2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(山東卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試山東理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號(hào)、考生號(hào)、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.2.第卷每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答案寫在試卷上無效.3.第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置,不能寫在試卷上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按

2、以上要求作答的答案無效.4.填空題請(qǐng)直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b).第卷(共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015山東,理1)已知集合a=x|x2-4x+3<0,b=x|2<x<4,則ab=()a.(1,3)b.(1,4)c.(2,3)d.(2,4)答案:c解析:a=x|x2-4x+3<0=x|1<x<3,b=x|2<x<4,結(jié)合數(shù)軸,知ab=x|2<x<3

3、.2.(2015山東,理2)若復(fù)數(shù)z滿足z1-i=i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()a.1-ib.1+ic.-1-id.-1+i答案:a解析:z1-i=i,z=i(1-i)=i-i2=1+i.z=1-i.3.(2015山東,理3)要得到函數(shù)y=sin4x-3的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象()a.向左平移12個(gè)單位b.向右平移12個(gè)單位c.向左平移3個(gè)單位d.向右平移3個(gè)單位答案:b解析:y=sin4x-3=sin4x-12,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象向右平移12個(gè)單位即可.4.(2015山東,理4)已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為a,abc=60°,則bd·cd=()

4、a.-32a2b.-34a2c.34a2d.32a2答案:d解析:如圖設(shè)ba=a,bc=b.則bd·cd=(ba+bc)·ba=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+12a2=32a2.5.(2015山東,理5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()a.(-,4)b.(-,1)c.(1,4)d.(1,5)答案:a解析:當(dāng)x1時(shí),不等式可化為(1-x)-(5-x)<2,即-4<2,滿足題意;當(dāng)1<x<5時(shí),不等式可化為(x-1)-(5-x)<2,即2x-6&

5、lt;2,解得1<x<4;當(dāng)x5時(shí),不等式可化為(x-1)-(x-5)<2,即4<2,不成立.故原不等式的解集為(-,4).6.(2015山東,理6)已知x,y滿足約束條件x-y0,x+y2,y0.若z=ax+y的最大值為4,則a=()a.3b.2c.-2d.-3答案:b解析:由約束條件畫出可行域,如圖陰影部分所示.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+y,即y=-ax+z.設(shè)直線l0:ax+y=0.當(dāng)-a1,即a-1時(shí),l0過o(0,0)時(shí),z取得最大值,zmax=0+0=0,不合題意;當(dāng)0-a<1,即-1<a0時(shí),l0過b(1,1)時(shí),z取得最大值,zmax=a+1=4

6、,a=3(舍去);當(dāng)-1<-a<0時(shí),即0<a<1時(shí),l0過b(1,1)時(shí),z取得最大值,zmax=2a+1=4,a=32(舍去);當(dāng)-a-1,即a1時(shí),l0過a(2,0)時(shí),z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.綜上,a=2符合題意.7.(2015山東,理7)在梯形abcd中,abc=2,adbc,bc=2ad=2ab=2.將梯形abcd繞ad所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()a.23b.43c.53d.2答案:c解析:由題意可得旋轉(zhuǎn)體為一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)圓錐.v圓柱=×12×2=2,v圓錐=13××

7、12×1=3.v幾何體=v圓柱-v圓錐=2-3=53.8.(2015山東,理8)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布n(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(,2),則p(-<<+)=68.26%,p(-2<<+2)=95.44%.)a.4.56%b.13.59%c.27.18%d.31.74%答案:b解析:由正態(tài)分布n(0,32)可知,落在(3,6)內(nèi)的概率為p(-2<<+2)-p(-<<+)2=95.44%-68.26%2=13.59%.9.(2015山東,

8、理9)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為()a.-53或-35b.-32或-23c.-54或-45d.-43或-34答案:d解析:如圖,作出點(diǎn)p(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)p0(2,-3).由題意知反射光線與圓相切,其反向延長(zhǎng)線過點(diǎn)p0.故設(shè)反射光線為y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.圓心到直線的距離d=|-3k-2-2k-3|1+k2=1,解得k=-43或k=-34.10.(2015山東,理10)設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1,x<1,2x,x1.則滿足f(f(a)=2f(a)的a的取值范圍是()a.

9、23,1b.0,1c.23,+d.1,+)答案:c解析:當(dāng)a=2時(shí),f(2)=4,f(f(2)=f(4)=24,顯然f(f(2)=2f(2),故排除a,b.當(dāng)a=23時(shí),f23=3×23-1=1,ff23=f(1)=21=2.顯然ff23=2f23.故排除d.綜上,選c.第卷(共100分)二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2015山東,理11)觀察下列各式:c10=40;c30+c31=41;c50+c51+c52=42;c70+c71+c72+c73=43;照此規(guī)律,當(dāng)nn*時(shí),c2n-10+c2n-11+c2n-12+c2n-1n-1=. 答案:

10、4n-1解析:觀察各式有如下規(guī)律:等號(hào)左側(cè)第n個(gè)式子有n項(xiàng),且上標(biāo)分別為0,1,2,n-1,第n行每項(xiàng)的下標(biāo)均為2n-1.等號(hào)右側(cè)指數(shù)規(guī)律為0,1,2,n-1.所以第n個(gè)式子為c2n-10+c2n-11+c2n-12+c2n-1n-1=4n-1.12.(2015山東,理12)若“x0,4,tan xm”是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為. 答案:1解析:由題意知m(tan x)max.x0,4,tan x0,1,m1.故m的最小值為1.13.(2015山東,理13)執(zhí)行下邊的程序框圖,輸出的t的值為. 答案:116解析:初始n=1,t=1.又01 xndx=1n+1xn+1|01

11、=1n+1,n=1<3,t=1+11+1=32,n=1+1=2;n=2<3,t=32+12+1=116,n=2+1=3;n=3,不滿足“n<3”,執(zhí)行“否”,輸出t=116.14.(2015山東,理14)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a1)的定義域和值域都是-1,0,則a+b=. 答案:-32解析:f(x)=ax+b是單調(diào)函數(shù),當(dāng)a>1時(shí),f(x)是增函數(shù),a-1+b=-1,a0+b=0,無解.當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)是減函數(shù),a-1+b=0,a0+b=-1,a=12,b=-2.綜上,a+b=12+(-2)=-32.15.(2015山東

12、,理15)平面直角坐標(biāo)系xoy中,雙曲線c1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線c2:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)o,a,b.若oab的垂心為c2的焦點(diǎn),則c1的離心率為. 答案:32解析:雙曲線的漸近線為y=±bax.由y=bax,x2=2py,得a2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得b-2bpa,2b2pa2.f0,p2為oab的垂心,kaf·kob=-1.即2b2pa2-p22bpa-0·-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.三、解答題:本大題共6小題,共75分

13、.16.(本小題滿分12分)(2015山東,理16)設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角abc中,角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c.若fa2=0,a=1,求abc面積的最大值.解:(1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kz,可得-4+kx4+k,kz;由2+2k2x32+2k,kz,可得4+kx34+k,kz.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4+k,4+k(kz);單調(diào)遞減區(qū)間是4+k,34+k(kz).(2)由fa2=sin a-12=0,

14、得sin a=12,由題意知a為銳角,所以cos a=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.因此12bcsin a2+34.所以abc面積的最大值為2+34.17.(本小題滿分12分)(2015山東,理17)如圖,在三棱臺(tái)def-abc中,ab=2de,g,h分別為ac,bc的中點(diǎn).(1)求證:bd平面fgh;(2)若cf平面abc,abbc,cf=de,bac=45°,求平面fgh與平面acfd所成的角(銳角)的大小.(1)證法一:連接dg,cd,設(shè)cdgf=o,連接oh.在三棱臺(tái)def-abc中,

15、ab=2de,g為ac的中點(diǎn),可得dfgc,df=gc,所以四邊形dfcg為平行四邊形.則o為cd的中點(diǎn),又h為bc的中點(diǎn),所以ohbd,又oh平面fgh,bd平面fgh,所以bd平面fgh.證法二:在三棱臺(tái)def-abc中,由bc=2ef,h為bc的中點(diǎn),可得bhef,bh=ef,所以四邊形bhfe為平行四邊形.可得behf.在abc中,g為ac的中點(diǎn),h為bc的中點(diǎn),所以ghab.又ghhf=h,所以平面fgh平面abed.因?yàn)閎d平面abed,所以bd平面fgh.(2)解法一:設(shè)ab=2,則cf=1.在三棱臺(tái)def-abc中,g為ac的中點(diǎn),由df=12ac=gc,可得四邊形dgcf為平

16、行四邊形,因此dgfc.又fc平面abc,所以dg平面abc.在abc中,由abbc,bac=45°,g是ac中點(diǎn),所以ab=bc,gbgc,因此gb,gc,gd兩兩垂直.以g為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系g-xyz.所以g(0,0,0),b(2,0,0),c(0,2,0),d(0,0,1).可得h22,22,0,f(0,2,1),故gh=22,22,0,gf=(0,2,1).設(shè)n=(x,y,z)是平面fgh的一個(gè)法向量,則由n·gh=0,n·gf=0,可得x+y=0,2y+z=0.可得平面fgh的一個(gè)法向量n=(1,-1,2).因?yàn)間b是平面acfd的

17、一個(gè)法向量,gb=(2,0,0),所以cos<gb,n>=gb·n|gb|·|n|=222=12.所以平面fgh與平面acfd所成角(銳角)的大小為60°.解法二:作hmac于點(diǎn)m,作mngf于點(diǎn)n,連接nh.由fc平面abc,得hmfc,又fcac=c,所以hm平面acfd.因此gfnh,所以mnh即為所求的角.在bgc中,mhbg,mh=12bg=22,由gnmgcf,可得mnfc=gmgf,從而mn=66.由hm平面acfd,mn平面acfd,得hmmn,因此tanmnh=hmmn=3,所以mnh=60°.所以平面fgh與平面acfd所

18、成角(銳角)的大小為60°.18.(本小題滿分12分)(2015山東,理18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn .已知2sn=3n+3.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足anbn=log3an,求bn的前n項(xiàng)和tn.解:(1)因?yàn)?sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,當(dāng)n>1時(shí),2sn-1=3n-1+3,此時(shí)2an=2sn-2sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3,n=1,3n-1,n>1.(2)因?yàn)閍nbn=log3an,所以b1=13,當(dāng)n>1時(shí),bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31

19、-n.所以t1=b1=13;當(dāng)n>1時(shí),tn=b1+b2+b3+bn=13+(1×3-1+2×3-2+(n-1)×31-n),所以3tn=1+(1×30+2×3-1+(n-1)×32-n),兩式相減,得2tn=23+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n-1)×31-n=136-6n+32×3n,所以tn=1312-6n+34×3n.經(jīng)檢驗(yàn),n=1時(shí)也適合.綜上可得tn=1312-6n+34×3n.19.(本小題滿分12分)(

20、2015山東,理19)若n是一個(gè)三位正整數(shù),且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”;(2)若甲參加活動(dòng),求甲得分x的分布列和數(shù)學(xué)期望ex.解:(1)個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345;(2)由題意知,全部“三位遞增數(shù)”

21、的個(gè)數(shù)為c93=84,隨機(jī)變量x的取值為:0,-1,1,因此p(x=0)=c83c93=23,p(x=-1)=c42c93=114,p(x=1)=1-114-23=1142.所以x的分布列為x0-11p231141142則ex=0×23+(-1)×114+1×1142=421.20.(本小題滿分13分)(2015山東,理20)平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,左、右焦點(diǎn)分別是f1,f2.以f1為圓心以3為半徑的圓與以f2為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓c上.(1)求橢圓c的方程;(2)設(shè)橢圓e

22、:x24a2+y24b2=1,p為橢圓c上任意一點(diǎn).過點(diǎn)p的直線y=kx+m交橢圓e于a,b兩點(diǎn),射線po交橢圓e于點(diǎn)q.求|oq|op|的值;求abq面積的最大值.解:(1)由題意知2a=4,則a=2.又ca=32,a2-c2=b2,可得b=1,所以橢圓c的方程為x24+y2=1.(2)由(1)知橢圓e的方程為x216+y24=1.設(shè)p(x0,y0),|oq|op|=,由題意知q(-x0,-y0).因?yàn)閤024+y02=1,又(-x0)216+(-y0)24=1,即24x024+y02=1,所以=2,即|oq|op|=2.設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),將y=kx+m代入橢圓e的方程,

23、可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由>0,可得m2<4+16k2.則有x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2.所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),所以oab的面積s=12|m|x1-x2|=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=24-m21+4k2m21+4k2.設(shè)m21+4k2=t.將y=kx+m代入橢圓c的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0<t1,因此s=2(4-t)t

24、=2-t2+4t.故s23,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即m2=1+4k2時(shí)取得最大值23.由知,abq面積為3s,所以abq面積的最大值為63.21.(本小題滿分14分)(2015山東,理21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中ar.(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;(2)若x>0,f(x)0成立,求a的取值范圍.解:(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+),f'(x)=1x+1+a(2x-1)=2ax2+ax-a+1x+1.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x(-1,+).當(dāng)a=0時(shí),g(x)=1,此時(shí)f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(-1,+)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí),=a2-8a(1-a)=a(9a-8).當(dāng)0<a89時(shí),0,g(x)0,f'(x)0,函數(shù)f(x)在(-1,+)單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);當(dāng)a>89時(shí),>0,設(shè)方程2ax2+ax-a+1=0的兩根為x1,x2(x1<x2),因?yàn)閤1+x2=-12,所以x1<-14,x2>-14.由g(-1)=1>0,可得-1<x1