,因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x).由單調(diào)性可得y0,lg 2.因?yàn)閤=3-10y,所以所求反函數(shù)是y=3-10x ,x0,lg 2.21.(2012上

12、海,理21)海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位:以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn),以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長(zhǎng)度),則救援船恰好在失事船正南方向12海里a處,如圖.現(xiàn)假設(shè):失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線y=x2;定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;救援船出發(fā)t小時(shí)后,失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t.(1)當(dāng)t=0.5時(shí),寫(xiě)出失事船所在位置p的縱坐標(biāo).若此時(shí)兩船恰好會(huì)合,求救援船速度的大小和方向;(2)問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船?解:(1)t=0.5時(shí),p的橫坐標(biāo)xp=7t=,代入拋物線方程y=x2,得p的縱坐標(biāo)yp=3.由|ap|=,得救援船速度的大小為海里/時(shí).

13、由tanoap=,得oap=arctan,故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度.(2)設(shè)救援船的時(shí)速為v海里,經(jīng)過(guò)t小時(shí)追上失事船,此時(shí)位置為(7t,12t2).由vt=,整理得v2=144+337.因?yàn)閠2+2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立.所以v2144×2+337=252,即v25.因此,救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船.22.(2012上海,理22)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知雙曲線c1:2x2-y2=1.(1)過(guò)c1的左頂點(diǎn)引c1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;(2)設(shè)斜率為1的直線l交c1于p,q兩點(diǎn).若l與圓x2+y2=

14、1相切,求證:opoq;(3)設(shè)橢圓c2:4x2+y2=1.若m,n分別是c1,c2上的動(dòng)點(diǎn),且omon,求證:o到直線mn的距離是定值.解:(1)雙曲線c1:-y2=1,左頂點(diǎn)a,漸近線方程:y=±x.過(guò)點(diǎn)a與漸近線y=x平行的直線方程為y=,即y=x+1.解方程組得所以所求三角形的面積為s=|oa|y|=.(2)設(shè)直線pq的方程是y=x+b.因直線pq與已知圓相切,故=1,即b2=2.由得x2-2bx-b2-1=0.設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),則又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2

15、)+2b2+b2=b2-2=0.故opoq.(3)當(dāng)直線on垂直于x軸時(shí),|on|=1,|om|=,則o到直線mn的距離為.當(dāng)直線on不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線on的方程為y=kx(顯然|k|>),則直線om的方程為y=-x.由得所以|on|2=.同理|om|2=.設(shè)o到直線mn的距離為d,因?yàn)?|om|2+|on|2)d2=|om|2|on|2,所以=+=3,即d=.綜上,o到直線mn的距離是定值.23.(2012上海,理23)對(duì)于數(shù)集x=-1,x1,x2,xn,其中0<x1<x2<<xn,n2,定義向量集y=a|a=(s,t),sx,tx.若對(duì)任意a1y,存在a2

16、y,使得a1·a2=0,則稱x具有性質(zhì)p.例如-1,1,2具有性質(zhì)p.(1)若x>2,且-1,1,2,x具有性質(zhì)p,求x的值;(2)若x具有性質(zhì)p,求證:1x,且當(dāng)xn>1時(shí),x1=1;(3)若x具有性質(zhì)p,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列x1,x2,xn的通項(xiàng)公式.解:(1)選取a1=(x,2),y中與a1垂直的元素必有形式(-1,b).所以x=2b,從而x=4.(2)證明:取a1=(x1,x1)y.設(shè)a2=(s,t)y滿足a1·a2=0.由(s+t)x1=0得s+t=0,所以s,t異號(hào).因?yàn)?1是x中唯一的負(fù)數(shù),所以s,t之中一為-1,另一為1,

17、故1x.假設(shè)xk=1,其中1<k<n,則0<x1<1<xn.選取a1=(x1,xn)y,并設(shè)a2=(s,t)y滿足a1·a2=0,即sx1+txn=0,則s,t異號(hào),從而s,t之中恰有一個(gè)為-1.若s=-1,則x1=txn>tx1,矛盾;若t=-1,則xn=sx1<sxn,矛盾.所以x1=1.(3)解法一:猜測(cè)xi=qi-1,i=1,2,n.記ak=-1,1,x2,xk,k=2,3,n.先證明:若ak+1具有性質(zhì)p,則ak也具有性質(zhì)p.任取a1=(s,t),s,tak,當(dāng)s,t中出現(xiàn)-1時(shí),顯然有a2滿足a1·a2=0;當(dāng)s-1且t

18、-1時(shí),則s,t1.因?yàn)閍k+1具有性質(zhì)p,所以有a2=(s1,t1),s1,t1ak+1,使得a1·a2=0,從而s1和t1中有一個(gè)是-1,不妨設(shè)s1=-1.假設(shè)t1ak+1且t1ak,則t1=xk+1.由(s,t)·(-1,xk+1)=0,得s=txk+1xk+1,與sak矛盾.所以t1ak,從而ak也具有性質(zhì)p.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:xi=qi-1,i=1,2,n.當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論顯然成立;假設(shè)n=k時(shí), ak=-1,1,x2,xk有性質(zhì)p,則xi=qi-1,i=1,2,k;當(dāng)n=k+1時(shí),若ak+1=-1,1,x2,xk,xk+1有性質(zhì)p,則ak=-1,1,x2,xk也有性質(zhì)p,所以ak+1=-1,1,q,qk-1,xk+1.取a1=(xk+1,q),并設(shè)a2=(s,t)滿足a1·a2=0.由此可得s=-1或t=-1.若t=-1,則xk+1=q,不可能;所以s=-1,xk+1=qtqk且x