2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數學(天津卷)

1、1 / 15 絕密 啟用前 2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數學(天津卷,文) 本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共 150 分.考試用時 120 分鐘.第卷 1 至2 頁,第卷 3 至 5 頁. 答卷前,考生務必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時,考生務必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利! 第卷 注意事項: 1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號. 2.本卷共 8 小題,每小題 5分,共 40分.

2、 參考公式: 如果事件 a,b 互斥,那么 p(ab)=p(a)+p(b). 圓柱的體積公式 v=sh,其中 s表示圓柱的底面面積,h 表示圓柱的高. 棱錐的體積公式 v=13sh,其中 s表示棱錐的底面面積,h 表示棱錐的高. 一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的. 1.(2019 天津,文 1)設集合 a=-1,1,2,3,5,b=2,3,4,c=xr|1x3,則(ac)b=( ) a.2 b.2,3 c.-1,2,3 d.1,2,3,4 2 / 15 命題點集合的運算. 解題思路先求 ac,再求(ac)b. 解析 ac=1,2,(ac)b=1,2,3,4,故選

3、d. 答案 d 2.(2019 天津,文 2)設變量 x,y 滿足約束條件 + -2 0,- + 2 0, -1, -1,則目標函數 z=-4x+y的最大值為( ) a.2 b.3 c.5 d.6 命題點線性規(guī)劃. 解題思路畫出可行域,平移目標函數,確定最大值. 解析畫出可行域如圖,平移目標函數 z=-4x+y 可知過點 a 時取得最大值, 由 = -1,- + 2 = 0,得 a(-1,1). zmax=-4(-1)+1=5.故選 c. 答案 c 3.(2019 天津,文 3)設 xr,則“0 x5”是“|x-1|1”的 ( ) a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.

4、既不充分也不必要條件 3 / 15 命題點絕對值不等式,充分必要條件. 解題思路求解絕對值不等式,根據集合的包含關系確定充分必要條件. 解析由|x-1|1可得 0 x2.故“0 x5”是|x-1|1 的必要而不充分條件.故選 b. 答案 b 4.(2019 天津,文 4) 閱讀右邊的程序框圖,運行相應的程序,輸出 s的值為( ) a.5 b.8 c.24 d.29 命題點程序框圖. 解題思路根據題意,模擬程序框圖的運行過程,可得輸出結果. 解析 i=1,為奇數,s=1; i=2,為偶數,s=1+221=5; i=3,為奇數,s=8; i=4,此時 44,滿足要求,輸出 s=8. 4 / 15

5、故選 b. 答案 b 5.(2019 天津,文 5)已知 a=log27,b=log38,c=0.30.2,則 a,b,c 的大小關系為( ) a.cba b.abc c.bca d.calog24=2. b=log38log391. 又 c=0.30.21,故 cb0,b0)的兩條漸近線分別交于點 a 和點 b,且|ab|=4|of|(o 為原點),則雙曲線的離心率為( ) a.2 b.3 c.2 d.5 命題點拋物線方程、雙曲線性質. 解題思路由拋物線方程求得準線方程,利用|ab|=4|of|列方程求解. 解析由拋物線方程可得 l的方程為 x=-1. 由 =, = -1,得 y1=-. 由

6、 = -, = -1,得 y2=. ab=2. 由|ab|=4|of|得2=4,故=2. 5 / 15 2=2+22=522. e=5,故選 d. 答案 d 7.(2019 天津,文 7)已知函數 f(x)=asin(x+)(a0,0,|)是奇函數,且 f(x)的最小正周期為 ,將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的 2 倍(縱坐標不變),所得圖象對應的函數為 g(x).若g4=2,則 f38=( ) a.-2 b.-2 c.2 d.2 命題點三角函數的圖象及性質. 解題思路先求函數解析式,再求值. 解析已知函數為奇函數,且| 1.若關于 x的方程 f(x)=-14x+a(ar)恰有

7、兩個互異的實數解,則 a 的取值范圍為( ) a.54,94 b.54,94 6 / 15 c.54,941 d.54,941 命題點函數的零點,分段函數. 解題思路分別畫出函數圖象,利用有兩個相異點確定 a 的范圍. 解析 當直線過點 a(1,1)時,有 1=-14+a,得 a=54. 當直線過點 b(1,2)時,有 2=-14+a,a=94. 故當54a94時,有兩個相異點. 當 x1時,f(x0)=-102=-14,x0=2. 此時切點為 2,12,此時 a=1.故選 d. 答案 d 第卷 注意事項: 1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2.本卷共 12 小題,共 110

8、分. 二、填空題:本大題共 6小題,每小題 5分,共 30 分. 9.(2019 天津,文 9)i是虛數單位,則|5-i1+i|的值為 . 7 / 15 命題點復數的運算. 解題思路先用復數的除法化簡,再求模. 解析5-i1+i=(5-i)(1-i)2=4-6i2=2-3i. |5-i1+i| = 4 + 9 = 13. 答案13 10.(2019 天津,文 10)設 xr,使不等式 3x2+x-20成立的 x 的取值范圍為 . 命題點一元二次不等式. 解題思路分解因式,求解. 解析由 3x2+x-20,得(x+1)(3x-2)0. 解得-1x0,y0,x+2y=4,則(+1)(2+1)的最小

9、值為 . 命題點基本不等式. 解題思路先化簡,利用 xy的范圍求解. 解析(+1)(2+1)=2+2+1 9 / 15 =2+5=2+5. x+2y=4,422, 2xy4.112. 2+52+52=92. 答案92 14.(2019 天津,文 14)在四邊形 abcd中,adbc,ab=23,ad=5,a=30,點 e在線段 cb的延長線上,且 ae=be,則 = . 命題點解三角形,平面向量數量積. 解題思路利用平行及 ea=eb,求出 eb=ea=2,將 轉化為已知的邊角求解. 解析 adbc,且dab=30, abe=30. ea=eb, eab=30. aeb=120. 在aeb中,

10、ea=eb=2, =( + ) ( ) =- 2+ + + 10 / 15 =-12+232cos 30+523cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1. 答案-1 三、解答題:本大題共 6小題,共 80 分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟. 15.(2019 天津,文 15)(本小題滿分 13 分)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有 72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取 25人調查專項附加扣除的享受情況. (1

11、)應從老、中、青員工中分別抽取多少人? (2)抽取的 25 人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有 6 人,分別記為 a,b,c,d,e,f.享受情況如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.現(xiàn)從這 6 人中隨機抽取 2 人接受采訪. 員工 項目 a b c d e f 子女教育 繼續(xù)教育 大病醫(yī)療 住房貸款利息 住房租金 贍養(yǎng)老人 試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果; 設 m 為事件“抽取的 2 人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件 m 發(fā)生的概率. 解(1)由已知,老、中、青員工人數之比為 6910,由于采用分層抽樣的方法從中抽取 25 位員工,因此應從老、中、青員工中分別抽取

12、6 人,9人,10 人. (2)從已知的 6人中隨機抽取 2 人的所有可能結果為a,b,a,c,a,d,a,e,a,f,b,c,b,d,b,e,b,f,c,d,c,e,c,f,d,e,d,f,e,f,共15 種. 11 / 15 由表格知,符合題意的所有可能結果為a,b,a,d,a,e,a,f,b,d,b,e,b,f,c,e,c,f,d,f,e,f,共 11種. 所以,事件 m 發(fā)生的概率 p(m)=1115. 點評本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力. 16.(2019 天津,文 16)(本小

13、題滿分 13 分)在abc中,內角 a,b,c所對的邊分別為 a,b,c.已知b+c=2a,3csin b=4asin c. (1)求 cos b的值; (2)求 sin 2b+6的值. 解(1)在abc 中,由正弦定理sin=sin,得 bsin c=csin b,又由 3csin b=4asin c,得 3bsin c=4asin c,即3b=4a.又因為 b+c=2a,得到 b=43a,c=23a.由余弦定理可得 cos b=2+2-22=2+492-1692223=-14. (2)由(1)可得 sin b=1-cos2 =154,從而 sin 2b=2sin bcos b=-158,c

14、os 2b=cos2b-sin2b=-78,故sin 2b+6=sin 2bcos 6+cos 2bsin 6=-158327812=-35+716. 點評本小題主要考查同角三角函數的基本關系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查運算求解能力. 17.(2019 天津,文 17)(本小題滿分 13 分) 如圖,在四棱錐 p-abcd中,底面 abcd為平行四邊形,pcd為等邊三角形,平面 pac平面 pcd,pacd,cd=2,ad=3. (1)設 g,h 分別為 pb,ac的中點,求證:gh平面 pad; 12 / 15 (2)求證:pa平面 pc

15、d; (3)求直線 ad與平面 pac所成角的正弦值. (1)證明連接 bd,易知 acbd=h,bh=dh.又由 bg=pg,故 ghpd.又因為 gh平面 pad,pd平面 pad,所以 gh平面 pad. (2)證明取棱 pc 的中點 n,連接 dn,依題意,得 dnpc,又因為平面 pac平面 pcd,平面 pac平面pcd=pc,所以 dn平面 pac,又 pa平面 pac,故 dnpa.又已知 pacd,cddn=d,所以 pa平面 pcd. (3)解連接 an,由(2)中 dn平面 pac,可知dan為直線 ad 與平面 pac 所成的角. 因為pcd為等邊三角形,cd=2且 n

16、 為 pc 的中點,所以 dn=3,又 dnan,在 rtand 中,sindan=33. 所以,直線 ad 與平面 pac所成角的正弦值為33. 點評本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識.考查空間想象能力和推理論證能力. 18.(2019 天津,文 18)(本小題滿分 13 分)設an是等差數列,bn是等比數列,公比大于 0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通項公式; (2)設數列cn滿足 cn=1,為奇數,2,為偶數,求 a1c1+a2c2+a2nc2n(nn*). 解(1)設等差數列an的公差為

17、 d,等比數列bn的公比為 q.依題意,得3 = 3 + 2,32= 15 + 4.解得 = 3, = 3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=33n-1=3n. 13 / 15 所以,an的通項公式為 an=3n,bn的通項公式為 bn=3n. (2)a1c1+a2c2+a2nc2n =(a1+a3+a5+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn) = n3+(-1)26 +(631+1232+1833+6n3n) =3n2+6(131+232+n3n). 記 tn=131+232+n3n, 則 3tn=132+233+n3n+1, -得,2tn=-3-32-33-3n+n

18、3n+1=-3(1-3)1-3+n3n+1=(2-1)3+1+32. 所以,a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6tn=3n2+3(2-1)3+1+32=(2-1)3+2+62+92(nn*). 點評本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式及其前 n 項和公式等基礎知識.考查數列求和的基本方法和運算求解能力. 19.(2019 天津,文 19)(本小題滿分 14 分)設橢圓22+22=1(ab0)的左焦點為 f,左頂點為 a,上頂點為b,已知3|oa|=2|ob|(o為原點). (1)求橢圓的離心率; (2)設經過點 f且斜率為34的直線 l與橢圓在 x 軸上方的交點為 p,圓 c 同

19、時與 x軸和直線 l相切,圓心c在直線 x=4上,且 ocap.求橢圓的方程. 解(1)設橢圓的半焦距為 c,由已知有3a=2b,又由 a2=b2+c2,消去 b得 a2=32a2+c2,解得=12. 所以,橢圓的離心率為12. 14 / 15 (2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為242+232=1,由題意,f(-c,0),則直線 l的方程為 y=34(x+c).點p 的坐標滿足242+232= 1, =34( + ),消去 y并化簡,得到 7x2+6cx-13c2=0,解得 x1=c,x2=-137.代入到 l的方程,解得 y1=32c,y2=-914c.因為點 p在 x軸上方

20、,所以 p c,32c . 由圓心 c 在直線 x=4上,可設 c(4,t).因為 ocap,且由()知 a(-2c,0),故4=32+2,解得 t=2.因為圓 c 與 x 軸相切,所以圓的半徑長為 2,又由圓 c與 l相切,得|34(4+)-2|1+(34) 2=2,可得 c=2. 所以,橢圓的方程為216+212=1. 點評本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、圓等基礎知識.考查用代數方法研究圓錐曲線的性質.考查運算求解能力,以及用方程思想、數形結合思想解決問題的能力. 20.(2019 天津,文 20)(本小題滿分 14 分)設函數 f(x)=ln x-a(x-1)ex,其中 ar. (1)若 a0,討論 f(x)的單調性; (2)若 0ax0,證明 3