2022版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語不等式第7節(jié)基本不等式學(xué)案含解析

1、基本不等式 考試要求 1. 了解基本不等式的證明過程.2. 會用基本不等式解決簡單的最大( 小) 值問題91基本不等式aba b2(1) 基本不等式成立的條件：a>0， b>0.(2) 等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a b. 2幾個重要的不等式221 a b 2aba， br；ba2 a b2a， b同號且不為零；當(dāng)且僅當(dāng) a b3 aba b2222a， b r；2時等號成立a b42a b2a， b r.3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè) a>0，b>0，則 a，b 的算術(shù)平均數(shù)為a b2，幾何平均數(shù)為ab，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4.

2、利用基本不等式求最值問題已知 x>0，y>0，則2(1) x y2 xy，若 xy 是定值 p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x y 時， x y 有最小值2p( 簡記： 積定和最小 ) (2) xy定積最大 ) xy2，若 xy 是定值 q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x y 時， xy 有最大值q24 ( 簡記：和提醒： 在應(yīng)用基本不等式求最值時，一定要檢驗求解的前提條件：“一正、二定、三相等”，其中等號能否取到易被忽視 常用結(jié)論 重要不等式鏈22若 a b 0，則 aa b a bab 2ab b.22a b一、易錯易誤辨析( 正確的打“”，錯誤的打“×”)22a b(1) 兩個不等式a b 2ab

3、 與2ab成立的條件是相同的()(2) 若 a>0，則 a312a.() a2的最小值為4(3) 函數(shù) f ( x) sinx sinx， x (0 ， ) 的最小值為4.()xy(4) x 0 且 y 0 是y x2的充要條件 () 答案 (1) ×(2) ×(3) ×(4) ×二、教材習(xí)題衍生1設(shè) x 0， y 0，且 x y18，則 xy 的最大值為 () a 80b 77c 81d 82c xyxy22 81，當(dāng)且僅當(dāng)x y 9 時，等號成立故選c.42若 x 0，則 x ()xa. 有最大值，且最大值為4b. 有最小值，且最小值為4c.

4、有最大值，且最大值為22d. 有最小值，且最小值為2244b x 0 時， x x2x× x 4，當(dāng)且僅當(dāng)x2 時等號成立故選b. 3若把總長為20 m 的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是25 設(shè)一邊長為x m，則另一邊長可表示為(10 x)m， m2.由題知 0x 10，則面積sx(10 x) x 10x 22 25，當(dāng)且僅當(dāng)x 10 x，即 x25 時等號成立，故當(dāng)矩形的長與寬相等，且都為5 m 時面積取到最大值25 m .44. 已知 x 2，則 x x的最小值為 26 x 2， x4x 2 ( x2) 426.x 2考點一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的

5、三種方法直接法求最值 典例 1 1(1)(多選)(2020 ·濟南一中期中) 設(shè)正實數(shù)a， b 滿足 a b 1，則()1a. 11有最小值4bab有最小值ab2221c.ab有最大值2d a b 有最小值 2a2 2b2(2) ab 0，則ab的最小值為 ()a 22b2c 3d 2118b(3)(2020 ·天津高考) 已知 a 0，b 0，且 ab 1，則2a 2 ab的最小值為 1( 1 ) acd( 2) a( 3) 4(1)對于選項a，因為 a，b 是正實數(shù)，且ab 1，所以有 a1a b a bb 2 a2 2ba· 4，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時取等號成立

6、，故a 選項是bababab1正確的；對于選項b，因為 a， b 是正實數(shù)，所以有1 a b2 ab，即ab 2，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時取等號成立， 故 b 選項是不正確的； 對于選項c，因為 a，b 是正實數(shù)， 所以有ab2a2b221，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時取等號成立，故c 選22222項是正確的；對于選項d，因為 a，b 是正實數(shù)，所以有a b且僅當(dāng) ab 時取等號成立，故d 選項是正確的故選acd.a b ，即 a221b 2，當(dāng)22a 2ba2ba2b(2) ab 0，ab ba 2b· a 22，當(dāng)且僅當(dāng)a2bb a ，即 a2b 時等號成立，故選a.118a b8a

7、b8(3) 由 a 0， b 0，ab 1 得2a 2b a b2ab a b2 abab822× a b 4，當(dāng)且僅當(dāng)a 0， b0， ab 1，a b 8ab 1，即時取等號，a b 42 a b，11因此 2 8的最小值為4.a2ba b點評： 解答本例t(2) ， t(3) 時，先把待求最值的式子變形，這是解題的關(guān)鍵 配湊法求最值 典例 1 2(1)(2020 ·大連模擬) 已知 a， b 是正數(shù)，且4a 3b6，則 a( a 3b) 的最大值是 ()99a 8b 4c 3d 92(2) 已知不等式2xm x 10 對一切 x()32，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是a

8、 m 6b m 6c m 7d m 7(3) 若x 2x 24 1，則() ()2xfx2x 2a有最小值1b有最大值1c有最小值1d有最大值1 ( 1 ) c( 2) a( 3) d(1) a>0， b>0,4 a 3b 6，a( a 3b) 11· 3a( a 3b) 333a a 3b 212 3×6 22 3，當(dāng)且僅當(dāng)3a a 3b，即 a1， b2時， a( a 3b) 取最大值是3. 3(2) 由題意知，m2x2對一切 x3，恒成立，又x3時， x 10，x 122則 2x2x1 2( x1) 22222x1×x 12 2 6，x1當(dāng)且僅當(dāng)

9、2( x 1) x，即 x 2 時等號成立 1 m 6，即 m 6，故選 a.(3) 4x 1， 0 1 x 5，f ( x) 1x2 2x 22x 21 x1x2 2x 1 1 2x 1111xx2x 0 時等號成立1x 2×21· 1 x 1，當(dāng)且僅當(dāng)1 1 x，即函數(shù) f ( x) 有最大值 1，無最小值，故選d.ax2 bx c11點評： 形如 f ( x) dx e的函數(shù)， 可化為 f ( x) mx k x k 的形式， 再利用基本不等式求解，如本例t(3) 常數(shù)代換法求最值111 典例 1 3(1)(2020 ·深圳市福田區(qū)模擬) 已知 a 1，b

10、0，a b2，則a 2b的最小值為 ()332a 2b 24212c 3 22d 23y12(2)(2020 ·廣東高三月考) 設(shè) x， y 為正數(shù)，若x此時 x . 1，則2x y的最小值是 ，(1) a(2) 412(1)已知 a 1， b 0，a b 2，可得 ( a1) b 1，111112ba1a 1b3a 1b3又 a 1 0，則 a ( a 1) b 1 2b1 22b a 2 21a 1b2b ×a22.1當(dāng)且僅當(dāng)2b a， a b2 時等號成立111則a 12b的最小值為322. 故選 a.1212yy2xy2xy2xyx yx 2 222· 4

11、，當(dāng)且僅當(dāng)，且x2(2)xy112xy2xy2xy，即 x2， y 1 時等號成立 母題變遷 本例 (2) 中把“ xy1”改為“2 x y4”，求12 的最小值及取得最小值時的x 的2xy值 解因為 2x y4xy1，所以 2412xy所以 12y 1 x1 2yx· 2.xy24xyyx4xy4xy當(dāng)且僅當(dāng)4x y，且 2x y 4，即 x 1， y 2 時，等號成立12所以x y的最小值為2，取得最小值時x1.ab點評： 常數(shù)代換法主要解決形如“已知x y t ( t 為常數(shù) ) ，求x y的最值”的問題，ababx y先將 x y轉(zhuǎn)化為b 跟進(jìn)訓(xùn)練 x y ·t，再

12、用基本不等式求最值a1設(shè) a 0， b 0，若 33是 3與 3 的等比中項，則11a b的最小值為 ()a 12b 4343c 4d 3·3ad 由題意知3b(33) 2，即 3a b3 ，a b 3，111 11ba 3 a b ( a b)1 2ba1ba4 3 2 2·ab3ab3，bba3當(dāng)且僅當(dāng) ， 即 ab a時等號成立，故選d. 2x12y 12(2019 ·天津高考) 設(shè) x 0， y 0，x 2y 5，則 43 x 0， y0， x 2y 5，的最小值為xyx 12y 1xy2xy x 2y 1xy2xy 6xy2xy62 12 43，xy當(dāng)且

13、僅當(dāng)2xy6xy 3，即xyx 2y5x 3，即y 1x 2或3y 2時等號成立，因此x 12y 1xy的最小值為43.考點二基本不等式的實際應(yīng)用利用基本不等式解決實際問題的三個注意點(1) 設(shè)變量時，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2) 解題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍(3) 在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，如利a用 f ( x) x( a 0) 的單調(diào)性x 典例 2(2020 ·黃山模擬) 常州市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)， 因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量w( 單位：千克 ) 與肥料費用10x

14、( 單位：元) 滿足如下關(guān)系： w( x) 5x 2，0 x2，248x x 1，2 x5，其它成本投入 ( 如培育管理等人工費)為 20x( 單位：元 ) 已知這種水果的市場售價大約為10 元/ 千克，且供不應(yīng)求記該單株水果樹獲得的利潤為f ( x)( 單位：元 ) (1) 求 f ( x) 的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)投入的肥料費用為多少時，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 解(1) 由已知 f ( x) 10w( x) 20x10x 10w( x) 30x210×5x 2 30x，0 x2，48x10× 1 x 30x， 2x5則 f ( x) 50x 30x

15、 100，0 x2，2480x1 x 30x， 2 x5.(2) 由(1) f ( x) 50x 30x 100，0 x22480x1x 30x，2 x5變形得f ( x) 350 x 102191 2 ，0 x2，510 30161 x， 2 x5.1 x3當(dāng) 0 x2時， f ( x) 在 0， 10 上單調(diào)遞減，在3， 2 上單調(diào)遞增，且 f (0) 100 f (2) 240，f ( x) max f (2) 240；當(dāng) 2 x5時， f ( x) 5103010161 x，1 x1616x 1x 121 x· 1 x 8，16當(dāng)且僅當(dāng) 1 x 1x 時，即 x 3 時等號成

16、立f ( x) max 51030×8 270，因為 240270，所以當(dāng)x 3 時， f ( x) max 270.所以，當(dāng)投入的肥料費用為30 元時，種植該果樹獲得的最大利潤是270 元480x點評： 解答本例第 (2) 問時，把f ( x) 1 30x 變形為 f ( x) 510x1630 11 x是解題的關(guān)鍵x 跟進(jìn)訓(xùn)練 1(2017 ·江蘇高考) 某公司一年購買某種貨物600 噸，每次購買x 噸，運費為6 萬元/ 次， 一年的總存儲費用為4x 萬元 要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則 x 的值是30 一年的總運費為6×600x 3 600x( 萬

17、元) 一年的總存儲費用為4x 萬元3 600總運費與總存儲費用的和為x 4x 萬元3 600因為x 4x23 600x·4x 240，當(dāng)且僅當(dāng)3 600x 4x，即 x30 時等號成立，所以當(dāng) x30 時，一年的總運費與總存儲費用之和最小2一批救災(zāi)物資隨51 輛汽車從某市以v km/h 的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長 400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于v2800 km，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要小時10 設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時間為t 小時，v2由題意可知， t 相當(dāng)于最后一輛車行駛了50 個（ 800 400） km所用的時間，v2因此， t 50&#

18、215; 800 400vv4002v400· 10.v40016v16v當(dāng)且僅當(dāng)16v ，即 v 80 時等號成立故這些汽車以80 km/h 的速度勻速行駛時，所需時間最少要10 小時 備考技法 1 利用均值不等式連續(xù)放縮求最值當(dāng)運用一次基本不等式無法求得代數(shù)式的最值時，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性 . 技法展示 (1) 已知 a b 0，那么 a2 12ba b的最小值為 1(2) 若 x， y 是正數(shù)，則x 2y2 y 12x的最小值是 (1) 4(2) 4(1)由題意 ab 0，則 a b 0，2b ab 2a所以 b( ab) 2 4 ，212424所以 a ba b a a22a · a2 4，24221當(dāng)且僅當(dāng)b a b 且 a a2，即 a2， b 小值為 4.(2) x 0， y 0，2 時等號成立，所以a ba b的最121211 x 2y y 2x2 x 2yy2x .111又 2 xy 2xy