高等代數(shù)下期終考試題及答案C卷

1、高等代數(shù)(下)期末考試試卷(C卷)一. 選擇題(每空2分，共12分)1. (D )下列集合哪一個是的子空間(A) (“J)，I al9an e an (B) (q "，)1 4 eZ, / = 1,ft(c)g 宀)i =i s e R(D)(“衛(wèi)2 ，5 )1 224 =o, q e R /-i2. (B )令(X., X2, X3)是用的任意向量.下列哪一個映射O是用的線性變換(A) o憶)=歹+ 0,其中QH0是尺的固定向量(B) 0-( ) = (2! -x2 +x3, x2+-x3)(C) o(歹)=3 ,x；, xl )(D) a(4 ) =(x, +1 ,x2,0)3.

2、 (C)如果嶺，匕是線性空間V的兩個子空間，且dim % =3, dim V2 =2. dim V；nK =1,那么dim V；+匕為(A) 2(B)3(C)4(D)54. (C )若4階方陣A的初等因子為入+ 3 1入+3,入+ 2.則A的不變因子是(A) 1,(入+3),(入+2),入+ 3 2：(B) 1, 1,(入+3)(入+ 2),入+ 2 A4-3 2；(C) 1, 1,(入+3),入+ 2 A + 3 2；(D) 1, 1, (A+2),入+ 2 A4-3 2；5. ( B )設(shè)矩陣A的全部不同特征值為入,人,，人，則下列哪一說法與A可對角化不等 價(A) A有n個線性無關(guān)的特征

3、向量；(B) R(AiE-A) = n, (i = l,2,.s)(其中耳為人的重數(shù))；(C) 入的特征子空間呂的維數(shù)dim(VJ)=人的重數(shù)(i = 1.2,.,s)；(D) A的最小多項式均是數(shù)域P上互素的一次因式的乘積；6. (D)在實數(shù)域R中，由全體4階反對稱矩陣所構(gòu)成的線性空間W的維數(shù)為(A) 10;(B) 4；(C)9：(D) 6；二. 填空題(每空2分，共18分)1、已知a是數(shù)域P上的一個固定的數(shù)，而W = (a,X2,，兀)|召wP,i = 2,川是嚴鼻的一個子空間，貝忖=, dim (W)=.2. 設(shè)6 U是P2的兩個線性變換，左義如下b(x)= (-2x+” 0),T(x.

4、y) = (-3y9x+y)(Vx, yeP)貝 |J r a(x, y) =1 03.已知 A的標準形為0 2、° o0 、0,則A的特征多項式A(A 2)丿5 / 25|AE-A| = A2(A-2), A的最小多項式為(4.設(shè)4=小3、則向捲是A的屬于特征值的特征向量."2 0 0、(2 0 0、5.若 A二0 0 1與B=0 y 0相似,1 b1° 0-1；則x =6設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值入=人=1,心=3,則/?(3E A) =。三. 判斷題(對的打” J”，錯的打” X”，每小題2分，共10分)1. 對于矩陣的加法和數(shù)乘，嚴B|b' = 3

5、, Be/T" 是/r”的子空間()2. 任一實對稱矩陣A都與對角陣A既相似又合同()3. 設(shè)cr是數(shù)域P上線性空間V的線性變換,W是一維cr 一子空間，那么W中任何一個非零向雖都是o屬于特征值幾的特征向量.()4在歐幾里得空間V中,保持任兩個非零向量的夾角不變的線性變換a必為正交變換.5. A(A)與B(2)等價當且僅當它們有相同的行列式因子.四. 計算題( 共3小題，33分)1設(shè)®, 6和% %是線性空間尺2的兩組基，o是的線性變換，已知<7（£,£2）=（£】一2勺,2勺 + 6），（7/i'7?2）=（£ + *

6、2, 2® + 彳）（1）求在基®, 6下的矩陣A： （2）求基©, 6到基小，的過渡矩陣X :（3）求CF在7/p ?/,下的矩陣。.（7分）2.設(shè)口，4，冬是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為1 -1 2、-1 2 -1、2 -1 6 丿< 1）令 Y = a +a2,求惻；（2）若/3 = a+a2 + ka5與y正交，求k的值.（10分）3.設(shè)二次型 f（X|,xx3） = 2jV，+2x）2 +2忑2 2xx2 _2%內(nèi)2x2x3,（1）寫岀二次型所確立的矩陣：（2）用正交線性替換將二次型化為標準形：（3）求二次型的秩；（4）判斷二次型的正

7、定性.（16分）五. 證明題（每題9分，共27分）1. 設(shè)K與匕分別是齊次方程組坷+吃+心=0,小=x2 =. = X,., =x”的解空間，證明：Pn =V,©V22. 證明：若A是實對稱矩陣，則R”中分別屬于A的不同特征值入“的待征向量Z0必 正交3.設(shè)V是一個n維歐氏空間，<7是V的一個對稱變換，i正明：值域b（V）是核er-*（0）的 正交補.答案幻燈片1高等代數(shù)(下)期末考試C卷解答二、選擇題(2X6=12分)1、( D )下列集合哪一個是尺“的子空間(A) (“,0,()“)1 5" e Hq, (B) (“，5 ")1 q wZ, i = 1,

8、"n(C) (“ ,a2 ,，“” )1=1 " w R/-I(D) (“ .a2，,5 )1 夕"=0 e R 幻燈片10一、選擇題(2X6=12分)2、( B )令 = (a-x,a-3)是疋的任意向量，下列哪一個映射是R'的線性變換。(A) b(g)=< + a,其中ch()是用的固定向雖(B) ) = (2a) x2 + Xj, x2 + x3,-x5)(C) <7(：)=(州，易丘)(D) b(g)=g+l ,x2,0)3. ( C )如果,匕是線性空間V的兩個子空間，且 dim V； =3. dim 匕=2,dim V； nK 豈則

9、dim V； +匕為(A) 2(B) 3(C) 4(D) 528 / 25一、選擇題(2X6=12分)4(C)若4階方陣A的初等因子為入+ 3二入+ 3,入+2 則A的不變因子是A 1,入+ Z入+ 3, A4-3 2B 1,1.入十2 入+ 3 , X+2 入+3 2C 1,1, A4-3 ,入+ 2 入+3 2D 1,1, A + 2 , A+2 入+ 3 2一、選擇題(2X6=12分)5、( B )設(shè)矩陣A的全部不同特征值為人,入 則下列哪一說法與A可對角化不等價：(A) A有n個線性無關(guān)的特征向量；(B) R(入E- A) = q ,(,= 12s),(其中叫為&的重數(shù))(C)

10、 &的特征了空間的維數(shù)dim(± )=人的重數(shù) (i = 1,2,$)(D) A的最小多項式均是數(shù)域P上互素的一次因式的乘積6、( D )在實數(shù)域R中，由全體4階反對稱矩陣所構(gòu)成 的線性空間W的維數(shù)為(A) 10;(B) 4；(C) 9；(D) 6；3+2 + 1-X填空題（每空2分，共18分）1、已知a是數(shù)域P上的一個固定的數(shù)，而W = （“/,心）|兀 wP, j = l,是pE的一個子空間，則67 = _O_, dimW= ”2（a,撿）=（2仏2心,2兀）w W=> 加="=> a = 0I勺=（0.0100） （M + 1）是W的一個基。二、填

11、空題(每空2分，共18分)2、設(shè)b, 7是的兩個線性變換，定義如下：cr(x, y) = (一2x+0), r(x. y) = (一3” x + y) (Vx.yeP) 則 t a(x.y) = (0,-2x+.y)ra(x.y) = r(-2x + y, 0) = (0, - 2x+y)(-2 0、 (0 或 <r(x,y) = (x, y)L r(x9y) = (x, y)(一2 0(-2 0)0 Brcr(Ay) = r嚴嘰”肌oj一3 1,=E)石補(0, 2x+y)二、填空題(每空2分，共18分)"100 、3、已知AE-A的標準形為0 20.0 0 2(2-2),則

12、a的特征多項式是Z2U-2)A的最小多項式是兄(久一2)kUUiQMQ)d”n階復數(shù)方陣A的最小多項式叫(幾)正是A的第n個不變因子<(A)(P3>1)二、填空題（每空2分，共18分）3、2J<2（,是A的屬于特征值4U丿1=<:)4 0 0(2 0 05、若人=0 0 1與B =0 y 0相似，則<0 1 J0 0-1x =0 , y=12=B=：-2y>y = 的特征向繪。4ir(A) = 2+x = "(B) = 1 + y => x = 0二、填空題(每空2分，共18分)6、設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值& =人=1,入=3 則

13、/?(3E-A)=2實對稱矩陣必可對角化，所以叫也即(E-A)X=()解空間的維數(shù)為2 ,故 R(E-A) = 匕也即(3£-A)X =0解空間的維數(shù)為1 ,故 R(3E-A)=2三. 判別題(對的護'廠，錯的打”2X5=1吩)1、對于矩陣的加法和數(shù)乘，=3|8'=氏B e R- 是R""的子空間(V)2s任一實對稱矩陣A都與一對角陣既相似又合同(7)3.設(shè)<7是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是-維 O -子空間，那么'V中任何一個非零向量都是。的 屆于特征值2的特征向址(J )W = L(a).(j(a)eW =>cr(a

14、)=AaV的也訓,"0cr(歹)=cr(Ra) = 3(a) = R(2a )=2 (ka )=馬4. 在歐幾里得空間V中，保持任兩個非寥向量的夾角不變的線性變換必為正交變換（X）保持任意兩個非零向繪的夾角不變的線性變換未必 是正交變換。如：令/a = 2aVaeV（必2蟲0）（2么20）（a0）誡然4是線性變換，且 時両麗=麗 但（蟲 2力0） = （2»,2戸）=4（60）所以4不是正交變換。但有一實數(shù)域R上歐氏空間V的線性變換蟲是正交變換OVaw匕有>fa = a三. 判別題（對的打”廠,錯的打2X5=10分）5> A（A）與仇）等價當且僅當它們有相同的行

15、列式因子（J ） 四、計算題（7+10+16=33分）1、設(shè)芻G和巾，7是線性空間尺2的兩組基，是用的線性變換，已知：（T（tp£2） =（£|-2£2, 2勺+乞），（帀，?。?（£+2q+3勺）（1）求O在基芻.6下的矩陣A,（2）求由基到基的過渡矩陣X;1 2-2 I求O在基巾，仏下的矩陣B。0（£心）=（勺一生，2勺+6 ）=（勺,目） （ 1 2）CT在基芻，為下的矩陣人=（K設(shè)勺、勺和是線性空間的兩組基，b是用的線性變換，已知：。（即疋2）=（耳一公2, 2可+£2）,（帀，小）=（勺+£22耳+3£2

16、）（1）求O在基勺,下的矩陣A ;（2）求由基芻,為到基|，仏的過渡矩陣X：（3）求1在基小,弘下的矩陣B°解：（2）（4）=（£|+£2,2®+3£2）=（耳,勺）3由基斫,乞到基7,7的過渡矩陣X =；'（3）求CT在基巾,空下的矩陣四、計算題(7+10+16=33分) 2、設(shè)q.qa是3維歐氏空間V的一組基，這組基的1-12、度最矩陣為：-1 2 -I2 -1 6,(1) 令 / = a1+a2t 求 |/|(2) 若0 =已+久+«久與7正交，求的值.1 -1 2)解：U)(r> y)=o 1 0)-12H=l(

17、1) 之解法二：<y> y> =(內(nèi)+勺務(wù)+勺=(同.)+(0,冬)+(冬,)+($,冬)=1 一1 一1+2 = 1 =>|” = J (“ 刃=1四、計算題(7+10+16=33分)2. 設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的T -1 2、度量矩陣為：-2 -12-16z(1) 令 / = a1+a2,求 |/|(2) 若P = a+a2+kay與了正交，求斤的值解：(2)(處) = (1 1 k) -12V2-121-116八0,Z =1 + 火=0二 R = 1四、計算題(7+10+16=33分)3. 設(shè)二次型 /(Apxrx3) = 2A-2 +2x/ +2x/

18、-2xx2-2a-.v3-2x2.r3(1) 寫出二次型所確定的矩陣；(2) 用正交線性替換將二次型化為標準形；(3) 求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。2 -1 -1/ 、X】解:（1）二次型 /（ApArX5） =（ApArX3）-1 2 -1*2一1 -1 2,02 -1 所以二次型的矩陣是：A= -12-1.一1 -1 2,四、計算題(7+10+16=33分)3. 設(shè)二次型 /(Apxrx3) = 2A-2 +2x/ +2x/-2xx2-2a-.v3-2x2.r3(1) 寫出二次型所確定的矩陣；(2) 用正交線性替換將二次型化為標準形；(3) 求二次型的秩|(4) 判斷二次型的正

19、定性。A-211解：(2) |2E-A|=1A-2I=z(A-3)211z-2A的特征值為：入=0血=入=3 對人=0.解方程組(OE-A)X =0 得一基礎(chǔ)解系：a=(AA)四、計算題（7+10+16=33分）3.設(shè)二次型 /（Apxrx3） = 2A-2 +2x/ +2x/-2xx2-2a-.v3-2x2.r3（1）寫出二次型所確定的矩陣；（2）用正交線性替換將二次型化為標準形；（3）求二次型的秩|（4）判斷二次型的正定性。解*對人=入=3,解方程組（3E A）X=O 得一基礎(chǔ)解系：勺=（-1丄0）'心=（-1，0，”把位化，把巾6正交規(guī)范化，得A =寺（1'1）02 =寺

20、（-1丄0），03=法（-1，-1，2）四、計算題（7+10+16=33分）3設(shè)二次型f（.*,吃,禺）=2.*'+2'+2疋一為兀2-"血一2心5（1）寫出二次型所確定的矩陣；（2）用正交線性替換將二次型化為標準形；（3）求二次型的秩；（4）判斷二次型的正定性。*：令廠=（久AZ） 作正交變換：X=TY 則二次型化為標準形：/（州,忑，禺）=3衣+3士（3）由（2）知二次型的秩為2；（4）由（2）知二次型是半正定的。五、證明題(每題9分，共27分)K設(shè)比與分別是齊次方程組州+兀+兀嚴0, 和看=“= =兀的解空間，證明X =叫匕 證明：方程X +兀+耳=0,的一個基礎(chǔ)解系也即比的一個基是：ct =