專(zhuān)題一--乘法公式及應(yīng)用

1、專(zhuān)題一一乘法公式及應(yīng)用專(zhuān)題一乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)：(a+b) (a-b)=a2-b2(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2-2ab+b2(a+b) (a2-ab+b2) =a3+b3(a-b) (a2+ab+b2)=a3-b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：位置變化，(丹力(-丹 符號(hào)變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-=，一，指數(shù)變化，(/爐)(f-分4-/系數(shù)變化，(2avb)(2a-b)=4a-l/ 換式變化，到*>+切盯Tz+媯=(勸”+助2=y/-<Z+2Z7)(2+ZD)=x y-z +z哈2 22 c 2-xyz -2zm-in 增項(xiàng)變

2、化，(>丹2)(尸尸2)-xy-xy¥/-z=x-2xy+y-z連用公式變化，Q+力(aj)(系+力 逆用公式變化9 (x-y+z)2-(xy-zj2=(x-y+z)+(x+yz) ( a 丹 z)-(日尸 z)=2x(-2y+2z)-xyrAxz例 1.已知a+6 = 2, ab = l9 解：V (a + b)2 = a2 +2ab + b2 a+ b = 2 9 ab= 1例2.已知 + 6 = 8, ab = 2 , 解：V (a + by = a' + 2ab-vb' (a +b)2 (a - bp - 4a hT a + b = 8 , ah = 2

3、求/+/的值。：.a2 +b2 = (a + b)2 -2ab.of 2? - 2x1 = 2求("b)2的值。(a-b)2 = a -2ab + b2：.(a-b)2 -4ab=(a-b)2.(a-b)2 =8?-4x2 = 56例 3：計(jì)算 1999?-2000X1998例 4：已知 a+b=2, ab=l,求 £+b?和(a-b)?的值。例 5：已知 x-y=2, y-z=2, x+z= 14。求 x?-z?的值。例6：判斷(2+1)例2+1) (24+1)(22048+1 ) +1的個(gè)位數(shù)字是幾?例7.運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算(1) 1032(2) 1982例8.計(jì)算(1)

4、 (ayib-3c)(a-4b-3c)(2) (3x+尸2)(3x丹2)例9.解下列各式(1)已知最h&2=13, ab=6,求('E，(a-b1的值。(2)已知'6)2=7, (a-6)2=4,求 4+3,助 的值。(3)巳知"(熱_彷=2,求與心的值。(4)已知工=3,求工4+的值。 XX例11.計(jì)算 (1)(f-劉4)2(2) (3處八0)2兩數(shù)和的平方的推廣(升/Hc)2=(a+8)+c2 =(a4-Z>)2+2(a4-A)- cH-c2 =a2+2aZH-Z>2+2a<H-2/>cH-c2=a2+A2 4-c2 -i-2abi

5、-2bc+2acBp (a+ZH-c)2=a2+A2+c2+2abi-2bci-2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用：這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公 式的來(lái)龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能 提高學(xué)生的觀察能力。例L計(jì)算：(51+3力何一3力 解：原式=何-(3/=25/-9寸(二)、連用：連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2.計(jì)算：(1-必 + 1)(/ + 1)(/ + 1)例 3.計(jì)算：(3x + 2y-5z+1、一3工 + 2)'-5z-1)三、逆用：學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)

6、正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊 交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問(wèn)題。例 4. 計(jì)算：(5a + lb-8c)2-(56/-7/7 + 8c)2四、變用：題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5.計(jì)算：(x + y - 2z)(x + y + 6z)五、活用：把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式 為例，經(jīng)過(guò)變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：1. (a + b) - 2ab = a1 4- b22. (a - b)' + lab = a' +b23. (a + b)2 + (a-b)2 =2(a2 +b2)4. (a + b) (a b)'

7、; = 4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問(wèn)題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用 知識(shí)的能力。例6.已知”-/2 = 4,必=5,求/+"的值。解：a2 +b2 = （ci b） + 2ah = 42 + 2 x 5 = 26例 7.計(jì)算：(ci + b + c d)' +(b + c + d a)三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問(wèn)題（一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計(jì)算（-2-5） （2x-5）分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，符號(hào)相反，因而“-5”是 公式（行6）（廿6）=3-4中的劣而“2V”則是公式中的b.解：原式=（-5-2力（-5+2右=（-5）2-（

8、2力2=25-4/例2計(jì)算（-淋+46）2分析：運(yùn)用公式時(shí)，“-才”就是公式中的出 “dA” 就是公式中的6;若將題目變形為（46才）2時(shí)，則“46”是公式中的當(dāng)而 “才”就是公式中的兒（解略）（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3計(jì)算（2廣廣z+5） （2r j+z+5）.分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2/、 “5”兩項(xiàng)同號(hào)，“一、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原 式變形為符合平方差公式的形式.解：原式二（2戶(hù)5） + （廠z） （2戶(hù)5） - （廠z）二（2戶(hù)5產(chǎn)-（廠力2=4x +20戶(hù)25-尹2yzrz .例4計(jì)算（年1）2（3+91）2（3+才+1）2

9、分析：若先用完全平方公式展開(kāi)，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用嘉的運(yùn) 算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.解：原式二（a-1）（3+K1）（3+，+1）2= (a3-l) (aW+l)2= (a9-l)2=a18-2a9+l例 5 計(jì)算(2+1) (22+l) (24+l) (28+l).分析：此題乍看無(wú)公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)(2-1), 則可運(yùn)用公式，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).解：原式二(2-1) (2+1) (2?+1) (2,+1) (241)= (2 -1) (22+1) (24+1) (28+1)=(24-1) (24+1) (28+1)=(2-1) (28+1)=216-1(三)、注

10、意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(/6)2=3+24什應(yīng) 可推廣得到：(a+Mc) 2=a+l/+c+2at2ac2bc.可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每?jī)身?xiàng)乘積的2 倍.例6計(jì)算(2封尸3)之解：原式=(24+，+(-3) 2+2 2x /2 2x(-3) +2 y(-3)=4x +六9+4 孫 12r 6y.(四)、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例7 (1)已知戶(hù)片10, y+/=100,求/+/的值；已知：a+2j=7, xj=6,求(尸2"的值.分析：粗看似乎無(wú)從下手，但注意到乘法公式的下列變形：y+/= y) 2-2xy9 /+聲(戶(hù)y)力3可(廣力，(a

11、+t> 2-47,問(wèn)題則十分簡(jiǎn)單.解：,."+/=(廣力。3盯(戶(hù)力,將已知條件代入得lOCMOY燈10, :.7=30 故 jr2+/=(產(chǎn)0 2-2xy=102-2 X 30=40.(2)(方2。2=(戶(hù)20 2-8aj=72-8 X6=l.例 8 計(jì)算(a+ZH"C)'(a+Z?-c) ?+(a-c)+ (6界。)2.分析：直接展開(kāi)，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變 換出(行6)2+(年8)2=2(3+為，因而問(wèn)題容易解決.解：原式=(a+6) +°了+ (/8) -cr+c+(a-8) 2+c(a-8) 了=2()2+c2+2c2

12、+(a-A)2=2 (a+A) 2+ (a62 +4c2=4a2+4h2+4c2(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算(a-2>3cy- (a+2/?-3c)T分析：若按完全平方公式展開(kāi)，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多.解：原式二+=2 a (-4 從6 <?)=-8 物 123c.例 10 計(jì)算(23力)2-2(25+38) (564a)+ (4a-58)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算，但逆用完 全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便.解：原式=(2a+3» 2+2 (2a+38) (4年56) + (4年56)2二(2 卅 3b)

13、+ (4a-5b)了二(6a-28)2=36 齊 24 物4 4四、怎樣熟練運(yùn)用公式：(一)、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是 兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)； 等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.明 確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式.(二，理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母3、6可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.理 解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式.如計(jì)算 (戶(hù)2y3z) 2,若視鼾2y為公式中的a, 3z為b,則就可用(aA) 2=a 2abl

14、)來(lái)解 了。(三)、熟悉常見(jiàn)的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此 時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿(mǎn)足公式特點(diǎn).常見(jiàn)的幾種變化是：1、位置變化 如(3K5y) (5y-3x)交換3x和5y的位置后即可用平 方差公式計(jì)算了.2、符號(hào)變化 如(-2m一7/7)(2o7)變?yōu)橐?2加7刀)(2mIn) 后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化 如 98X102, 992, 9V等分別變?yōu)?100-2) (100+2), (100 -1)。(90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化 如(4切；)(21)變?yōu)? (2加2

15、)(21)后即可2444用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.5、項(xiàng)數(shù)變化 如(戶(hù)3t+2z) (x3j+6z)變?yōu)?a+3j+4z2z) (x 3yHK2z)后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來(lái)解了.7(四)、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì) 算更簡(jiǎn)便.如計(jì)算(3+1) 2.(才一1) 2,若分別展開(kāi)后再相乘，則比較繁 瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便.即原式式(a2+l) (才-1) 2= (a41) 2=a23+1 .對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向 (從右到左)運(yùn)用.如計(jì)算(1一；)(1一；)(1一)>(1-9

16、)(1一7),2'3-4*9'10"若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò).若注 意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式(1-i) (1+1)(1-1)(1+1) XX (1-1)(1+1)=1X 乙，JJ1 v/M3 X2 X 4 X9X 9 X11 = 1 X 11 = 112 3 3 Io To Io - 20 e有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式， 乘法公式的變式主要有：W+6= (a+Z?) 22ab, M+6= (a6) ?+2a6等.用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效.如已知研zf