2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(大綱全國卷)文

1、1 / 15 大綱全國文科大綱全國文科 1.(2012 大綱全國,文 1)已知集合 a=x|x 是平行四邊形,b=x|x 是矩形,c=x|x 是正方形,d=x|x是菱形,則( ). a.ab b.cb c.dc d.ad b 正方形組成的集合是矩形組成集合的子集, cb. 2.(2012 大綱全國,文 2)函數(shù) y=1x+(x-1)的反函數(shù)為( ). a.y=x2-1(x0) b.y=x2-1(x1) c.y=x2+1(x0) d.y=x2+1(x1) a y=1x+,y2=x+1,x=y2-1,x,y互換可得:y=x2-1. 又y=1x+中 x-1,y0. 反函數(shù)中 x0,故選 a. 3.(

2、2012 大綱全國,文 3)若函數(shù) f(x)=sin3x+(0,2)是偶函數(shù),則 =( ). a.2 b.23 c.32 d.53 c f(x)=sin3x+是偶函數(shù),f(0)=1. sin3=1. 3=k+2(kz). =3k+32(kz). 2 / 15 又0,2,當 k=0 時,=32.故選 c. 4.(2012 大綱全國,文 4)已知 為第二象限角,sin =35,則 sin 2=( ). a.-2425 b.-1225 c.1225 d.2425 a sin =35,且 為第二象限角, cos =-21sin=-45. sin 2=2sin cos =23545=-2425.故選 a

3、. 5.(2012 大綱全國,文 5)橢圓的中心在原點,焦距為 4,一條準線為 x=-4,則該橢圓的方程為( ). a.2x16+2y12=1 b.2x12+2y8=1 c.2x8+2y4=1 d.2x12+2y4=1 c 焦距為 4,即 2c=4,c=2. 又準線 x=-4,-2ac=-4. a2=8.b2=a2-c2=8-4=4. 橢圓的方程為:2x8+2y4=1.故選 c. 6.(2012 大綱全國,文 6)已知數(shù)列an的前 n 項和為 sn,a1=1,sn=2an+1,則 sn=( ). a.2n-1 b.n 132 c.n 123 d.n 112 b sn=2an+1,sn-1=2a

4、n(n2), 兩式相減得:an=2an+1-2an, 3 / 15 n 1naa+=32. 數(shù)列an從第 2項起為等比數(shù)列.又 n=1 時,s1=2a2,a2=12. sn=a1+n 113122312=1-n 1312=n 132. 7.(2012 大綱全國,文 7)6位選手依次演講,其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講,則不同的演講次序共有( ). a.240 種 b.360 種 c.480 種 d.720種 c 由題意可采用分步乘法計數(shù)原理,甲的排法種數(shù)為14a,剩余 5 人進行全排列:55a,總的情況有:14a55a=480 種.故選 c. 8.(2012 大綱全國,文 8)已知正四

5、棱柱 abcd-a1b1c1d1中,ab=2,cc1=22,e為 cc1的中點,則直線ac1與平面 bed 的距離為( ). a.2 b.3 c.2 d.1 d 連結(jié) ac交 bd 于點 o,連結(jié) oe. ab=2,ac=22. 又 cc1=22,則 ac=cc1. 作 chac1于點 h,交 oe于點 m. 由 oe為acc1的中位線知,cmoe,m為 ch的中點. 由 bdac,ecbd 知,bd面 eoc, 4 / 15 cmbd. cm面 bde. hm 為直線 ac1到平面 bde的距離. 又acc1為等腰直角三角形,ch=2.hm=1. 9.(2012 大綱全國,文 9)abc 中

6、,ab 邊的高為 cd,若cb=a,ca=b,a b=0,|a|=1,|b|=2,則ad=( ). a.13a-13b b.23a-23b c.35a-35b d.45a-45b d a b=0,ab. 又|a|=1,|b|=2, |ab|=5, |cd|=1 25=2 55. |ad|=222 525=4 55. ad=4 55ab5=4ab5=45(a-b)=45a-45b. 10.(2012 大綱全國,文 10)已知 f1,f2為雙曲線 c:x2-y2=2 的左、右焦點,點 p在 c上,|pf1|=2|pf2|,則 cosf1pf2=( ). a.14 b.35 c.34 d.45 c

7、設(shè)|pf2|=m,則|pf1|=2m, 5 / 15 由雙曲線定義:|pf1|-|pf2|=2a,得 2m-m=22, m=22. 又 2c=222ab+=2 2=4, 由余弦定理可得:cosf1pf2=2221212|pf |pf |4c2|pf|pf |+=34. 11.(2012 大綱全國,文 11)已知 x=ln ,y=log52,z=12e,則( ). a.xyz b.zxy c.zyx d.yz1,y=log5214=12,且12ee0=1, yzx. 12.(2012 大綱全國,文 12)正方形 abcd的邊長為 1,點 e在邊 ab上,點 f在邊 bc上,ae=bf=13.動點

8、p 從 e出發(fā)沿直線向 f運動,每當碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角.當點 p第一次碰到 e 時,p與正方形的邊碰撞的次數(shù)為( ). a.8 b.6 c.4 d.3 b 如圖,由題意:tanbef=12, 2kx1=12,x2為 hd 中點, 6 / 15 23x dx d=12,x3d=13, 43x cx c=12,x4c=13, 54x hx h=12,x5h=12, 56x ax a=12,x6a=13,x6與 e 重合,故選 b. 13.(2012 大綱全國,文 13)81x2x+的展開式中 x2的系數(shù)為 . 7 81x2x+展開式的通項為 tr+1=r8cx8-rr12

9、x=r8c2-rx8-2r, 當 8-2r=2時,r=3. x2的系數(shù)為38c2-3=7. 14.(2012 大綱全國,文 14)若 x,y 滿足約束條件xy 10,xy30,x3y30,+ +則 z=3x-y 的最小值為 . -1 由題意畫出可行域,由 z=3x-y 得 y=3x-z,要使 z 取最小值,只需截距最大即可,故直線過 a(0,1)時,z最小. zmin=3 0-1=-1. 15.(2012 大綱全國,文 15)當函數(shù) y=sin x-3cos x(0 x2)取得最大值時,x= . 56 y=sin x-3cos x=213xx22sincos=2sinx3. 7 / 15 當

10、y取最大值時,x-3=2k+2, x=2k+56. 又0 x1時有 an=sn-sn-1=n23+an-n13+an-1, 整理得 an=n1n1+an-1. 于是 a1=1, a2=31a1, a3=42a2, an-1=nn2an-2, an=n1n1+an-1. 將以上 n個等式兩端分別相乘,整理得 an=n(n1)2+. 9 / 15 綜上,an的通項公式 an=n(n1)2+. 19.(2012 大綱全國,文 19)如圖,四棱錐 p-abcd中,底面 abcd 為菱形,pa底面abcd,ac=22,pa=2,e 是 pc上的一點,pe=2ec. (1)證明:pc平面 bed; (2)

11、設(shè)二面角 a-pb-c 為 90,求 pd 與平面 pbc所成角的大小. 解法一:(1)證明:因為底面 abcd為菱形,所以 bdac. 又 pa底面 abcd, 所以 pcbd. 設(shè) acbd=f,連結(jié) ef. 因為 ac=22,pa=2,pe=2ec, 故 pc=23,ec=2 33,fc=2, 從而pcfc=6,acec=6, 因為pcfc=acec,fce=pca, 所以fcepca,fec=pac=90, 10 / 15 由此知 pcef. pc與平面 bed 內(nèi)兩條相交直線 bd,ef 都垂直, 所以 pc平面 bed. (2)在平面 pab 內(nèi)過點 a作 agpb,g為垂足. 因

12、為二面角 a-pb-c為 90,所以平面 pab平面 pbc. 又平面 pab平面 pbc=pb,故 ag平面 pbc,agbc. bc 與平面 pab內(nèi)兩條相交直線 pa,ag 都垂直, 故 bc平面 pab,于是 bcab, 所以底面 abcd為正方形,ad=2,pd=22paad+=22. 設(shè) d 到平面 pbc的距離為 d. 因為 adbc,且 ad平面 pbc,bc平面 pbc,故 ad平面 pbc,a,d 兩點到平面 pbc 的距離相等,即 d=ag=2. 設(shè) pd與平面 pbc 所成的角為 ,則 sin =dpd=12. 所以 pd與平面 pbc所成的角為 30. 解法二:(1)

13、證明:以 a為坐標原點,射線 ac 為 x 軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系 a-xyz. 設(shè) c(22,0,0),d(2,b,0),其中 b0, 則 p(0,0,2),e4 22,0,33,b(2,-b,0). 于是pc=(22,0,-2),be=22,b,33,de=22,-b,33, 11 / 15 從而pcbe=0,pcde=0, 故 pcbe,pcde. 又 bede=e,所以 pc平面 bde. (2)ap=(0,0,2),ab=(2,-b,0). 設(shè) m=(x,y,z)為平面 pab 的法向量, 則 map=0,mab=0, 即 2z=0且2x-by=0, 令 x=b,則

14、 m=(b,2,0). 設(shè) n=(p,q,r)為平面 pbc 的法向量, 則 npc=0,nbe=0, 即 22p-2r=0且2p3+bq+23r=0, 令 p=1,則 r=2,q=-2b,n=21,-, 2b. 因為面 pab面 pbc,故 m n=0,即 b-2b=0,故 b=2, 于是 n=(1,-1,2),dp=(-2,-2,2), cos=n?|n|dp|dp=12,=60. 因為 pd與平面 pbc所成角和互余,故 pd 與平面 pbc 所成的角為 30. 20.(2012 大綱全國,文 20)乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在 10平前,一方連續(xù)發(fā)球 2次后,對方再連續(xù)發(fā)球

15、 2次,依次輪換,每次發(fā)球,勝方得 1 分,負方得 0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得 1分的概率為 0.6,各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球. (1)求開始第 4 次發(fā)球時,甲、乙的比分為 1 比 2的概率; (2)求開始第 5 次發(fā)球時,甲得分領(lǐng)先的概率. 12 / 15 解:記 ai表示事件:第 1 次和第 2 次這兩次發(fā)球,甲共得 i分,i=0,1,2; bi表示事件:第 3 次和第 4次這兩次發(fā)球,甲共得 i 分,i=0,1,2; a表示事件:第 3次發(fā)球,甲得 1分; b表示事件:開始第 4次發(fā)球時,甲、乙的比分為 1比 2; c表示事件:開始第

16、5次發(fā)球時,甲得分領(lǐng)先. (1)b=a0 a+a1a, p(a)=0.4,p(a0)=0.42=0.16,p(a1)=2 0.6 0.4=0.48, p(b)=p(a0 a+a1a) =p(a0 a)+p(a1a) =p(a0)p(a)+p(a1)p(a) =0.16 0.4+0.48 (1-0.4)=0.352. (2)p(b0)=0.62=0.36,p(b1)=2 0.4 0.6=0.48,p(b2)=0.42=0.16, p(a2)=0.62=0.36. c=a1 b2+a2 b1+a2 b2 p(c)=p(a1 b2+a2 b1+a2 b2) =p(a1 b2)+p(a2 b1)+p(

17、a2 b2) =p(a1)p(b2)+p(a2)p(b1)+p(a2)p(b2) =0.48 0.16+0.36 0.48+0.36 0.16=0.307 2. 21.(2012 大綱全國,文 21)已知函數(shù) f(x)=13x3+x2+ax. (1)討論 f(x)的單調(diào)性; (2)設(shè) f(x)有兩個極值點 x1,x2,若過兩點(x1,f(x1),(x2,f(x2)的直線 l與 x 軸的交點在曲線 y=f(x)上,求 a的值. 解:(1)f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1. 13 / 15 當 a1 時,f(x)0,且僅當 a=1,x=-1時,f(x)=0,所以 f(x)是 r上的增

18、函數(shù); 當 a0,f(x)是增函數(shù); 當 x(-1-1 a,-1+1 a)時,f(x)0,f(x)是增函數(shù). (2)由題設(shè)知,x1,x2為方程 f(x)=0的兩個根, 故有 a0)有一個公共點 a,且在a處兩曲線的切線為同一直線 l. (1)求 r; (2)設(shè) m,n是異于 l且與 c及 m都相切的兩條直線,m,n 的交點為 d,求 d到 l的距離. 解:(1)設(shè) a(x0,(x0+1)2).對 y=(x+1)2求導(dǎo)得 y=2(x+1), 故 l的斜率 k=2(x0+1). 當 x0=1時,不合題意,所以 x01. 圓心為 m11,2,ma的斜率 k=2001(x1)2x1+. 由 lma知 k k=-1, 即 2(x0+1)2001(x1)2x1+=-1, 解得 x0=0,故 a(0,1), r=|ma|=221(1 0)12+=52,即 r=52. (2)設(shè)(t,(t+1)2)為 c 上一點,則在該點處的切線方程為 y-(t+1)2=2(t+1)(x-t), 即 y=2(t+1)x-