2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷)文 (2)

1、1 / 9 天津文科天津文科 1.(2012 天津,文 1)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)53i4i+=( ). a.1-i b.-1+i c.1+i d.-1-i c 53i4i+=(53i)(4i)(4i)(4i)+=22205i 12i3i16i+=17 17i17+=1+i. 2.(2012 天津,文 2)設(shè)變量 x,y 滿(mǎn)足約束條件220,240,10,xyxyx+ 則目標(biāo)函數(shù) z=3x-2y的最小值為( ). a.-5 b.-4 c.-2 d.3 b 由約束條件可得可行域: 對(duì)于目標(biāo)函數(shù) z=3x-2y, 可化為 y=32x-12z, 要使 z取最小值,可知過(guò) a點(diǎn)時(shí)取得. 由220,240

2、xyxy+=+=得0,2,xy=即 a(0,2), z=3 0-2 2=-4. 3.(2012 天津,文 3)閱讀右邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出 s 的值為( ). a.8 b.18 c.26 d.80 c n=1,s=0+31-30=2,n=2; n=24,s=2+32-31=8,n=3; n=34,s=8+33-32=26,n=4; 44,輸出 s=26. 2 / 9 4.(2012 天津,文 4)已知 a=21.2,b=0.812,c=2log52,則 a,b,c 的大小關(guān)系為( ). a.cba b.cab c.bac d.bc20.81, ab1,c=2log52=log54

3、1. cb12”是“2x2+x-10”的( ). a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 a 由 2x2+x-10,可得 x12, “x12”是“2x2+x-10”的充分而不必要條件. 6.(2012 天津,文 6)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為( ). a.y=cos 2x,xr b.y=log2|x|,xr 且 x0 c.y=xx2ee,xr d.y=x3+1,xr b 對(duì)于 a,y=cos 2x是偶函數(shù),但在區(qū)間1,2內(nèi)是減函數(shù),在區(qū)間,22內(nèi)是增函數(shù),不滿(mǎn)足題意. 對(duì)于 b,log2|-x|=log2|x|,是偶

4、函數(shù),當(dāng) x(1,2)時(shí),y=log2x是增函數(shù),滿(mǎn)足題意. 對(duì)于 c,f(-x)=x-(-x)2ee=xx2ee=-f(x), y=xx2ee是奇函數(shù),不滿(mǎn)足題意. 對(duì)于 d,y=x3+1是非奇非偶函數(shù),不滿(mǎn)足題意. 7.(2012 天津,文 7)將函數(shù) f(x)=sin x(其中 0)的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,04,則 的最小值是( ). a.13 b.1 c.53 d.2 3 / 9 d f(x)=sin x 的圖象向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得:y=sin x4. 又所得圖象過(guò)點(diǎn)3,04, sin344=0. sin2=0. 2=k(kz). =2k(kz). 0,的最小值

5、為 2. 8.(2012 天津,文 8)在abc 中,a=90,ab=1,ac=2.設(shè)點(diǎn) p,q滿(mǎn)足ap=ab,aq=(1-)ac,r.若bqcp=-2,則 =( ). a.13 b.23 c.43 d.2 b 設(shè)ab=a,ac=b, |a|=1,|b|=2,且 a b=0. bqcp=(aq-ab) (ap-ac) =(1-)b-a (a-b) =-a2-(1-)b2=-4(1-)=3-4=-2, =23. 9.(2012 天津,文 9)集合 a=x| x2| 5r中的最小整數(shù)為 . -3 |x-2|5,-5x-25, -3x7,集合 a 中的最小整數(shù)為-3. 10.(2012 天津,文 1

6、0)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 m3. 30 由幾何體的三視圖可知:該幾何體的頂部為平放的直四棱柱,底部為長(zhǎng)、寬、高分別為 4 m,3 m,2 m的長(zhǎng)方體. 幾何體的體積 v=v棱柱+v長(zhǎng)方體=(1 2) 12+ 4+4 3 2=6+24=30 m3. 4 / 9 11.(2012 天津,文 11)已知雙曲線 c1:22xa-22yb=1(a0,b0)與雙曲線 c2:2x4-2y16=1有相同的漸近線,且 c1的右焦點(diǎn)為 f(5,0),則 a= ,b= . 1 2 c1與 c2的漸近線相同,ba=2. 又 c1的右焦點(diǎn)為 f(5,0),c=5,即 a2+b2=5

7、. a2=1,b2=4,a=1,b=2. 12.(2012 天津,文 12)設(shè) m,nr,若直線 l:mx+ny-1=0與 x軸相交于點(diǎn) a,與 y 軸相交于點(diǎn) b,且 l與圓x2+y2=4 相交所得弦的長(zhǎng)為 2,o 為坐標(biāo)原點(diǎn),則aob面積的最小值為 . 3 l與圓相交所得弦的長(zhǎng)為 2,221mn+=4 1, m2+n2=132|mn|,|mn|16. l與 x軸交點(diǎn) a1,0m,與 y軸交點(diǎn) b10,n, saob=121 1m n=1211|mn|2 6=3. 13.(2012 天津,文 13) 如圖,已知 ab和 ac 是圓的兩條弦,過(guò)點(diǎn) b作圓的切線與 ac的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) d.過(guò)點(diǎn)

8、 c 作 bd的平行線與圓相交于點(diǎn) e,與 ab 相交于點(diǎn) f,af=3,fb=1,ef=32,則線段 cd的長(zhǎng)為 . 43 由相交弦定理得 af fb=ef fc, fc=af?fbef=2. 由afcabd,可知fcbd=afab, bd=fc?abaf=83. 由切割弦定理得 db2=dc da,又 da=4cd, 4dc2=db2=649,dc=43. 5 / 9 14.(2012 天津,文 14)已知函數(shù) y=2| x1|x1的圖象與函數(shù) y=kx的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 . (0,1)(1,2) y=2| x1|x1=| x1|x1|x1+=x1,x1,-|x1|

9、,x1,+ 函數(shù) y=kx 過(guò)定點(diǎn)(0,0). 由數(shù)形結(jié)合可知: 0k1或 1kkoc, 0k1或 1k0,故解得 b=1. 所以 sin c=74,b=1. (2)解:由 cos a=-24,sin a=144,得 cos 2a=2cos2a-1=-34,sin 2a=2sin acos a=-74, 所以,cos2a3+=cos 2acos3-sin 2asin3=3218 +. 17.(2012 天津,文 17)如圖,在四棱錐 p-abcd中,底面 abcd 是矩形,adpd,bc=1,pc=23,pd=cd=2. (1)求異面直線 pa與 bc所成角的正切值; (2)證明平面 pdc平

10、面 abcd; (3)求直線 pb 與平面 abcd 所成角的正弦值. (1)解:如圖,在四棱錐 p-abcd 中,因?yàn)榈酌?abcd 是矩形,所以 ad=bc且 adbc.又因?yàn)?adpd,故pad為異面直線 pa與 bc所成的角. 在 rtpda中,tanpad=pdad=2. 所以,異面直線 pa 與 bc所成角的正切值為 2. (2)證明:由于底面 abcd是矩形,故 adcd,又由于 adpd,cdpd=d,因此 ad平面 pdc,而ad平面 abcd,所以平面 pdc平面 abcd. (3)解:在平面 pdc 內(nèi),過(guò)點(diǎn) p 作 pecd交直線 cd于點(diǎn) e,連接 eb. 由于平面

11、pdc平面 abcd,而直線 cd是平面 pdc與平面 abcd 的交線. 故 pe平面 abcd,由此得pbe為直線 pb與平面 abcd所成的角. 在pdc 中,由于 pd=cd=2,pc=23,可得pcd=30. 在 rtpec 中,pe=pcsin 30=3. 由 adbc,ad平面 pdc,得 bc平面 pdc,因此 bcpc. 在 rtpcb 中,pb=22pcbc+=13. 在 rtpeb 中,sinpbe=pepb=3913. 7 / 9 所以直線 pb與平面 abcd所成角的正弦值為3913. 18.(2012 天津,文 18)已知an是等差數(shù)列,其前 n項(xiàng)和為 sn,bn是

12、等比數(shù)列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,s4-b4=10. (1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式; (2)記 tn=a1b1+a2b2+anbn,nn*,證明 tn-8=an-1bn+1(nn*,n2). (1)解:設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,等比數(shù)列bn的公比為 q.由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,s4=8+6d. 由條件,得方程組3323d2q27,86d2q10. +=+=解得d3,q2.= 所以 an=3n-1,bn=2n,nn*. (2)證明:由(1)得 tn=2 2+5 22+8 23+(3n-1) 2n, 2tn=2 22+5 23+(3n-4) 2n+

13、(3n-1) 2n+1. 由-,得 -tn=2 2+3 22+3 23+3 2n-(3n-1) 2n+1 =n6 (1 2 )1 2-(3n-1) 2n+1-2=-(3n-4) 2n+1-8, 即 tn-8=(3n-4) 2n+1,而當(dāng) n2時(shí),an-1bn+1=(3n-4) 2n+1. 所以,tn-8=an-1bn+1,nn*,n2. 19.(2012 天津,文 19)已知橢圓22xa+22yb=1(ab0),點(diǎn) p52a,a52在橢圓上. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè) a 為橢圓的左頂點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn) q 在橢圓上且滿(mǎn)足|aq|=|ao|,求直線 oq 的斜率的值. (1)解:因

14、為點(diǎn) p52a,a52在橢圓上,故22a5a+22a2b=1,可得22ba=58. 于是 e2=222aba=1-22ba=38,所以橢圓的離心率 e=64. (2)解:設(shè)直線 oq 的斜率為 k,則其方程為 y=kx,設(shè)點(diǎn) q 的坐標(biāo)為(x0,y0). 由條件得00220022ykx ,xy1,ab=+=消去 y0并整理得 20 x=22222a bk ab+. 由|aq|=|ao|,a(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a)2+k220 x=a2,整理得(1+k2)20 x+2ax0=0,而 x00,故 x0=22a1k+,代入,整理得(1+k2)2=4k222ab+4. 由(1)知2

15、2ab=85,故(1+k2)2=325k2+4,即 5k4-22k2-15=0,可得 k2=5. 8 / 9 所以直線 oq的斜率 k=5. 20.(2012 天津,文 20)已知函數(shù) f(x)=13x3+1 a2x2-ax-a,xr,其中 a0. (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求 a 的取值范圍; (3)當(dāng) a=1時(shí),設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為 m(t),最小值為 m(t),記 g(t)=m(t)-m(t),求函數(shù) g(t)在區(qū)間-3,-1上的最小值. (1)解:f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-

16、a).由 f(x)=0,得 x1=-1,x2=a0. 當(dāng) x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表: x (-,-1) -1 (-1,a) a (a,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1),(a,+);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,a). (2)解:由(1)知 f(x)在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)內(nèi)單調(diào)遞減,從而函數(shù) f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f(-2)0,f(-1)0,f(0)0,解得 0a13. 所以,a 的取值范圍是10,3. (3)解:a=1 時(shí),f(x)=13x3-x-1.由(1)知 f(x)在-3,-1上單調(diào)遞增,在-1,1上單調(diào)遞減,在1,2上單調(diào)遞增. 當(dāng) t-3,-2時(shí),t+30,1,-1t,t+3,f(x)在t,-1上單調(diào)遞增,在-1,t+3上單調(diào)遞減.因此,f(x)在t,t+3上的最大值 m(t)=f(-1)=-13,而最小值 m(t)為 f(t)與 f(t+3)中的較小者.由 f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng) t-3,-2時(shí),f(t)f(t+3),故 m(t)=f(t),所以 g(t)=f(-1)-f(t).而 f(t)在-3,-2上單調(diào)遞增,因此 f(t)f(-2)=-53,所以 g(t)