2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(廣東卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷共4頁(yè),21小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,用2b鉛筆將試卷類型(a)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.選擇題每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答.答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)

2、使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2b鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再作答.漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無(wú)效.5.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015廣東,文1)若集合m=-1,1,n=-2,1,0,則mn=()a.0,-1b.1c.0d.-1,1答案:b解析:因?yàn)閙,n的公共元素只有1,所以mn=1.2.(2015廣東,文2)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1+i)2=()a.2ib.-2ic.2d.-2答案:a解析:

3、(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015廣東,文3)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是()a.y=x+sin 2xb.y=x2-cos xc.y=2x+12xd.y=x2+sin x答案:d解析:a為奇函數(shù),b和c為偶函數(shù),d既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).4.(2015廣東,文4)若變量x,y滿足約束條件x+2y2,x+y0,x4,則z=2x+3y的最大值為()a.2b.5c.8d.10答案:b解析:約束條件表示的可行域如圖陰影部分所示,而z=2x+3y可變形為y=-23x+z3,z3表示直線y=-23x在y軸上的截距,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(4,-1)時(shí)z取最大

4、值,最大值為z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015廣東,文5)設(shè)abc的內(nèi)角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cos a=32且b<c,則b=()a.3b.22c.2d.3答案:c解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,得4=b2+12-2·b·23×32,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因?yàn)閎<c,所以b=2.6.(2015廣東,文6)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()a.l與l1,l2都不相交b.l與l1,l2都相交c

5、.l至多與l1,l2中的一條相交d.l至少與l1,l2中的一條相交答案:d解析:l1與l在平面內(nèi),l2與l在平面內(nèi),若l1,l2與l都不相交,則l1l,l2l,根據(jù)直線平行的傳遞性,則l1l2,與已知矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.7.(2015廣東,文7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()a.0.4b.0.6c.0.8d.1答案:b解析:設(shè)正品分別為a1,a2,a3,次品分別為b1,b2,從中任取2件產(chǎn)品,基本事件共有10種,分別為a1,a2,a1,a3,a2,a3,a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,a3,b1,a

6、3,b2,b1,b2,而其中恰有一件次品的基本事件有6種,由古典概型概率公式,得p=610=0.6.8.(2015廣東,文8)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為f1(-4,0),則m=()a.2b.3c.4d.9答案:b解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因?yàn)閙>0,所以m=3.9.(2015廣東,文9)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知四邊形abcd是平行四邊形,ab=(1,-2),ad=(2,1),則ad·ac=()a.5b.4c.3d.2答案:a解析:ac=ab+ad=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所

7、以ad·ac=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015廣東,文10)若集合e=(p,q,r,s)|0p<s4,0q<s4,0r<s4且p,q,r,sn,f=(t,u,v,w)|0t<u4,0v<w4且t,u,v,wn,用card(x)表示集合x(chóng)中的元素個(gè)數(shù),則card(e)+card(f)=()a.200b.150c.100d.50答案:a解析:e中有序數(shù)組的要求為s均大于p,q,r,當(dāng)s取4時(shí),p可取0,1,2,3,q也可取0,1,2,3,r也可取0,1,2,3,此時(shí)不同數(shù)組有4×4&

8、#215;4=64個(gè);同理當(dāng)s取3時(shí),p,q,r均可從0,1,2中任取1個(gè),此時(shí)不同數(shù)組有3×3×3=27個(gè);當(dāng)s取2時(shí),p,q,r可從0,1中任取1個(gè),不同數(shù)組有2×2×2=8個(gè);當(dāng)s取1時(shí),p,q,r只能都取0,不同數(shù)組有1個(gè),因此e中不同元素共有64+27+8+1=100個(gè).f中元素要求為t<u,v<w,當(dāng)u取4時(shí),t可取0,1,2,3;當(dāng)u取3時(shí),t可取0,1,2;當(dāng)u取2時(shí),t可取0,1;當(dāng)u取1時(shí),t取0,所以t,u的不同組合為10種.同理,v,w不同組合也有10種,故f中元素個(gè)數(shù)為10×10=100,所以card(e)

9、+card(f)=200.二、填空題:本大題共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.(一)必做題(1113題)11.(2015廣東,文11)不等式-x2-3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示) 答案:(-4,1)解析:不等式可化為x2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015廣東,文12)已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,xn的均值x=5,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值為. 答案:11解析:由題意,yi=2xi+1(i=1,2,n),則y=2x+1=2×5+1=11.13.(201

10、5廣東,文13)若三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,其中a=5+26,c=5-26,則b=. 答案:1解析:因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,即b2=(5+26)(5-26)=1.又b是正數(shù),所以b=1.(二)選做題(14-15題,考生只能從中選做一題)14.(2015廣東,文14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以原點(diǎn)o為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線c1的極坐標(biāo)方程為(cos +sin )=-2,曲線c2的參數(shù)方程為x=t2,y=22t,(t為參數(shù)),則c1與c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為. 答案:(2,-4)解析:(cos +sin )=-2

11、,曲線c1的直角坐標(biāo)方程為x+y=-2.由已知得曲線c2的普通方程為y2=8x.由x+y=-2,y2=8x,得y2+8y+16=0,解得y=-4,x=2.所以c1與c2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,-4).15.(2015廣東,文15)(幾何證明選講選做題)如圖,ab為圓o的直徑,e為ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)e作圓o的切線,切點(diǎn)為c,過(guò)a作直線ec的垂線,垂足為d.若ab=4,ce=23,則ad=. 答案:3解析:由切割線定理得ec2=eb·ea,即12=eb·(eb+4),可求得eb=2.連接oc,則ocde,所以ocad,所以eoea=ocad,即46=2ad,所以ad=

12、3.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2015廣東,文16)已知tan =2.(1)求tan+4的值;(2)求sin2sin2+sincos-cos2-1的值.解:(1)tan+4=tan+tan41-tantan4=tan+11-tan=2+11-2=-3.(2)sin2sin2+sincos-cos2-1=2sincossin2+sincos-(2cos2-1)-1=2sincossin2+sincos-2cos2=2tantan2+tan-2=2×222+2-2=1.17.(本小題滿分12分)(2015廣

13、東,文17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值;(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);(3)在月平均用電量為220,240),240,260),260,280),280,300的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007

14、5,所以直方圖中x的值是0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是220+2402=230.因?yàn)?0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在220,240)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量在220,240)的用戶有0.012 5×20×100=25(戶),月平均用電量在240,260)的用戶有0.007 5×20×100=15(

15、戶),月平均用電量在260,280)的用戶有0.005×20×100=10(戶),月平均用電量在280,300的用戶有0.002 5×20×100=5(戶),抽取比例為1125+15+10+5=15,所以月平均用電量在220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×15=5(戶).18.(本小題滿分14分)(2015廣東,文18)如圖,三角形pdc所在的平面與長(zhǎng)方形abcd所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3.(1)證明:bc平面pda;(2)證明:bcpd;(3)求點(diǎn)c到平面pda的距離.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蝍bcd是長(zhǎng)方形,所以bcad

16、.因?yàn)閎c平面pda,ad平面pda,所以bc平面pda.(2)證明:因?yàn)樗倪呅蝍bcd是長(zhǎng)方形,所以bccd.因?yàn)槠矫鎝dc平面abcd,平面pdc平面abcd=cd,bc平面abcd,所以bc平面pdc.因?yàn)閜d平面pdc,所以bcpd.(3)解:取cd的中點(diǎn)e,連接ae和pe.因?yàn)閜d=pc,所以pecd.在rtped中,pe=pd2-de2=42-32=7.因?yàn)槠矫鎝dc平面abcd,平面pdc平面abcd=cd,pe平面pdc,所以pe平面abcd.由(2)知bc平面pdc.由(1)知bcad.所以ad平面pdc.因?yàn)閜d平面pdc,所以adpd.設(shè)點(diǎn)c到平面pda的距離為h,因?yàn)関

17、三棱錐c-pda=v三棱錐p-acd,所以13spda·h=13sacd·pe,即h=sacd·pespda=12×3×6×712×3×4=372,所以點(diǎn)c到平面pda的距離是372.19.(本小題滿分14分)(2015廣東,文19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,nn*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且當(dāng)n2時(shí),4sn+2+5sn=8sn+1+sn-1.(1)求a4的值;(2)證明:an+1-12an為等比數(shù)列;(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)解:當(dāng)n=2時(shí),4s4+5s2=8s3+s1,即41+32+54

18、+a4+51+32=81+32+54+1,解得a4=78.(2)證明:因?yàn)?sn+2+5sn=8sn+1+sn-1(n2),所以4sn+2-4sn+1+sn-sn-1=4sn+1-4sn(n2),即4an+2+an=4an+1(n2).因?yàn)?a3+a1=4×54+1=6=4a2,所以4an+2+an=4an+1(nn*).因?yàn)閍n+2-12an+1an+1-12an=4an+2-2an+14an+1-2an=4an+1-an-2an+14an+1-2an=2an+1-an2(2an+1-an)=12,所以數(shù)列an+1-12an是以a2-12a1=1為首項(xiàng),公比為12的等比數(shù)列.(3)

19、解:由(2)知數(shù)列an+1-12an是以a2-12a1=1為首項(xiàng),公比為12的等比數(shù)列,所以an+1-12an=12n-1,即an+112n+1-an12n=4,所以數(shù)列an12n是以a112=2為首項(xiàng),公差為4的等差數(shù)列,所以an12n=2+(n-1)×4=4n-2,即an=(4n-2)×12n=(2n-1)×12n-1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(2n-1)×12n-1.20.(本小題滿分14分)(2015廣東,文20)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓c1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)a,b.(1)求圓c1的圓心坐標(biāo);(2)求線段ab的中點(diǎn)m

20、的軌跡c的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線l:y=k(x-4)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)圓c1:x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓c1的圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)設(shè)線段ab的中點(diǎn)m(x,y),由弦的性質(zhì)可知c1mab,即c1mom.故點(diǎn)m的軌跡是以oc1為直徑的圓,該圓的圓心為c32,0,半徑r=12|oc1|=12×3=32,其方程為x-322+y2=322,即x2+y2-3x=0.又因?yàn)辄c(diǎn)m為線段ab的中點(diǎn),所以點(diǎn)m在圓c1內(nèi),所以(x-3)2+y2<2.又x2+y2-3x=0,所以可得x&

21、gt;53.易知x3,所以53<x3.所以線段ab的中點(diǎn)m的軌跡c的方程為x2+y2-3x=053<x3.(3)由題意知直線l表示過(guò)定點(diǎn)t(4,0),斜率為k的直線.結(jié)合圖形,x0-322+y02=9453<x03表示的是一段關(guān)于x軸對(duì)稱,起點(diǎn)為f53,-253按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到e53,253的圓弧(不含端點(diǎn)).根據(jù)對(duì)稱性,只需討論在x軸下方的圓弧.由f53,-253,則kft=2534-53=257,而當(dāng)直線l與軌跡c相切時(shí),3k2-4kk2+1=32,解得k=±34.在這里暫取k=34,因?yàn)?57<34,所以kft<k.結(jié)合圖形,可得對(duì)于x軸下方的圓

22、弧,當(dāng)0k257或k=34時(shí),直線l與x軸下方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性可知當(dāng)-257k<0或k=-34時(shí),直線l與x軸上方的圓弧有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述,當(dāng)-257k257或k=±34時(shí),直線l:y=k(x-4)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn).21.(本小題滿分14分)(2015廣東,文21)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)1,求a的取值范圍;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)a2時(shí),討論f(x)+4x在區(qū)間(0,+)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解:(1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a.因?yàn)閒(0)1,所以|a|+a1.當(dāng)a0時(shí),01,顯然成立;當(dāng)a>0時(shí),則有2a1,所以a12.所以0<a12.綜上所述,a的取值范圍是a12.(2)f(x)=x2-(2a-1)x,xa,x2-(2a+1)x+2a,x<a.對(duì)于u1=x2-(