2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江西卷)理 (2)

1、2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷和第卷兩部分,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.參考公式2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)第卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2014江西,理1)z是z的共軛復(fù)數(shù),若z+z=2,(z-z)i=2(i為虛數(shù)單位),則z=(). a.1+ib.-1-ic.-1+id.1-i答案:d解析:設(shè)z=a+bi(ar,br),則z=a-bi.由z+z=2,得2a=2,即a=1;又由(z-z)i=2,得2bi·i=2,即b=

2、-1.故z=1-i.2.(2014江西,理2)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?).a.(0,1)b.0,1c.(-,0)(1,+)d.(-,01,+)答案:c解析:由題意可知x2-x>0,解得x<0或x>1.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,0)(1,+).3.(2014江西,理3)已知函數(shù)f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(ar),若fg(1)=1,則a=().a.1b.2c.3d.-1答案:a解析:由題意可知fg(1)=1=50,得g(1)=0,則a-1=0,即a=1.故選a.4.(2014江西,理4)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c2

3、=(a-b)2+6,c=3,則abc的面積是().a.3b.932c.332d.33答案:c解析:在abc中,由已知條件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos 3,整理得ab=6,再由面積公式s=12absin c,得sabc=12×6×sin3=323.故選c.5.(2014江西,理5)一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是().答案:b解析:俯視圖為在水平投射面上的正投影,結(jié)合幾何體可知選b.6.(2014江西,理6)某人研究中學(xué)生的性別與成績(jī)、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量的關(guān)系,隨機(jī)抽查52名中學(xué)生,得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4,則與

4、性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是().表1成績(jī)性別不及格及格總計(jì)男61420女102232總計(jì)163652表2視力性別好差總計(jì)男41620女122032總計(jì)163652表3智商性別偏高正常總計(jì)男81220女82432總計(jì)163652表4閱讀量性別豐富不豐富總計(jì)男14620女23032總計(jì)163652a.成績(jī)b.視力c.智商d.閱讀量答案:d解析:根據(jù)2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入題中數(shù)據(jù)計(jì)算得d選項(xiàng)2最大.故選d.7.(2014江西,理7)閱讀如下程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為().a.7b.9c.10d.11答案:b解析:通過(guò)對(duì)程序框圖

5、的分析可知,該循環(huán)是一個(gè)根據(jù)判斷條件不斷累加的過(guò)程,i=7時(shí),s=0+lg13+lg35+lg57+lg79=lg19>-1,i=9時(shí),s=0+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=lg111<-1,i=9.故選b.8.(2014江西,理8)若f(x)=x2+201 f(x)dx,則01 f(x)dx=().a.-1b.-13c.13d.1答案:b解析:01 f(x)dx=01 x2dx+01 201f(x)dxdx=13x3|01+201f(x)dxx|01=13+201 f(x)dx,01 f(x)dx=-13.故選b.9.(2014江西,理9)在平面直角坐標(biāo)系中

6、,a,b分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以ab為直徑的圓c與直線2x+y-4=0相切,則圓c面積的最小值為().a.45b.34c.(6-25)d.54答案:a解析:由題意可知圓c的圓心(設(shè)其為m)為線段ab的中點(diǎn),且圓c過(guò)原點(diǎn)(0,0),圓c與直線2x+y-4=0相切,圓c的圓心m到原點(diǎn)(0,0)的距離等于m點(diǎn)到直線2x+y-4=0的距離.由拋物線的定義可知,圓c的圓心m的軌跡是以(0,0)為焦點(diǎn),2x+y-4=0為準(zhǔn)線的拋物線.如圖所示.要使圓c面積最小,則需找出圓c半徑的最小值.由拋物線和準(zhǔn)線的關(guān)系可知拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短,即為(0,0)到直線2x+y-4=0的距離的一半.因此,圓c

7、半徑的最小值為rmin=45×12=255.故圓c面積的最小值為rmin2=×2552=45.10.(2014江西,理10)如圖,在長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1中,ab=11,ad=7,aa1=12,一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)a射向點(diǎn)e(4,3,12),遇長(zhǎng)方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的線段記為li(i=2,3,4),l1=ae,將線段l1,l2,l3,l4豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是().答案:c解析:因?yàn)?4>711,所以連接a1e并延長(zhǎng)交d1c1于點(diǎn)f,過(guò)點(diǎn)f作fm垂直dc于點(diǎn)m.在矩形aa1fm中分析反射情況:由于am=

8、353>10,第二次反射點(diǎn)為e1在線段am上,此時(shí)e1m=53,第三次反射點(diǎn)為e2在線段fm上,此時(shí)e2m=4,第四次反射點(diǎn)為e3在線段a1f上,由圖可知,應(yīng)選c.二、選做題:請(qǐng)考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則按所做的第一題評(píng)閱計(jì)分,本題共5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.11.(2014江西,理11)(1)(不等式選做題)對(duì)任意x,yr,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為().a.1b.2c.3d.4(2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則線段y=1-x(0x1)的極坐標(biāo)方程為

9、().a.=1cos+sin,02b.=1cos+sin,04c.=cos +sin ,02d.=cos +sin ,04(1)答案:c解析:|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,當(dāng)且僅當(dāng)(1-x)·x0,(1-y)·(1+y)0,即0x1,-1y1時(shí)等號(hào)成立,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為3.(2)答案:a解析:由x=cos ,y=sin ,y=1-x可得sin =1-cos ,即=1cos+sin,再結(jié)合線段y=1-x(0x1)在極坐

10、標(biāo)系中的情形,可知0,2.因此線段y=1-x(0x1)的極坐標(biāo)方程為=1cos+sin,02.故選a.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.12.(2014江西,理12)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是. 答案:12解析:本題屬于古典概型,由古典概型概率公式可得所求概率為c31c73c104=12.13.(2014江西,理13)若曲線y=e-x上點(diǎn)p處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是. 答案:(-ln 2,2)解析:設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x0,e-x0),則由題意知,y'|x=x0=-e-x0=-2,得

11、x0=-ln 2,又e-x0=eln 2=2,故點(diǎn)p的坐標(biāo)是(-ln 2,2).14.(2014江西,理14)已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos =13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為,則cos =. 答案:223解析:由已知得cos =a·b|a|b|=(3e1-2e2)·(3e1-e2)a2·b2=9|e1|2-9e1·e2+2|e2|29|e1|2+4|e2|2-12e1·e2·9|e1|2+|e2|2-6e1·e2,e1與e2是單位向量,其夾角為,且cos =13,|e1|2=|e2

12、|2=1,e1·e2=|e1|e2|cos =13.cos =9-9×13+29+4-12×13·9+1-6×13=232.15.(2014江西,理15)過(guò)點(diǎn)m(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于a,b兩點(diǎn),若m是線段ab的中點(diǎn),則橢圓c的離心率等于. 答案:22解析:由題意可設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則可得x12a2+y12b2=1(a>b>0),x22a2+y22b2=1(a>b>0).  -,并整理得x1+x2a2(

13、y1+y2)=-y1-y2b2(x1-x2).(*)m是線段ab的中點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)m(1,1)的直線斜率為-12,x1+x2=2,y1+y2=2,k=y1-y2x1-x2=-12.(*)式可化為1a2=12b2,即a2=2b2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,即c2a2=12.e=ca=22.四、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2014江西,理16)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)+acos(x+2),其中ar,-2,2.(1)當(dāng)a=2,=4時(shí),求f(x)在區(qū)間0,上的最大值與最小值;(2)若f2=0,f()=1,求a,的

14、值.分析:(1)先將a=2,=4代入f(x),再利用兩角和的正弦公式和余弦公式對(duì)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn),最終化成一個(gè)三角函數(shù)值的形式,根據(jù)所給角的范圍,借助于數(shù)形結(jié)合求出最大值和最小值;(2)利用所給條件列出方程聯(lián)立成方程組求出a,.解:(1)f(x)=sinx+4+2cosx+2=22(sin x+cos x)-2sin x=22cos x-22sin x=sin4-x,因?yàn)閤0,從而4-x-34,4.故f(x)在0,上的最大值為22,最小值為-1.(2)由f2=0,f()=1,得cos(1-2asin)=0,2asin2-sin-a=1,又-2,2,知cos 0,解得a=-1,=-6.17.(本

15、小題滿分12分)(2014江西,理17)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列an,bn(bn0,nn*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.(1)令cn=anbn,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式;(2)若bn=3n-1,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn.分析:(1)根據(jù)cn=anbn,將anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0轉(zhuǎn)化,將cn構(gòu)造成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的知識(shí)求出通項(xiàng)cn.(2)借助于(1)的結(jié)論可先求出an,利用求數(shù)列前n項(xiàng)和的方法(本題用錯(cuò)位相減法)求出an的前n項(xiàng)和sn.解:(1)因?yàn)閍nbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nn*),所以an+1bn+1-anbn=2

16、,即cn+1-cn=2.所以數(shù)列cn是以首項(xiàng)c1=1,公差d=2的等差數(shù)列,故cn=2n-1.(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,于是數(shù)列an前n項(xiàng)和sn=1·30+3·31+5·32+(2n-1)·3n-1,3sn=1·31+3·32+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,相減得-2sn=1+2·(31+32+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,所以sn=(n-1)3n+1.18.(本小題滿分12分)(2014江西,理18)已知函數(shù)f(x)=

17、(x2+bx+b)1-2x(br).(1)當(dāng)b=4時(shí),求f(x)的極值;(2)若f(x)在區(qū)間0,13上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.分析:(1)先將b=4代入f(x),再對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),求出導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)的根,再判斷根附近的導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào),求出極值點(diǎn),進(jìn)而求出f(x)的極值.(2)由f(x)在區(qū)間0,13上單調(diào)遞增,可知導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間0,13上恒有f'(x)0成立,依此求出b的取值范圍.解:(1)當(dāng)b=4時(shí),f'(x)=-5x(x+2)1-2x,由f'(x)=0得x=-2或x=0.當(dāng)x(-,-2)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x

18、(-2,0)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x0,12時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故f(x)在x=-2取極小值f(-2)=0,在x=0取極大值f(0)=4.(2)f'(x)=-x5x+(3b-2)1-2x,因?yàn)楫?dāng)x0,13時(shí),-x1-2x<0,依題意當(dāng)x0,13時(shí),有5x+(3b-2)0,從而53+(3b-2)0.所以b的取值范圍為-,19.19.(本小題滿分12分)(2014江西,理19)如圖,四棱錐p-abcd中,abcd為矩形,平面pad平面abcd.(1)求證:abpd;(2)若bpc=90°,pb=2,pc=2,問(wèn)

19、ab為何值時(shí),四棱錐p-abcd的體積最大?并求此時(shí)平面pbc與平面dpc夾角的余弦值.分析:(1)要證abpd,只需證ab平面pad,只要尋求線面垂直成立的條件,利用已知條件中的垂直關(guān)系即可得證.(2)先根據(jù)已知條件確定ab的長(zhǎng),使得四棱錐p-abcd的大小固定,再建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,借助于兩平面的法向量求出兩個(gè)平面夾角的余弦值.(1)證明:abcd為矩形,故abad;又平面pad平面 abcd,平面pad平面abcd=ad,所以ab平面pad,故abpd.(2)解:過(guò)p作ad的垂線,垂足為o,過(guò)o作bc的垂線,垂足為g,連接pg.故po平面abcd,bc平面pog,bcpg,在rtb

20、pc中,pg=233,gc=263,bg=63,設(shè)ab=m,則op=pg2-og2=43-m2,故四棱錐p-abcd的體積為v=13·6·m·43-m2=m38-6m2.因?yàn)閙8-6m2=8m2-6m4=-6m2-232+83,故當(dāng)m=63,即ab=63時(shí),四棱錐p-abcd的體積最大.此時(shí),建立如圖所示的坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)為o(0,0,0),b63,-63,0,c63,263,0,d0,263,0,p0,0,63.故pc=63,263,-63,bc=(0,6,0),cd=-63,0,0,設(shè)平面bpc的法向量n1=(x,y,1),則由n1pc,n1bc得63x+2

21、63y-63=0,6y=0,解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面dpc的法向量n2=0,12,1,從而平面bpc與平面dpc夾角的余弦值為cos =|n1·n2|n1|n2|=12·14+1=105.20.(本小題滿分13分)(2014江西,理20)如圖,已知雙曲線c:x2a2-y2=1(a>0)的右焦點(diǎn)為f,點(diǎn)a,b分別在c的兩條漸近線上,afx軸,abob,bfoa(o為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線c的方程;(2)過(guò)c上一點(diǎn)p(x0,y0)(y00)的直線l1:x0xa2-y0y=1與直線af相交于點(diǎn)m,與直線x=32相交于點(diǎn)n,證明:當(dāng)點(diǎn)p在c

22、上移動(dòng)時(shí),|mf|nf|恒為定值,并求此定值.分析:(1)先根據(jù)雙曲線方程中a,b,c的關(guān)系列出一個(gè)方程,再根據(jù)其他已知條件afx軸,abob,bfoa再列出一個(gè)方程,兩個(gè)方程聯(lián)立成方程組可求出a,進(jìn)而得到雙曲線c的方程.(2)利用解方程組的方法分別求出m,n點(diǎn)的坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|mf|2|nf|2,因點(diǎn)p(x0,y0)在曲線c上,用第(1)問(wèn)的結(jié)論消去y0,化簡(jiǎn)即可得到|mf|2|nf|2的值,進(jìn)而確定|mf|nf|的值.解:(1)設(shè)f(c,0),因?yàn)閎=1,所以c=a2+1.直線ob方程為y=-1ax,直線bf的方程為y=1a(x-c),解得bc2,-c2a.又直線oa的

23、方程為y=1ax,則ac,ca,kab=ca-c2ac-c2=3a.又因?yàn)閍bob,所以3a·-1a=-1,解得a2=3,故雙曲線c的方程為x23-y2=1.(2)由(1)知a=3,則直線l的方程為x0x3-y0y=1(y00),即y=x0x-33y0.因?yàn)橹本€af的方程為x=2,所以直線l與af的交點(diǎn)m2,2x0-33y0;直線l與直線x=32的交點(diǎn)為n32,32x0-33y0.則|mf|2|nf|2=(2x0-3)2(3y0)214+32x0-32(3y0)2=(2x0-3)29y024+94(x0-2)2=43·(2x0-3)23y02+3(x0-2)2,因?yàn)閜(x0

24、,y0)是c上一點(diǎn),則x023-y02=1,代入上式得|mf|2|nf|2=43·(2x0-3)2x02-3+3(x0-2)2=43·(2x0-3)24x02-12x0+9=43,所求定值為|mf|nf|=23=233.21.(本小題滿分14分)(2014江西,理21)隨機(jī)將1,2,2n(nn*,n2)這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成a,b兩組,每組n個(gè)數(shù),a組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2;b組最小數(shù)為b1,最大數(shù)為b2,記=a2-a1,=b2-b1.(1)當(dāng)n=3時(shí),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)令c表示事件“與的取值恰好相等”,求事件c發(fā)生的概率p(c);(3)對(duì)(2)中的事件c,c表示c的對(duì)立事件,判斷p(c)和p(c)的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.分析:(1)當(dāng)n=3時(shí)就是具體的6個(gè)數(shù),先指明的所有可能取值,再根據(jù)題意列出的分布列,利用數(shù)學(xué)期望公式求出的數(shù)學(xué)期望.(2)先確定和恰好相等時(shí)的可能取值,再確定取各個(gè)值時(shí)的不同分組方法,再分類求出p(c).(3)借助(2)的結(jié)論,先猜想p(c)與p(c)的大小關(guān)系,用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想結(jié)論的正確性(注意