2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(全國(guó)卷Ⅲ) (2)

1、1 / 13 絕密 啟用前 2019 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(全國(guó)卷,理) 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.(2019 全國(guó),理 1)已知集合 a=-1,0,1,2,b=x|x21,則 ab=( ) a.-1,0,1 b.0,1 c.-1,1 d.0,1,2 解析 a=-1,0,1,2,b=x|-1x1,則 ab=-1,0,1.故選 a. 答案 a 2.(2019 全國(guó),理 2)若 z(1+i)=2i,則 z=( ) a.-1-i b.-1+i c.1-i d.1+i 解析 z=2i1+i=2i

2、(1-i)(1+i)(1-i)=2+2i2=1+i.故選 d. 答案 d 3.(2019 全國(guó),理 3)西游記三國(guó)演義水滸傳和紅樓夢(mèng)是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶,并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況,隨機(jī)調(diào)查了 100 位學(xué)生,其中閱讀過(guò)西游記或紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有 90 位,閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有 80 位.閱讀過(guò)西游記且閱讀過(guò)紅樓夢(mèng)的學(xué)生共有 60 位,則該校閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為( ) a.0.5 b.0.6 c.0.7 d.0.8 解析由題意得,閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)為 90-80+60=70,則該校閱讀過(guò)西游記的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的

3、估計(jì)值為70100=0.7.故選 c. 答案 c 4.(2019 全國(guó),理 4)(1+2x2)(1+x)4的展開式中 x3的系數(shù)為( ) a.12 b.16 c.20 d.24 解析(1+2x2)(1+x)4的展開式中 x3的系數(shù)為c43+2c41=4+8=12.故選 a. 答案 a 5.(2019 全國(guó),理 5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前 4 項(xiàng)和為 15,且 a5=3a3+4a1,則 a3=( ) a.16 b.8 c.4 d.2 解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q(q0), 2 / 13 則1(1-4)1-= 15,14= 312+ 41,解得1= 1, = 2, 所以 a3=a1q

4、2=122=4.故選 c. 答案 c 6.(2019 全國(guó),理 6)已知曲線 y=aex+xln x 在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為 y=2x+b,則( ) a.a=e,b=-1 b.a=e,b=1 c.a=e-1,b=1 d.a=e-1,b=-1 解析y=aex+ln x+1, k=y|x=1=ae+1=2, ae=1,a=e-1. 將點(diǎn)(1,1)代入 y=2x+b,得 2+b=1, b=-1. 答案 d 7.(2019 全國(guó),理 7)函數(shù) y=232+2-在-6,6的圖像大致為( ) 解析設(shè) y=f(x)=232+2-, 則 f(-x)=2(-)32-+2=-232+2-=-f(x), 故

5、 f(x)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,排除選項(xiàng) c. f(4)=24324+2-40,排除選項(xiàng) d. f(6)=26326+2-67,排除選項(xiàng) a. 故選 b. 答案 b 3 / 13 8.(2019 全國(guó),理 8)如圖,點(diǎn) n 為正方形 abcd的中心,ecd為正三角形,平面 ecd平面 abcd,m是線段 ed的中點(diǎn),則( ) a.bm=en,且直線 bm,en是相交直線 b.bmen,且直線 bm,en是相交直線 c.bm=en,且直線 bm,en是異面直線 d.bmen,且直線 bm,en是異面直線 解析如圖,連接 bd,be. 在bde中,n為 bd 的中點(diǎn),m為 de 的中點(diǎn), b

6、m,en 是相交直線, 排除選項(xiàng) c、d. 作 eocd于點(diǎn) o,連接 on. 作 mfod 于點(diǎn) f,連接 bf. 平面 cde平面 abcd,平面 cde平面 abcd=cd,eocd,eo平面 cde, eo平面 abcd. 同理,mf平面 abcd. mfb 與eon 均為直角三角形. 設(shè)正方形 abcd的邊長(zhǎng)為 2,易知 eo=3,on=1,mf=32,bf=22+94=52, 則 en=3 + 1=2,bm=34+254= 7, bmen.故選 b. 答案 b 9.(2019 全國(guó),理 9)執(zhí)行下邊的程序框圖,如果輸入的 為 0.01,則輸出 s 的值等于( ) 4 / 13 a.

7、2-124 b.2-125 c.2-126 d.2-127 解析 x=1,s=0,s=0+1,x=120.01,s=0+1+12,x=140.01,s=0+1+12+126,x=127f(2-32)f(2-23) 5 / 13 b.f(log314)f(2-23)f(2-32) c.f(2-32)f(2-23)f(log314) d.f(2-23)f(2-32)f(log314) 解析f(x)是 r 上的偶函數(shù), f(log314)=f(-log34)=f(log34). 又 y=2x在 r 上單調(diào)遞增, log341=202-23 2-32. 又 f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減, f(l

8、og34)f(2-23)f(2-23)f(log314).故選 c. 答案 c 12.(2019 全國(guó),理 12)設(shè)函數(shù) f(x)=sin( +5)(0),已知 f(x)在0,2有且僅有 5個(gè)零點(diǎn),下述四個(gè)結(jié)論: f(x)在(0,2)有且僅有 3個(gè)極大值點(diǎn) f(x)在(0,2)有且僅有 2個(gè)極小值點(diǎn) f(x)在(0,10)單調(diào)遞增 的取值范圍是125,2910) 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( ) a. b. c. d. 解析f(x)=sin( +5)(0)在區(qū)間0,2上有且僅有 5 個(gè)零點(diǎn), 52+56, 解得1252910,故正確. 畫出 f(x)的圖像(圖略),由圖易知正確,不正確. 當(dāng) 0

9、 x10時(shí),5x+510+5, 又1252910,10+529100+20100=491002, 6 / 13 正確. 綜上可知正確.故選 d. 答案 d 二、填空題:本題共 4小題,每小題 5分,共 20分。 13.(2019 全國(guó),理 13)已知 a,b 為單位向量,且 a b=0,若 c=2a-5b,則 cos=. 解析a,b 為單位向量, |a|=|b|=1. 又 a b=0,c=2a-5b, |c|2=4|a|2+5|b|2-45a b=9,|c|=3. 又 a c=2|a|2-5a b=2, cos=|=213=23. 答案23 14.(2019 全國(guó),理 14)記 sn為等差數(shù)列

10、an的前 n項(xiàng)和.若 a10,a2=3a1,則105= . 解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d. a10,a2=3a1, a1+d=3a1,即 d=2a1. 105=101+109251+542=1001251=4. 答案 4 15.(2019 全國(guó),理 15)設(shè) f1,f2為橢圓 c:236+220=1 的兩個(gè)焦點(diǎn),m為 c 上一點(diǎn)且在第一象限.若mf1f2為等腰三角形,則 m的坐標(biāo)為 . 解析a2=36,b2=20, c2=a2-b2=16, c=4. 由題意得,|mf1|=|f1f2|=2c=8. |mf1|+|mf2|=2a=12, |mf2|=4. 設(shè)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(x0,y0)(x0

11、0,y00), 則12=12|f1f2|y0=4y0. 又12=12482-22=415, 4y0=415, 解得 y0=15. 7 / 13 又點(diǎn) m 在橢圓 c上,0236+(15)220=1, 解得 x0=3 或 x0=-3(舍去). 點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(3,15). 答案(3,15) 16.(2019 全國(guó),理 16)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用 3d打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體abcd-a1b1c1d1挖去四棱錐 o-efgh后所得的幾何體,其中 o 為長(zhǎng)方體的中心,e,f,g,h分別為所在棱的中點(diǎn),ab=bc=6 cm,aa1=4 cm.3d 打印所用原料密度為 0.9 g/c

12、m3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g. 解析由題意得,四棱錐 o-efgh 的底面積為 46-41223=12(cm2),點(diǎn) o到平面 bb1c1c的距離為 3 cm,則此四棱錐的體積為 v1=13123=12(cm3). 又長(zhǎng)方體 abcd-a1b1c1d1的體積為 v2=466=144(cm3), 則該模型的體積為 v=v2-v1=144-12=132(cm3).故其質(zhì)量為 0.9132=118.8(g). 答案 118.8 三、解答題:共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第 1721 題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題,考生根

13、據(jù)要求作答。 (一)必考題:共 60 分。 17.(12分) (2019全國(guó),理 17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將 200 只小鼠隨機(jī)分成 a,b兩組,每組 100 只,其中 a組小鼠給服甲離子溶液,b組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖: 甲離子殘留百分比直方圖 8 / 13 乙離子殘留百分比直方圖 記 c 為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5.5”,根據(jù)直方圖得到 p(c)的估計(jì)值為 0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a

14、,b 的值; (2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表). 解(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15, 故 a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00. 18.(12分) (2019全國(guó),理 18)abc的內(nèi)角 a,b,c 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 asin+2=bsin a.

15、 (1)求 b; (2)若abc為銳角三角形,且 c=1,求abc面積的取值范圍. 解(1)由題設(shè)及正弦定理得 sin asin+2=sin bsin a. 因?yàn)?sin a0,所以 sin+2=sin b. 由 a+b+c=180,可得 sin+2=cos2, 故 cos2=2sin2cos2. 因?yàn)?cos20,故 sin2=12,因此 b=60. (2)由題設(shè)及(1)知abc的面積 sabc=34a. 由正弦定理得 a=sinsin=sin(120-)sin=32tan+12. 由于abc 為銳角三角形,故 0a90,0c90. 由(1)知 a+c=120,所以 30c90, 故12a2

16、,從而38sabc32. 9 / 13 因此,abc 面積的取值范圍是(38,32). 19.(12分) (2019全國(guó),理 19)圖 1是由矩形 adeb,rtabc和菱形 bfgc組成的一個(gè)平面圖形,其中ab=1,be=bf=2,fbc=60.將其沿 ab,bc折起使得 be與 bf重合,連結(jié) dg,如圖 2. (1)證明:圖 2 中的 a,c,g,d四點(diǎn)共面,且平面 abc平面 bcge; (2)求圖 2 中的二面角 b-cg-a 的大小. (1)證明由已知得 adbe,cgbe,所以 adcg, 故 ad,cg 確定一個(gè)平面,從而 a,c,g,d四點(diǎn)共面. 由已知得 abbe,abbc

17、,故 ab平面 bcge. 又因?yàn)?ab平面 abc, 所以平面 abc平面 bcge. (2)解作 ehbc,垂足為 h. 因?yàn)?eh平面 bcge,平面 bcge平面 abc,所以 eh平面 abc. 由已知,菱形 bcge 的邊長(zhǎng)為 2,ebc=60,可求得 bh=1,eh=3. 以 h 為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)?x 軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 h-xyz, 則 a(-1,1,0),c(1,0,0),g(2,0,3), =(1,0,3), =(2,-1,0). 設(shè)平面 acgd 的法向量為 n=(x,y,z), 則 = 0, = 0,即 + 3 = 0,2- = 0. 所以可

18、取 n=(3,6,-3). 又平面 bcge 的法向量可取為 m=(0,1,0), 所以 cos=|=32. 因此二面角 b-cg-a的大小為 30. 20.(12分) (2019全國(guó),理 20)已知函數(shù) f(x)=2x3-ax2+b. (1)討論 f(x)的單調(diào)性; (2)是否存在 a,b,使得 f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為 1?若存在,求出 a,b 的所有值;若不存在,說(shuō)明理由. 10 / 13 解(1)f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a). 令 f(x)=0,得 x=0或 x=3. 若 a0,則當(dāng) x(-,0)(3, + )時(shí),f(x)0; 當(dāng) x(0,3)時(shí),f(

19、x)0. 故 f(x)在(-,0),(3, + )單調(diào)遞增,在(0,3)單調(diào)遞減; 若 a=0,f(x)在(-,+)單調(diào)遞增; 若 a0; 當(dāng) x(3,0)時(shí),f(x)0. 故 f(x)在(-,3),(0,+)單調(diào)遞增,在(3,0)單調(diào)遞減. (2)滿足題設(shè)條件的 a,b 存在. ()當(dāng) a0時(shí),由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞增,所以 f(x)在區(qū)間0,1的最小值為 f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時(shí) a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) b=-1,2-a+b=1,即 a=0,b=-1. ()當(dāng) a3時(shí),由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞減,所以 f(x)在區(qū)間0,1的最大值為 f(0

20、)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時(shí) a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng) 2-a+b=-1,b=1,即 a=4,b=1. ()當(dāng) 0a3 時(shí),由(1)知,f(x)在0,1的最小值為 f(3)=-327+b,最大值為 b 或 2-a+b. 若-327+b=-1,b=1,則 a=323,與 0a3 矛盾. 若-a327+b=-1,2-a+b=1,則 a=33或 a=-33或 a=0,與 0a3矛盾. 綜上,當(dāng)且僅當(dāng) a=0,b=-1或 a=4,b=1時(shí),f(x)在0,1的最小值為-1,最大值為 1. 21.(12分) (2019全國(guó),理 21)已知曲線 c:y=22,d為直線 y=-12上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)

21、 d作 c 的兩條切線,切點(diǎn)分別為 a,b. (1)證明:直線 ab過(guò)定點(diǎn); (2)若以 e(0,52)為圓心的圓與直線 ab相切,且切點(diǎn)為線段 ab 的中點(diǎn),求四邊形 adbe 的面積. (1)證明設(shè) d(,-12),a(x1,y1),則12=2y1. 由于 y=x,所以切線 da 的斜率為 x1,故1+121-=x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 11 / 13 設(shè) b(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直線 ab的方程為 2tx-2y+1=0. 所以直線 ab 過(guò)定點(diǎn)(0,12). (2)解由(1)得直線 ab的方程為 y=tx+12. 由 = +12, =2

22、2可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1, |ab|=1 + 2|x1-x2|=1 + 2(1+ 2)2-412=2(t2+1). 設(shè) d1,d2分別為點(diǎn) d,e到直線 ab的距離, 則 d1=2+ 1,d2=22+1. 因此,四邊形 adbe 的面積 s=12|ab|(d1+d2)=(t2+3)2+ 1. 設(shè) m為線段 ab的中點(diǎn),則 m(,2+12). 由于 ,而 =(t,t2-2), 與向量(1,t)平行, 所以 t+(t2-2)t=0. 解得 t=0或 t=1. 當(dāng) t=0 時(shí),s=3;當(dāng) t=1時(shí),s=42.

23、 因此,四邊形 adbe 的面積為 3或 42. (二)選考題:共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。 22.(10分) (2019全國(guó),理 22)選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 如圖,在極坐標(biāo)系 ox中,a(2,0),b(2,4),c(2,34),d(2,),弧,所在圓的圓心分別是(1,0),(1,2),(1,),曲線 m1是弧,曲線 m2是弧,曲線 m3是弧. (1)分別寫出 m1,m2,m3的極坐標(biāo)方程; (2)曲線 m 由 m1,m2,m3構(gòu)成,若點(diǎn) p 在 m 上,且|op|=3,求 p 的極坐標(biāo). 解(1)由題設(shè)可得,弧,所在圓的極坐標(biāo)方程分別為 =2cos ,=