2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(四川卷)理

1、1 / 15 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷) 數(shù)學(xué)(理科) 第卷(選擇題 共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一個是符合題目要求的. 1.(2014 四川,理 1)已知集合 a=x|x2-x-20,集合 b為整數(shù)集,則 ab=( ). a.-1,0,1,2 b.-2,-1,0,1 c.0,1 d.-1,0 答案:a 解析:a=x|x2-x-20=x|-1x2, ab=az=x|-1x2z=-1,0,1,2. 2.(2014 四川,理 2)在 x(1+x)6的展開式中,含 x3項的系數(shù)為( ). a.3

2、0 b.20 c.15 d.10 答案:c 解析:含 x3的項是由(1+x)6展開式中含 x2的項與 x 相乘得到,又(1+x)6展開式中含 x2的項的系數(shù)為c62=15, 故含 x3項的系數(shù)是 15. 3.(2014 四川,理 3)為了得到函數(shù) y=sin(2x+1)的圖象,只需把函數(shù) y=sin 2x 的圖象上所有的點( ). a.向左平行移動12個單位長度 b.向右平行移動12個單位長度 c.向左平行移動 1 個單位長度 d.向右平行移動 1 個單位長度 答案:a 解析:y=sin(2x+1)=sin 2( +12), 需要把 y=sin 2x 圖象上所有的點向左平移12個單位長度即得到

3、 y=sin(2x+1)的圖象. 4.(2014 四川,理 4)若 ab0,cd b. d. 2 / 15 答案:d 解析:cd-d0,01-1-0. 又ab0, -,. 5.(2014 四川,理 5)執(zhí)行如圖的程序框圖,如果輸入的 x,yr,那么輸出的 s 的最大值為( ). a.0 b.1 c.2 d.3 答案:c 解析:先畫出 x,y 滿足的約束條件 0, 0, + 1,對應(yīng)的可行域如圖中陰影部分: 移動直線 l0:y=-2x. 當(dāng)直線經(jīng)過點 a(1,0)時,y=-2x+s 中截距 s 最大,此時 smax=21+0=2. 再與 x0,y0,x+y1 不成立時 s=1 進行比較,可得 s

4、max=2. 6.(2014 四川,理 6)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( ). a.192 種 b.216 種 c.240 種 d.288 種 答案:b 解析:(1)當(dāng)最左端排甲的時候,排法的種數(shù)為a55; (2)當(dāng)最左端排乙的時候,排法種數(shù)為c41a44. 因此不同的排法的種數(shù)為a55+ c41a44=120+96=216. 3 / 15 7.(2014 四川,理 7)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mr),且 c 與 a 的夾角等于 c 與 b 的夾角,則 m=( ). a.-2 b.-1 c.1 d.2 答案:d

5、解析:a=(1,2),b=(4,2), c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2). 又c 與 a 的夾角等于 c 與 b 的夾角, cos=cos. |=|. 即5+85|=8+2025|, 解得 m=2. 8.(2014 四川,理 8)如圖,在正方體 abcd-a1b1c1d1中,點 o 為線段 bd 的中點.設(shè)點 p在線段 cc1上,直線 op與平面 a1bd 所成的角為 ,則 sin 的取值范圍是( ). a.33,1 b.63,1 c.63,223 d.223,1 答案:b 解析:以 d 為坐標(biāo)原點,da,dc,dd1所在的直線分別為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系

6、,如圖所示. 不妨設(shè) dc=da=dd1=1,則 d(0,0,0),b(1,1,0),a1(1,0,1),o(12,12,0),并設(shè)點 p(0,1,t)且 0t1. 則 = (-12,12,t),1d =(-1,0,-1),1b =(0,1,-1). 設(shè)平面 a1bd 的法向量為 n=(x0,y0,z0), 則有a1d = 0,a1b = 0,即-x0-z0= 0,y0-z0= 0,取 x0=1,y0=-1,z0=-1, n=(1,-1,-1). sin =|cos|=|-1-|32+12(0t1), 4 / 15 sin2=2+2t+13(2+12),0t1. 令 f(t)=2+2t+13(

7、2+12),0t1. 則 f(t)=22+t-1-3(2+12)2=-(2-1)(+1)3(2+12)2, 可知當(dāng) t0,12)時,f(t)0; 當(dāng) t12,1時,f(t)0. 又f(0)=23,f(12)=1,f(1)=89, fmax(t)=f(12)=1,fmin(t)=f(0)=23. sin 的最大值為 1,最小值為63. sin 的取值范圍為63,1. 9.(2014 四川,理 9)已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x(-1,1).現(xiàn)有下列命題:f(-x)=-f(x);f(21+2)=2f(x);|f(x)|2|x|. 其中的所有正確命題的序號是( ). a. b.

8、c. d. 答案:a 解析:對于,f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+1-,f(-x)=ln1-1+=-ln1+1-=-f(x),又 x(-1,1), f(-x)=-f(x),故命題正確; 對于,f(21+2)=ln(1 +21+2)-ln(1-21+2)=ln(1+)21+2-ln(1-)21+2=ln(1+1-)2=2ln1+1-=2f(x),故命題正確; 對于,由于 f(x)和 2x 均為奇函數(shù),不妨僅研究 x0,1)時的情形,此時|f(x)|=|ln1+1-|=ln1+1-,2|x|=2x=ln e2x.令(x)=1+1-e2x,則 (x)=21(1-)2-e2,令 (x

9、)=0,得 x=0,且當(dāng) x0,1)時,(x)0,因此 (x)在0,1)上為增函數(shù),(x)(0)=0,即1+1-e2x在 x0,1)上恒成立,故 ln1+1-2x 也成立; 同理根據(jù)對稱性可知對 x(-1,1)均有|ln1+1-|2x|,即|f(x)|2|x|成立,為真命題. 綜上可知,正確命題的序號為. 10.(2014 四川,理 10)已知 f為拋物線 y2=x 的焦點,點 a,b在該拋物線上且位于 x 軸的兩側(cè), =2(其中 o 為坐標(biāo)原點),則abo 與afo 面積之和的最小值是( ). a.2 b.3 c.1728 d.10 答案:b 解析:設(shè) ab所在直線方程為 x=my+t. 5

10、 / 15 由 = + ,2= x,消去 x,得 y2-my-t=0. 設(shè) a(12,y1),b(22,y2)(不妨令 y10,y20), 故12+ 22=m,y1y2=-t. 而 = 1222+y1y2=2. 解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直線 ab過定點 m(2,0). 而 sabo=samo+sbmo =12|om|y1-y2|=y1-y2, safo=12|of|y1=1214y1=18y1, 故 sabo+safo=y1-y2+18y1=98y1-y2. 由98y1-y2=98y1+(-y2)2981 (-2)=298 2=3,

11、得 sabo+safo的最小值為 3,故選 b. 第卷(非選擇題 共 100 分) 二、填空題:本大題共 5 小題,每小題 5 分,共 25 分. 11.(2014 四川,理 11)復(fù)數(shù)2-2i1+i= . 答案:-2i 解析:2-2i1+i=(2-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-2-4i2=-2i. 12.(2014 四川,理 12)設(shè) f(x)是定義在 r 上的周期為 2 的函數(shù),當(dāng) x-1,1)時,f(x)=-42+ 2,-1 x 0,0 -2,ar)有最大值,則 f(x)b. 其中的真命題有 .(寫出所有真命題的序號) 答案: 解析:對于,“f(x)a”說明 f(x)的值域為

12、 r,顯然能推出“br,ad,f(a)=b”,反之對滿足“br,ad,f(a)=b”的函數(shù)其值域也必為 r.所以為真命題; 對于,“函數(shù) f(x)b”“f(x)有最大值和最小值”.如函數(shù) f(x)=11+2的值域為(0,1-1,1,但 f(x)=11+2無最小值.但“f(x)有最大值和最小值”“f(x)b”. 綜上知為假命題; 對于,因為 f(x)a,所以 f(x)的值域為 r. 因為 g(x)b,所以存在正數(shù) m 使得-mg(x)m, 所以 f(x)+g(x)的值域為 r-m,m=r. 所以 f(x)+g(x)b.因此為真命題; 對于,易證當(dāng) x-2 時,2+1 -12,12,要使 f(x)

13、=aln(x+2)+2+1(x-2,ar)有最大值,則 a 必為 0.此時f(x)=2+1b,故命題為真. 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.(本小題滿分 12 分)(2014 四川,理 16)已知函數(shù) f(x)=sin(3 +4). (1)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若 是第二象限角,f(3) =45cos( +4)cos 2,求 cos -sin 的值. 分析:在第(1)問,通過整體思想,將 3x+4看作一個整體,借助 y=sin x 的單調(diào)遞增區(qū)間,解不等式求出 x 的范圍得到f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,要注意 kz 不要漏

14、掉;在第(2)問,利用已知條件求出 f(3),然后利用和角公式展開整理,得到關(guān)于 sin +cos 與 cos -sin 的方程,再對 sin +cos 與 0 的關(guān)系進行討論,得到 cos -sin 的值. 解:(1)因為函數(shù) y=sin x 的單調(diào)遞增區(qū)間為-2+ 2k,2+ 2k,kz, 由-2+2k3x+42+2k,kz,得-4+23x12+23,kz. 所以,函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-4+23,12+23,kz. (2)由已知,有 sin( +4) =45cos( +4)(cos2-sin2), 所以 sin cos4+cos sin4 =45(coscos4-sinsin4)

15、(cos2-sin2), 即 sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ). 當(dāng) sin +cos =0 時,由 是第二象限角,知 =34+2k,kz. 8 / 15 此時,cos -sin =-2. 當(dāng) sin +cos 0 時,有(cos -sin )2=54. 由 是第二象限角,知 cos -sin b0)的焦距為 4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形. (1)求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè) f為橢圓 c 的左焦點,t 為直線 x=-3 上任意一點,過 f 作 tf的垂線交橢圓 c 于點 p,q. 證明:ot 平分線段 pq(其中 o 為坐標(biāo)原點

16、); 當(dāng)|最小時,求點 t 的坐標(biāo). 分析:在第(1)問中,利用已知條件,借助 a,b,c 的幾何意義,列出關(guān)于 a,b,c 的方程組,求出 a2,b2,然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;在第(2)問中,設(shè)出 t 點坐標(biāo),充分利用所給條件,表示出 pq 的方程,然后設(shè)出 p,q 兩點坐標(biāo),聯(lián)立曲線方程得到關(guān)于 y 的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出 pq 的中點坐標(biāo),最后利用斜率得出要證結(jié)論;在中,利用的結(jié)論,分別表示出|tf|,|pq|,然后借助基本不等式得到|的最小值并求出 t 點坐標(biāo). 13 / 15 (1)解:由已知可得2+ 2= 2b,2 = 22-2= 4, 解得 a2=6,b2=2

17、, 所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程是26+22=1. (2)證明:由(1)可得,f的坐標(biāo)是(-2,0),設(shè) t 點的坐標(biāo)為(-3,m). 則直線 tf的斜率 ktf=-0-3-(-2)=-m. 當(dāng) m0 時,直線 pq 的斜率 kpq=1.直線 pq 的方程是 x=my-2. 當(dāng) m=0 時,直線 pq 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. 設(shè) p(x1,y1),q(x2,y2),將直線 pq 的方程與橢圓 c 的方程聯(lián)立,得 = -2,26+22= 1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判別式 =16m2+8(m2+3)0. 所以 y1+y2=42+3,y1y2=-

18、22+3, x1+x2=m(y1+y2)-4=-122+3. 所以 pq 的中點 m 的坐標(biāo)為(-62+3,22+3). 所以直線 om 的斜率 kom=-3, 又直線 ot 的斜率 kot=-3,所以點 m 在直線 ot 上, 因此 ot 平分線段 pq. 解:由可得, |tf|=2+ 1, |pq|=(1-2)2+ (1-2)2 =(2+ 1)(1+ 2)2-412 =(2+ 1)(42+3)2-4-22+3 =24(2+1)2+3. 所以|=124(2+3)22+1 =124(2+ 1 +42+1+ 4) 124(4 + 4) =33. 14 / 15 當(dāng)且僅當(dāng) m2+1=42+1,即

19、m= 1 時,等號成立,此時|取得最小值. 所以當(dāng)|最小時,t 點的坐標(biāo)是(-3,1)或(-3,-1). 21.(本小題滿分 14 分)(2014 四川,理 21)已知函數(shù) f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,br,e=2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù). (1)設(shè) g(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù) g(x)在區(qū)間0,1上的最小值; (2)若 f(1)=0,函數(shù) f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點,求 a 的取值范圍. 分析:在第(1)問中,利用已知條件求出 g(x),然后借助導(dǎo)數(shù) g(x)求最值,在求解過程中需根據(jù)參數(shù) a 的取值范圍進行討論,再利用 g(x)在區(qū)間上的單調(diào)性求出

20、 g(x)的最值;在第(2)問中,充分利用 f(x)在(0,1)內(nèi)有零點這一條件,借助第(1)問的結(jié)論根據(jù)參數(shù) a 的范圍,結(jié)合區(qū)間端點處函數(shù)值的符號來判斷在區(qū)間內(nèi)是否存在零點,從而得到 a 的取值范圍. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f(x)=ex-2ax-b. 所以 g(x)=ex-2a. 因此,當(dāng) x0,1時,g(x)1-2a,e-2a. 當(dāng) a12時,g(x)0,所以 g(x)在0,1上單調(diào)遞增, 因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(0)=1-b; 當(dāng) ae2時,g(x)0,所以 g(x)在0,1上單調(diào)遞減, 因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 當(dāng)12ae2時,令 g(x)=0,得 x=ln(2a)(0,1). 所以函數(shù) g(x)在區(qū)間0,ln(2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln(2a),1上單調(diào)遞增. 于是,g(x)在0,1上的最小值是 g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b. 綜上所述,當(dāng) a12時,g(x)在0,1上的最小值是 g(0)=1-b; 當(dāng)12ae2時,g(x)在0,1上的最小值是 g