2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(大綱全國卷)文 (2)

1、1 / 8 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(大綱全國卷) 數(shù)學(xué)(文科) 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014 大綱全國,文 1)設(shè)集合 m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7,則 mn 中元素的個(gè)數(shù)為( ). a.2 b.3 c.5 d.7 答案:b 解析:m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7, mn=1,2,6, mn 中元素的個(gè)數(shù)為 3,故選 b. 2.(2014 大綱全國,文 2)已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-4,3),則 cos =( ). a.45 b.35 c.-35 d

2、.-45 答案:d 解析:設(shè)角 的終邊上點(diǎn)(-4,3)到原點(diǎn) o 的距離為 r,則 r=(-4)2+ 32=5, 由余弦函數(shù)的定義,得 cos =-45,故選 d. 3.(2014 大綱全國,文 3)不等式組( + 2) 0,| 1的解集為( ). a.x|-2x-1 b.x|-1x0 c.x|0 x1 答案:c 解析:( + 2) 0,| 1, 由得,x0, 由得,-1x1, 因此原不等式組的解集為x|0 x-1)的反函數(shù)是( ). a.y=(1-ex)3(x-1) b.y=(ex-1)3(x-1) c.y=(1-ex)3(xr) d.y=(ex-1)3(xr) 答案:d 解析:由 y=ln

3、(3+1),得 ey=3+1,3=ey-1,x=(ey-1)3, 2 / 8 f-1(x)=(ex-1)3. x-1,yr,即反函數(shù)的定義域?yàn)?r. 反函數(shù)為 y=(ex-1)3(xr),故選 d. 6.(2014 大綱全國,文 6)已知 a,b 為單位向量,其夾角為 60 ,則(2a-b) b=( ). a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:b 解析:由已知得|a|=|b|=1,=60 , (2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2 =211cos 60 -12=0,故選 b. 7.(2014 大綱全國,文 7)有 6 名男醫(yī)生、5 名女醫(yī)生,從中選出 2 名男醫(yī)生、1 名

4、女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有( ). a.60 種 b.70 種 c.75 種 d.150 種 答案:c 解析:從 6 名男醫(yī)生中選出 2 名有c62種選法,從 5 名女醫(yī)生中選出 1 名有c51種選法,故共有c62c51=65215=75 種選法,選 c. 8.(2014 大綱全國,文 8)設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 sn.若 s2=3,s4=15,則 s6=( ). a.31 b.32 c.63 d.64 答案:c 解析:s2=3,s4=15,由等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì),得 s2,s4-s2,s6-s4成等比數(shù)列, (s4-s2)2=s2(s6-s4), 即(15-3)2

5、=3(s6-15),解得 s6=63,故選 c. 9.(2014 大綱全國,文 9)已知橢圓 c:22+22=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為 f1,f2,離心率為33,過 f2的直線 l 交 c 于a,b兩點(diǎn).若af1b的周長為 43,則 c 的方程為( ). a.23+22=1 b.23+y2=1 c.212+28=1 d.212+24=1 答案:a 解析:22+22=1(ab0)的離心率為33, =33,abc=36 3. 又過 f2的直線 l 交橢圓于 a,b兩點(diǎn), af1b的周長為 43, 4a=43,a=3. b=2,橢圓方程為23+22=1,選 a. 10.(2014 大綱全國,文 1

6、0)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為 4,底面邊長為 2,則該球的表面積為( ). a.814 b.16 c.9 d.274 答案:a 解析:由圖知,r2=(4-r)2+2, 3 / 8 r2=16-8r+r2+2,r=94, s表=4r2=48116=814,選 a. 11.(2014 大綱全國,文 11)雙曲線 c:2222=1(a0,b0)的離心率為 2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,則 c 的焦距等于( ). a.2 b.22 c.4 d.42 答案:c 解析:e=2,=2. 設(shè)焦點(diǎn) f2(c,0)到漸近線 y=x 的距離為3, 漸近線方程為 bx-ay=0, |-0|2+2=

7、3. c2=a2+b2,b=3. 由=2,得2-2=2,22-3=4, 解得 c=2.焦距 2c=4,故選 c. 12.(2014 大綱全國,文 12)奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r.若 f(x+2)為偶函數(shù),且 f(1)=1,則 f(8)+f(9)=( ). a.-2 b.-1 c.0 d.1 答案:d 解析:奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?r, f(-x)=-f(x),且 f(0)=0. f(x+2)為偶函數(shù),f(-x+2)=f(x+2). f(x+2)+2=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x), 即 f(x+4)=-f(x). f(x+8)=f(x+4)+4=-f(x+4) =-(-f

8、(x)=f(x). f(x)是以 8 為周期的周期函數(shù), f(8)=f(0)=0, f(9)=f(8+1)=f(1)=1. f(8)+f(9)=0+1=1.故選 d. 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分. 13.(2014 大綱全國,文 13)(x-2)6的展開式中 x3的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答) 答案:-160 解析:由通項(xiàng)公式得 t4=c63x6-3(-2)3=-8c63x3, 故展開式中 x3的系數(shù)為-8c63=-8654321=-160. 14.(2014 大綱全國,文 14)函數(shù) y=cos 2x+2sin x 的最大值為 . 答案:32 解析:y=cos 2x+2sin

9、 x=1-2sin2x+2sin x=-2(sin-12)2+32, 當(dāng) sin x=12時(shí),ymax=32. 4 / 8 15.(2014 大綱全國,文 15)設(shè) x,y 滿足約束條件- 0, + 2 3,-2 1,則 z=x+4y 的最大值為 . 答案:5 解析:畫出 x,y 的可行域如圖陰影區(qū)域. 由 z=x+4y,得 y=-14x+4. 先畫出直線 y=-14x,再平移直線 y=-14x, 當(dāng)經(jīng)過點(diǎn) b(1,1)時(shí), z=x+4y 取得最大值為 5. 16.(2014 大綱全國,文 16)直線 l1和 l2是圓 x2+y2=2 的兩條切線.若 l1與 l2的交點(diǎn)為(1,3),則 l1與

10、 l2的夾角的正切值等于 . 答案:43 解析:如圖所示,設(shè) l1與圓 o:x2+y2=2 相切于點(diǎn) b,l2與圓 o:x2+y2=2 相切于點(diǎn) c,則 ob=2,oa=10,ab=22. tan =222=12. tanbac=tan 2=2tan1-tan2=2121-14=43. 三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 17.(本小題滿分 10 分)(2014 大綱全國,文 17)數(shù)列an滿足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)設(shè) bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列; (2)求an的通項(xiàng)公式. 分析:本題主要考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及累

11、加法求數(shù)列通項(xiàng)公式. (1)可用定義證明 bn+1-bn=2(常數(shù))即可. (2)利用(1)的結(jié)果,求出bn的通項(xiàng)公式及 an+1-an的表達(dá)式,再用累加法可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. (1)證明:由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以bn是首項(xiàng)為 1,公差為 2 的等差數(shù)列. (2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1. 于是=1(ak+1-ak)=1(2k-1), 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以an的通項(xiàng)公式為 an

12、=n2-2n+2. 5 / 8 18.(本小題滿分 12 分)(2014 大綱全國,文 18)abc 的內(nèi)角 a,b,c 的對邊分別為 a,b,c,已知 3acos c=2ccos a,tan a=13,求 b. 分析:先由已知及正弦定理,將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系, 再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化弦為切,求出 tan c. 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正切公式求出 tan b,即可求角 b. 解:由題設(shè)和正弦定理得 3sin acos c=2sin ccos a. 故 3tan acos c=2sin c, 因?yàn)?tan a=13,所以 cos c=2sin c,tan c=12. 所以 tan

13、 b=tan180 -(a+c) =-tan(a+c) =tan+tantantan-1 =-1, 即 b=135 . 19.(本小題滿分 12 分)(2014 大綱全國,文 19)如圖,三棱柱 abc-a1b1c1中,點(diǎn) a1在平面 abc 內(nèi)的射影 d 在 ac上,acb=90 ,bc=1,ac=cc1=2. (1)證明:ac1a1b; (2)設(shè)直線 aa1與平面 bcc1b1的距離為3,求二面角 a1-ab-c 的大小. 分析:解法一:(1)由已知可證平面 aa1c1c平面 abc,再由面面垂直證線面垂直,利用三垂線定理即得線線垂直. (2)為利用已知,先尋找并證明 aa1與平面 bcc

14、1b1的距離為 a1e.再由三垂線定理,確定二面角 a1-ab-c 的平面角為a1fd.最后通過解直角三角形求出a1fd 的正切值, 即可得出二面角的大小. 解法二:建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量知識(shí)求解. (1)設(shè)出 a1點(diǎn)坐標(biāo),確定點(diǎn)及向量坐標(biāo),利用數(shù)量積為 0,證明線線垂直. (2)設(shè)法向量,由已知垂直關(guān)系,確定坐標(biāo).利用向量夾角公式求二面角大小. 解法一:(1)證明:因?yàn)?a1d平面 abc,a1d平面 aa1c1c, 故平面 aa1c1c平面 abc. 又 bcac,所以 bc平面 aa1c1c. 連結(jié) a1c.因?yàn)閭?cè)面 aa1c1c 為菱形,故 ac1a1c. 由三垂線定理得 ac1

15、a1b. (2)bc平面 aa1c1c,bc平面 bcc1b1, 故平面 aa1c1c平面 bcc1b1. 作 a1ecc1,e為垂足,則 a1e平面 bcc1b1. 6 / 8 又直線 aa1平面 bcc1b1, 因而 a1e為直線 aa1與平面 bcc1b1的距離,a1e=3. 因?yàn)?a1c 為acc1的平分線,故 a1d=a1e=3. 作 dfab,f為垂足,連結(jié) a1f. 由三垂線定理得 a1fab, 故a1fd 為二面角 a1-ab-c 的平面角. 由 ad=12-12=1 得 d 為 ac 中點(diǎn), df=12=55,tana1fd=1d= 15. 所以二面角 a1-ab-c 的大小

16、為 arctan 15. 解法二:以 c 為坐標(biāo)原點(diǎn),射線 ca為 x 軸的正半軸,以 cb的長為單位長, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 c-xyz. 由題設(shè)知 a1d 與 z 軸平行,z 軸在平面 aa1c1c 內(nèi). (1)證明:設(shè) a1(a,0,c),由題設(shè)有 a2,a(2,0,0),b(0,1,0), 則 =(-2,1,0), =(-2,0,0),1 =(a-2,0,c), 1 = + 1 =(a-4,0,c),1 =(a,-1,c). 由|1 |=2 得(-2)2+ 2=2, 即 a2-4a+c2=0. 于是1 1 =a2-4a+c2=0,所以 ac1a1b. (2)設(shè)平面 bcc1b

17、1的法向量 m=(x,y,z),則 m ,m1 , 即 m =0,m1 =0. 因 =(0,1,0),1 = 1 =(a-2,0,c), 故 y=0,且(a-2)x+cz=0. 令 x=c,則 z=2-a,m=(c,0,2-a),點(diǎn) a到平面 bcc1b1的距離為 | |cos|=|ca |=22+(2-a)2=c. 又依題設(shè),a到平面 bcc1b1的距離為3,所以 c=3. 代入解得 a=3(舍去)或 a=1. 于是1 =(-1,0,3). 設(shè)平面 aba1的法向量 n=(p,q,r), 則 n1 ,n , 即 n1 =0, n =0, -p+3r=0,且-2p+q=0. 令 p=3,則 q

18、=23,r=1,n=(3,23,1). 又 p=(0,0,1)為平面 abc 的法向量, 故 cos=|=14. 所以二面角 a1-ab-c 的大小為 arccos14. 7 / 8 20.(本小題滿分 12 分)(2014 大綱全國,文 20)設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率; (2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購買 k 臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k”的概率小于0.1,求 k 的最小值. 分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥與獨(dú)立

19、事件的概率可求. (2)由(1)分析 k 的可能取值情況,比較即得結(jié)果. 解:記 ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用設(shè)備,i=0,1,2, b表示事件:甲需使用設(shè)備, c 表示事件:丁需使用設(shè)備, d 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備, e表示事件:同一工作日 4 人需使用設(shè)備, f表示事件:同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于 k. (1)d=a1bc+a2b+a2c, p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c20.52,i=0,1,2, 所以 p(d)=p(a1bc+a2b+a2c) =p(a1bc)+p(a2b)+p(a2c) =p(a1)p(b)p(c)+

20、p(a2)p(b)+p(a2)p()p(c) =0.31. (2)由(1)知,若 k=2,則 p(f)=0.310.1. 又 e=bca2, p(e)=p(bca2) =p(b)p(c)p(a2) =0.06. 若 k=3,則 p(f)=0.060 或 a0 進(jìn)行討論. 解:(1)f(x)=3ax2+6x+3,f(x)=0 的判別式 =36(1-a). 若 a1,則 f(x)0,且 f(x)=0 當(dāng)且僅當(dāng) a=1,x=-1. 故此時(shí) f(x)在 r 上是增函數(shù). 由于 a0,故當(dāng) a1 時(shí),f(x)=0 有兩個(gè)根: x1=-1+1-,x2=-1-1-. 若 0a0, 故 f(x)分別在(-,x

21、2),(x1,+)是增函數(shù); 當(dāng) x(x2,x1)時(shí) f(x)0,故 f(x)在(x2,x1)是減函數(shù); 若 a0,則當(dāng) x(-,x1)或(x2,+)時(shí) f(x)0,故 f(x)在(x1,x2)是增函數(shù). (2)當(dāng) a0,x0 時(shí),f(x)=3ax2+6x+30,故當(dāng) a0 時(shí),f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù). 當(dāng) a0 時(shí),f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) f(1)0 且 f(2)0,解得-54a0)的焦點(diǎn)為 f,直線 y=4 與 y 軸的交點(diǎn)為 p,與 c 的交點(diǎn)為 q,且|qf|=54|pq|. (1)求 c 的方程; (2)過 f的直線 l 與 c 相交于 a,b兩點(diǎn),若 ab的垂直平分線 l與 c 相交于 m,n 兩點(diǎn),且 a,m,b,n 四點(diǎn)在同一圓上,求 l 的方程. 分析:(1)設(shè)出 q 點(diǎn)坐標(biāo),利用|qf|=54|pq|列出關(guān)于 p 的方程,借助于 p 的幾何意義及拋物線的性質(zhì)確定 p. (2)通過題設(shè)分析判斷直線 l 與 x 軸不垂直.因直線 l 過 f(1,0),可設(shè) l 的方程為 x=my+1(m0). 直線 l 方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到 y1+y2,y1y2關(guān)于 m 的表達(dá)式,借助弦長公式得|ab|=2+ 1|y1