2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(浙江卷)理 (2)

1、1 / 10 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷) 數(shù)學(xué)(理科) 選擇題部分(共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2014 浙江,理 1)設(shè)全集 u=xn|x2,集合 a=xn|x25,則ua=( ). a. b.2 c.5 d.2,5 答案:b 解析:由題意知集合 a=xn|x5,則ua=xn|2x5=2,故選 b. 2.(2014 浙江,理 2)已知 i 是虛數(shù)單位,a,br,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ). a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.

2、充分必要條件 d.既不充分也不必要條件 答案:a 解析:當(dāng) a=b=1 時,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,則 a2-b2=0,2ab=2,解得 a=1,b=1 或 a=-1,b=-1.故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要條件,應(yīng)選 a. 3.(2014 浙江,理 3)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是( ). a.90 cm2 b.129 cm2 c.132 cm2 d.138 cm2 答案:d 解析:由題干中的三視圖可得原幾何體如圖所示. 故該幾何體的表面積 s=246+234+36+33+3

3、4+35+21234=138(cm2).故選 d. 4.(2014 浙江,理 4)為了得到函數(shù) y=sin 3x+cos 3x 的圖象,可以將函數(shù) y=2cos 3x 的圖象( ). a.向右平移4個單位 b.向左平移4個單位 c.向右平移12個單位 d.向左平移12個單位 答案:c 解析:y=sin 3x+cos 3x=2cos(3-4) = 2cos3(-12),因此需將函數(shù) y=2cos 3x 的圖象向右平移12個單位.故選 c. 5.(2014 浙江,理 5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記 xmyn項的系數(shù)為 f(m,n),則 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0

4、,3)=( ). 2 / 10 a.45 b.60 c.120 d.210 答案:c 解析:(1+x)6展開式的通項公式為 tr+1=c6xr,(1+y)4展開式的通項公式為 th+1=c4yh, (1+x)6(1+y)4展開式的通項可以為c6c4xryh. f(m,n)=c6c4. f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=c63+ c62c41+ c61c42+ c43=20+60+36+4=120.故選 c. 6.(2014 浙江,理 6)已知函數(shù) f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0f(-1)=f(-2)=f(-3)3,則( ). a.c3 b.3c6 c.69 答案

5、:c 解析:由 f(-1)=f(-2)=f(-3), 得-1 + - + = -8 + 4-2 + ,-1 + - + = -27 + 9-3 + ,解得 = 6, = 11. 從而可得 f(x)=x3+6x2+11x+c. 又由 0f(-1)3,得 0-1+6-11+c3,即 60),g(x)=logax 的圖象可能是( ). 答案:d 解析:由于本題中函數(shù)為 y=xa(x0)與 y=logax,對于選項 a,沒有冪函數(shù)圖象,故錯誤; 對于選項 b,由 y=xa(x0)的圖象知 a1,而由 y=logax 的圖象知 0a1,故 b 錯誤; 對于選項 c,由 y=xa(x0)的圖象知 0a1,

6、故 c 錯誤; 對于選項 d,由 y=xa(x0)的圖象,知 0a1,而由 y=logax 的圖象知 0a1,故選 d. 8.(2014 浙江,理 8)記 maxx,y=, , ,minx,y=, , ,設(shè) a,b 為平面向量,則( ). a.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| b.min|a+b|,|a-b|min|a|,|b| c.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 d.max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2 答案:d 解析:根據(jù)向量運算的幾何意義,即三角形法則,可知 min|a+b|,|a-b|與 min|a|,|b|的大小關(guān)系不確定,故 a,b

7、 選項錯誤. 當(dāng) a,b 中有零向量時,顯然 max|a+b|2,|a-b|2=|a|2+|b|2成立. 由于|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2+2|a|b|cos,|a-b|2=|a|2+|b|2-2ab=|a|2+|b|2-2|a|b|cos, 若 a0,b0, 則當(dāng) 0 |a-b|2,且|a+b|2|a|2+|b|2; 當(dāng)=90 時,顯然|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2; 當(dāng) 90 180 時,顯然|a+b|2|a|2+|b|2. 故總有 max|a+b|2,|a-b|2|a|2+|b|2成立.故選 d. 3 / 10 9.(2014 浙江,理 9

8、)已知甲盒中僅有 1 個球且為紅球,乙盒中有 m 個紅球和 n 個藍(lán)球(m3,n3),從乙盒中隨機抽取 i(i=1,2)個球放入甲盒中. (a)放入 i 個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為 i(i=1,2); (b)放入 i 個球后,從甲盒中取 1 個球是紅球的概率記為 pi(i=1,2). 則( ). a.p1p2,e(1)e(2) b.p1e(2) c.p1p2,e(1)e(2) d.p1p2,e(1)0. 故 p1p2. 1的可能取值為 1,2, p(1=1)=c1c+1=+; p(1=2)=c1c+1=+. 故 e(1)=1+2+=2+. 2的可能取值為 1,2,3. p(2=1)=c2

9、c+2=(-1)(+)(+-1), p(2=2)=c1c1c+2=2(+)(+-1), p(2=3)=c2c+2=(-1)(+)(+-1), 故 e(2)=1(-1)(+)(+-1)+22(+)(+-1)+3(-1)(+)(+-1) =(-1)+4+3(-1)(+)(+-1). 于是 e(1)-e(2) =2+(-1)+4+3(-1)(+)(+-1) =(2+)(+-1)-(-1)+4+3(-1)(+)(+-1) =-(+-3)(+)(+-1). 又m3,n3,e(1)-e(2)0, 即 e(1)e(2). 綜上,應(yīng)選 a. 10.(2014 浙江,理 10)設(shè)函數(shù) f1(x)=x2,f2(x

10、)=2(x-x2),f3(x)=13|sin 2x|,ai=99,i=0,1,2,99.記 ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3.則( ). a.i1i2i3 b.i2i1i3 c.i1i3i2 d.i3i2i1 答案:b 解析:由|(99)2-(-199)2| =1992-199, 結(jié)合題意可得 i1 =199(199+399+599+ +299-199) =19999299=1. 由 2|99-199-(99)2+ (-199)2| =299|99-(2-1)99| =299100-299,i 50,299

11、2-10099,50 i 99. 4 / 10 結(jié)合題意可得 i2=299250(98+0)299=981009999 =(99-1)(99+1)992=992-199243sin3=2331. 因此 i2i150,輸出 i=6. 12.(2014 浙江,理 12)隨機變量 的取值為 0,1,2,若 p(=0)=15,e()=1,則 d()= . 答案:25 解析:設(shè) =1 時的概率為 p,則 e()=015+1p+2(1-15)=1,解得 p=35. 故 d()=(0-1)215+(1-1)235+(2-1)215=25. 13.(2014 浙江,理 13)當(dāng)實數(shù) x,y 滿足 + 2-4

12、0,-1 0, 1時,1ax+y4 恒成立,則實數(shù) a 的取值范圍是 . 答案:1,32 解析:作出題中線性規(guī)劃條件滿足的可行域如圖陰影部分所示,令 z=ax+y,即 y=-ax+z. 5 / 10 作直線 l0:y=-ax,平移 l0,最優(yōu)解可在 a(1,0),b(2,1),c(1,32)處取得. 故由 1z4 恒成立,可得 1 4,1 2 + 1 4,1 +32 4,解得 1a32. 14.(2014 浙江,理 14)在 8 張獎券中有一、二、三等獎各 1 張,其余 5 張無獎.將這 8 張獎券分配給 4 個人,每人 2張,不同的獲獎情況有 種(用數(shù)字作答). 答案:60 解析:不同的獲獎

13、情況分為兩種,一是一人獲兩張獎券一人獲一張獎券,共有c32a42=36 種;二是有三人各獲得一張獎券,共有a43=24 種. 因此不同的獲獎情況有 36+24=60 種. 15.(2014 浙江,理 15)設(shè)函數(shù) f(x)=2+ x,x 0,-2,x 0,若 f(f(a)2,則實數(shù) a 的取值范圍是 . 答案:(-,2 解析:由題意得() 0,2(a) + f(a) 2或() 0,-2(a) 2, 解得 f(a)-2. 由 0,b0)的兩條漸近線分別交于點 a,b.若點p(m,0)滿足|pa|=|pb|,則該雙曲線的離心率是 . 答案:52 解析:由雙曲線方程可知,它的漸近線方程為 y=x 與

14、 y=-x,它們分別與 x-3y+m=0 聯(lián)立方程組,解得a(-3,-3),b(-+3,+3). 由|pa|=|pb|知,可設(shè) ab 的中點為 q, 則 q(-3+-+32,-3+32), 由 pqab,得 kpqkab=-1, 解得 2a2=8b2=8(c2-a2),即22=54. 故=52. 17.(2014 浙江,理 17)如圖,某人在垂直于水平地面 abc 的墻面前的點 a處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點 a到墻面的距離為 ab,某目標(biāo)點 p 沿墻面上的射線 cm 移動,此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點 p,需計算由點 a觀察點 p的仰角 的大小.若 ab=15 m,ac=25 m,bcm=30 ,則 t

15、an 的最大值是 .(仰角 為直線 ap 與平面 abc 所成角) 答案:539 解析:由于 abbc,ab=15 m,ac=25 m, 所以 bc=252-152=20 m. 過點 p作 pnbc 交 bc 于 n, 連接 an(如圖),則pan=,tan =. 6 / 10 設(shè) nc=x(x0),則 bn=20-x, 于是 an=2+ b2= 152+ (20-x)2 =2-40 x + 625, pn=nctan 30 =33x, 所以 tan =33x2-40 x+625 =331-40+6252=336252-40+1, 令1=t, 則625240+1=625t2-40t+1, 當(dāng)

16、t=4125時,625t2-40t+1 取最小值925, 因此6252-40+ 1的最小值為925=35,這時 tan 的最大值為3353=539(此時 =1254). 三、解答題:本大題共 5 小題,共 72 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 18.(本小題滿分 14 分)(2014 浙江,理 18)在abc 中,內(nèi)角 a,b,c 所對的邊分別為 a,b,c.已知 ab,c=3,cos2a-cos2b=3sin acos a-3sin bcos b. (1)求角 c 的大小; (2)若 sin a=45,求abc 的面積. 分析:(1)將已知等式運用二倍角的正、余弦公式和輔助角公

17、式化為 2a,2b的三角函數(shù)式,結(jié)合角 a,b的范圍求出 2a,2b的關(guān)系式,然后求出角 c. (2)由(1)知 c,又已知 sin a,c,則可由sin=sin求出 a,則由 sabc=12acsin b知,只需求 sin b即可.結(jié)合 b=-(a+c)運用兩角和的正弦公式可求 sin b. 解:(1)由題意得1+cos221+cos22=32sin 2a-32sin 2b, 即32sin 2a-12cos 2a=32sin 2b-12cos 2b, sin(2-6)=sin(2-6), 由 ab,得 ab,又 a+b(0,), 得 2a-6+2b-6=, 即 a+b=23,所以 c=3.

18、(2)由 c=3,sin a=45,sin=sin,得 a=85. 由 ac,得 a0,c30,c40, 當(dāng) n5 時,cn=1(+1)(+1)2-1, 而(+1)2(+1)(+2)2+1=(+1)(-2)2+10, 得(+1)25(5+1)251. 所以,當(dāng) n5 時,cn0. 綜上,對任意 nn*恒有 s4sn,故 k=4. 20.(本小題滿分 15 分)(2014 浙江,理 20)如圖,在四棱錐 a-bcde 中,平面 abc平面bcde,cde=bed=90 ,ab=cd=2,de=be=1,ac=2. (1)證明:de平面 acd; (2)求二面角 b-ad-e的大小. 分析:(1)

19、先在直角梯形 bcde 中求出 bc,即可利用勾股定理驗證 acbc,然后利用面面垂直的性質(zhì)定理將已知平面 abc平面 bcde轉(zhuǎn)化為 ac平面 bcde,從而得到 acde,最后結(jié)合已知 dedc 即可證得結(jié)論. (2)方法一,根據(jù)(1)問中證得的垂直關(guān)系作出所求二面角的平面角,然后分別求出其所在三角形的三邊長,利用余弦定理求其值;方法二,根據(jù)(1)問證得的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點的坐標(biāo)及二面角兩個半平面的法向量,最后利用這兩個法向量的夾角表示所求二面角即可. 解:(1)在直角梯形 bcde中,由 de=be=1,cd=2, 得 bd=bc=2. 由 ac=2,ab=2,得 a

20、b2=ac2+bc2,即 acbc. 又平面 abc平面 bcde,從而 ac平面 bcde. 所以 acde,又 dedc,從而 de平面 acd. (2)方法一:作 bfad,與 ad 交于點 f,過點 f作 fgde,與 ae交于點 g,連結(jié) bg, 由(1)知 dead,則 fgad. 所以bfg 是二面角 b-ad-e 的平面角. 8 / 10 在直角梯形 bcde中,由 cd2=bc2+bd2,得 bdbc,又平面 abc平面 bcde,得 bd平面 abc, 從而 bdab. 由于 ac平面 bcde,得 accd. 在 rtacd 中,由 dc=2,ac=2,得 ad=6. 在

21、 rtaed 中,由 ed=1,ad=6,得 ae=7. 在 rtabd 中,由 bd=2,ab=2,ad=6, 得 bf=233,af=23ad. 從而 gf=23. 在abe,abg 中,利用余弦定理分別可得 cosbae=5714,bg=23. 在bfg 中,cosbfg=2+b2-b22=32. 所以,bfg=6,即二面角 b-ad-e的大小是6. 方法二:以 d 為原點,分別以射線 de,dc 為 x,y 軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系 d-xyz,如圖所示. 由題意知各點坐標(biāo)如下:d(0,0,0),e(1,0,0),c(0,2,0),a(0,2,2),b(1,1,0). 設(shè)平面 a

22、de的法向量為 m=(x1,y1,z1),平面 abd 的法向量為 n=(x2,y2,z2),可算得 =(0,-2,-2), =(1,-2,-2), =(1,1,0), 由ad = 0,ae = 0,得-2y1-2z1= 0,x1-2y1-2z1= 0, 可取 m=(0,1,-2). 由ad = 0,bd = 0,即-2y2-2z2= 0,x2+ y2= 0, 可取 n=(1,-1,2). 于是|cos|=|=332=32. 由題意可知,所求二面角是銳角,故二面角 b-ad-e 的大小是6. 21.(本小題滿分 15 分)(2014 浙江,理 21)如圖,設(shè)橢圓 c:22+22=1(ab0),

23、動直線 l 與橢圓 c 只有一個公共點 p,且點 p在第一象限. (1)已知直線 l 的斜率為 k,用 a,b,k 表示點 p的坐標(biāo); (2)若過原點 o 的直線 l1與 l 垂直,證明:點 p到直線 l1的距離的最大值為 a-b. 分析:(1)因為直線與橢圓只有一個公共點,則只需聯(lián)立直線與橢圓方程,消去 y,得到關(guān)于 x 的一元二次方程,則由判別式 =0 可求. (2)由直線 l1過原點且與直線 l 垂直,即可求出直線 l1的方程,進(jìn)而利用點到直線的距離公式求出點 p到直線l1的距離,然后尋找不等關(guān)系消去 k 即可. 解:(1)設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+m(k0), 由 = + ,22

24、+22= 1,消去 y 得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于 l 與 c 只有一個公共點,故 =0,即 b2-m2+a2k2=0,解得點 p的坐標(biāo)為(-2km2+22,2m2+22). 9 / 10 又點 p在第一象限,故點 p 的坐標(biāo)為 p(-2k2+22,22+22). (2)由于直線 l1過原點 o 且與 l 垂直,故直線 l1的方程為 x+ky=0,所以點 p到直線 l1的距離d=|-2k2+22+2k2+22|1+2, 整理得 d=2-22+2+22+22. 因為 a2k2+222ab, 所以2-22+2+22+222-22+2+2ab=a-b, 當(dāng)

25、且僅當(dāng) k2=時等號成立. 所以,點 p到直線 l1的距離的最大值為 a-b. 22.(本小題滿分 14 分)(2014 浙江,理 22)已知函數(shù) f(x)=x3+3|x-a|(ar). (1)若 f(x)在-1,1上的最大值和最小值分別記為 m(a),m(a),求 m(a)-m(a); (2)設(shè) br.若f(x)+b24 對 x-1,1恒成立,求 3a+b 的取值范圍. 分析:(1)要求函數(shù)的最值需研究函數(shù)的單調(diào)性,因函數(shù)解析式含有三次式和絕對值,故需先去絕對值然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性.又因為要求的是區(qū)間-1,1上的最值,故需分 a-1,-1a1 和 a1 三種情況討論. (2)f(x)+b24 對 x-1,1恒成立,即-2f(x)+b2 對 x-1,1恒成立,也即函數(shù) h(x)=f(x)+2,x-1,1的值域應(yīng)為-2,2的子集,由此尋求 a,b 滿足的條件,進(jìn)而求出 3a+b 的取值范圍. 解:(1)因為 f(x)=3+ 3x-3a,x a,3-3x + 3a,x a, 所以 f(x)=32+ 3,x a,32-3,x a,由于-1x1, 當(dāng) a-1 時,有 xa,故 f(x)=x3+3x-3a,此時 f(x)在(-1,1)上是增函數(shù), 因此,m(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a, 故 m(a)-m(a)=(4-3a)-(-4-3a)=8.