2022屆高考數學一輪復習第11章11.5離散型隨機變量及其分布列核心考點精準研析訓練含解析新人教B

1、第 11 章核心考點·精準研析考點一離散型隨機變量及其分布列1. 某電話亭內的一部電話1 小時內使用的次數記為x; 某人射擊2 次, 擊中目標的環(huán)數之和記為 x; 測量一批電阻, 在 950 1 200 之間的阻值記為x; 一個在數軸上隨機運動的質點 , 它在數軸上的位置記為x. 其中是離散型隨機變量的是()a. b. c.d.2. 若隨機變量x 的概率分布列為xx1x2pp1p2且 p1=p2, 則 p1 等于()a.b.c.d.3. 某學習小組共12 人, 其中有五名是“三好學生”, 現(xiàn)從該小組中任選5 人參加競賽 , 用 表示這 5 人中“三好學生”的人數, 則下列概率中等于的

2、是() a.p( =1)b.p( 1)c.p( 1)d.p( 2)4. 已知隨機變量x 的概率分布為p(x=i)=(i=1,2,3,4),則 p(2<x 4)= .【解析】 1. 選 a, 的變量所有取值可以一一列舉, 是離散型的 , 中的變量取值不可以一一列舉 , 為區(qū)間內的連續(xù)型的變量.2. 選 b. 由 p1+p2=1 且 p2=2p1, 可解得 p1=.- 13 -3. 選 b. 因為 p=,p=,所以 p=p+p.4. 因為由分布列的性質得+=1, 所以 a=5,所以 p=p+p=+=.答案 :1. 判斷離散型隨機變量的方法判斷一個隨機變量是否是離散型隨機變量的關鍵是判斷隨機變

3、量的所有取值是否可以一一列出, 具體方法如下 :(1) 明確隨機試驗的所有可能結果.(2) 將隨機試驗的結果數量化.(3) 確定試驗結果所對應的實數是否可以一一列出, 如能一一列出, 則該隨機變量是離散型隨機變量 , 否則不是 .2. 離散型隨機變量分布列的性質的應用(1) 利用“所有概率之和為1”可以求相關參數的取值范圍或值;(2) 利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3) 可以根據性質判斷所得分布列結果是否正確.考點二兩點分布、超幾何分布【典例】 1. 某學校調查高三年級學生的體育達標情況, 隨機抽取了一班10 人, 二班 15

4、人, 三班12 人, 四班 13 人, 四個班的達標人數分別為9,14,11,12,以這四個班的平均達標率為高三年級 的達標率 , 若達標記1 分, 不達標記0 分, 求高三年級的一個學生的得分x 的分布列 .2. 在心理學研究中, 常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響, 具體方法如下: 將參加試驗的志愿者隨機分成兩組, 一組接受甲種心理暗示, 另一組接受乙種心理暗示, 通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用. 現(xiàn)有6 名男志愿者a1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6 和 4 名女志愿者b1,b 2,b 3,b 4, 從中隨機抽取5 人接受甲種心理暗示

5、, 另 5 人接受乙種心理暗示.(1) 求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1 但不包含b1 的概率 ;(2) 用 x 表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數, 求 x 的分布列 .【解題導思】1.(1) 先求出這四個班的平均達標率, 作為高三學生的達標率.(2) 因為 x 的取值為1,0, 聯(lián)想到兩點分布.2.序號題目拆解接受甲種心理暗示的志愿者求從 6 男 4 女中取 5 人的方法數(1)求從除了a1 與 b1 外的 8 人中取 4 人的方包含 a1 但不包含b1 的概率法數用 x表示接受乙種心理暗示的女志愿者先寫出 x 的所有取值0,1,2,3,4人數(2)用古典概型概率公式求x 取每個值時的

6、求 x 的分布列概率【解析】 1. 由題意可得這四個班的平均達標率為=0.92,所以依此估計一個高三學生的達標率為0.92, 不達標率為1-0.92=0.08,所以高三年級的一個學生的得分x 的分布列為x10p0.920.082.(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1 但不包含b1 的事件為m, 則 p(m)=.(2) 由題意知x 可取的值為0,1,2,3,4,則p(x=0)=,p(x=1)=,p(x=2)=,p(x=3)=,p(x=4)=. 因此 x 的分布列為x01234p求超幾何分布的分布列的步驟1. 設袋中有80 個紅球 ,20個白球 , 若從袋中任取10 個球 , 則其中恰有6

7、個紅球的概率為()a.b.c.d.【解析】選 d. 若隨機變量x 表示任取10 個球中紅球的個數, 則 x 服從參數為n=100,m=80,n=10的超幾何分布. 取到的 10 個球中恰有6 個紅球 , 即 x=6,p(x=6)=( 注意袋中球的個數為 80+20=100).2. 根據以往數據測得一個學生投籃一次, 投中的概率為0.44, 設他投籃一次, 投中記 1 分, 否則記 0 分, 求他的得分x 的分布列 .【解析】 因為 p(x=1)=0.44,所以 p(x=0)=1-0.44=0.56,所以他的得分x 的分布列為x10p0.440.56考點三離散型隨機變量的分布列的綜合問題考什么

8、:(1)重點考查求離散型隨機變量的分布列.命(2) 與數列、函數等知識交匯考查分布列問題題怎么考 : 以統(tǒng)計、古典概型等實際問題為背景考查求離散型隨機變量的分布列, 常精常以解答題形式考查, 兩點分布多數是以選擇題或填空題形式考查, 超幾何分布以解解答題的形式考查讀新趨勢 : 結合新背景 , 與數列、函數等知識交匯考查分布列問題1. 解答有關分布列問題時的注意點學(1) 明確隨機變量的取值, 掌握分布列的性質霸(2) 求分布列時逐一求出隨機變量的各個取值對應的概率, 并把所有概率相加所得好和是 1 加以驗證 .方2. 交匯問題法解決分布列與統(tǒng)計、數列、函數等知識交匯問題, 注意拆分到各個知識塊

9、中, 各個擊破.以統(tǒng)計知識為背景考查分布列【典例】 某校暑假開展“名師云課”活動, 獲得廣大家長和學生的高度贊譽, 其中數學學科推出 36 節(jié)云課 , 為了更好地將課程內容呈現(xiàn)給學生, 現(xiàn)對某一時段云課的點擊量進行統(tǒng)計:點擊量 ( 單位: 千)0,1(1,3(3,+ )節(jié)數61812(1) 現(xiàn)從 36 節(jié)云課中按照點擊量采用分層抽樣的方式選出6 節(jié), 求選出的點擊量超過3 千的節(jié)數;(2) 為了更好地搭建云課平臺, 現(xiàn)將云課進行剪輯, 若點擊量在區(qū)間0,1內, 則需要花費40 分鐘進行剪輯 , 若點擊量在區(qū)間(1,3內, 則需要花費20 分鐘進行剪輯 , 點擊量超過3 千, 則不需要剪輯 ,

10、現(xiàn)從 (1) 中選出的6 節(jié)課中隨機取出2 節(jié)課進行剪輯, 求剪輯時間x 的分布列 .【解析】 (1) 根據分層抽樣可知, 選出的 6 節(jié)課中點擊量超過3 千的節(jié)數為× 6=2.(2) 由分層抽樣可知,(1)中選出的 6 節(jié)課中點擊量在區(qū)間0,1內的有 1 節(jié), 點擊量在區(qū)間(1,3內的有 3 節(jié), 點擊量在 (3,+ ) 內的有 2 節(jié), 故 x 的可能取值為0,20,40,60.p(x=0)=,p(x=20)=,p(x=40)=,p(x=60)=,則 x 的分布列為x0204060p求分布列的關鍵和關注點是什么?提示 : 求離散型隨機變量的分布列的關鍵和關注點(1) 關鍵 : 求

11、隨機變量取值所對應的概率, 在求解時 , 常用隨機變量取值的頻率來估計概率.(2) 關注點 : 求出分布列后, 注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確.以古典概型為背景考查分布列【典例】 為振興旅游業(yè), 四川省 2019 年面向國內發(fā)行總量為2 000 萬張的熊貓優(yōu)惠卡, 向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡( 簡稱金卡 ), 向省內人士發(fā)行的是熊貓銀卡( 簡稱銀卡 ). 某旅游公司組織了一個有36 名游客的旅游團到四川名勝旅游, 其中是省外游客 , 其余是省內游客. 在省外游客中有持金卡 , 在省內游客中有持銀卡 .(1) 在該團中隨機采訪3 名游客 , 求恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于2

12、 人的概率 ;(2) 在該團的省內游客中隨機采訪3 名游客 , 設其中持銀卡人數為隨機變量, 求 的分布列 .世紀金榜導學號【解析】 (1) 由題意得 , 省外游客有27 人, 其中 9 人持金卡 ; 省內游客有9 人, 其中 6 人持銀卡 .設事件 b 為“采訪該團3 人中 , 恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于2 人” ,事件 a1 為“采訪該團3 人中 ,1 人持金卡 ,0 人持銀卡” , 事件 a2 為“采訪該團3 人中,1 人持金卡,1 人持銀卡” .p(b)=p(a 1)+p(a 2)=+=+=, 所以在該團中隨機采訪3 人, 恰有 1 人持金卡且持銀卡者少于 2 人的概率是.(2)

13、 的可能取值為0,1,2,3,p( =0)=,p( =1)=,p( =2)=,p( =3)=,所以的分布列為0123p分布列與函數、數列等知識的交匯問題【典例】(1)由離散型隨機變量x的分布列得知3p=p，則當p= 時， p取到最大值 .(2) 隨機變量x 的分布列為x1234nppn求 pn；若p<，求 n 的最大值 .3【解析】 (1) 設 f=p，23則 f =3p+p2=p，由 f =0，得 p=，當 p時， f >0， f是增函數，當 p時， f <0， f是減函數，所以當 p=時， f取到最大值f， p取到最大值f.答案：(2) 因為 p1=，p2=， p3=，

14、p4=，所以歸納得pn=. 因為pn=-，所以由已知得p1+p2+p3+pn<，即-+-+-+-<，所以 1-<， 解得 n<2 019 ，因為 n 是正整數，所以n 的最大值為2 018.1. 某中學號召學生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動( 以下簡稱活動). 該校合唱團共有 100 名學生 , 他們參加活動的次數統(tǒng)計如圖所示.(1) 求合唱團學生參加活動的人均次數;(2) 從合唱團中任意選兩名學生, 求他們參加活動次數恰好相等的概率.(3) 從合唱團中任選兩名學生, 用 表示這兩人參加活動次數之差的絕對值, 求隨機變量 的分布列 .【解析】 (1) 由圖可知

15、, 參加活動1 次、 2 次和 3 次的學生人數分別為10、50 和 40. 該合唱團學生參加活動的人均次數為=2.3.(2) 從合唱團中任選兩名學生, 他們參加活動次數恰好相等的概率為p0=.(3) 從合唱團中任選兩名學生, 記“這兩人中一人參加1 次活動 , 另一人參加2 次活動”為事件a,“這兩人中一人參加2 次活動 , 另一人參加3 次活動”為事件b,“這兩人中一人參加1 次活動, 另一人參加3 次活動”為事件c.易知 p( =1)=p(a)+p(b)=+=;p( =2)=p(c) =;所以的分布列為012p*2. 某花店每天以每枝5 元的價格從農場購進若干枝玫瑰花, 然后以每枝10

16、元的價格出售, 如果當天賣不完 , 剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1) 若花店一天購進17 枝玫瑰花 , 求當天的利潤y( 單位 : 元) 關于當天需求量n( 單位 : 枝,n n )的函數解析式.(2) 花店記錄了100 天玫瑰花的日需求量( 單位 : 枝), 整理得下表 :日需求量n14151617181920頻數10201616151310以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. 若花店一天購進17 枝玫瑰花 ,x 表示當天的利潤( 單位 : 元), 求 x 的分布列 .【解析】(1) 當日需求量n 17 時, 利潤 y=(10-5)× 17=85;當日需求量n&

17、lt;17 時, 利潤 y=10n-85,*所以 y 關于 n 的解析式為y=(n n ). (2)x 可取 55,65,75,85,p(x=55)=0.1,p(x=65)=0.2, p(x=75)=0.16,p(x=85)=0.54.x 的分布列為x55657585p0.10.20.160.541. 某班級 50 名學生的考試分數x 分布在區(qū)間 50,100)內, 設考試分數x 的分布頻率是f(x)且f(x)=考試成績采用“5 分制” , 規(guī)定: 考試分數在 50,60)內的成績記為1 分, 考試分數在 60,70)內的成績記為2 分, 考試分數在 70,80)內的成績記為3 分, 考試分數

18、在80,90)內的成績記為4 分 , 考試分數在90,100)內的成績記為5 分. 在 50 名學生中用分層抽樣的方法, 從成績?yōu)? 分、 2 分及 3 分的學生中隨機抽出6 人, 再從這6 人中隨機抽出3 人, 記這 3 人的成績之和為( 將頻率視為概率).(1) 求 b 的值 , 并估計該班的考試平均分數. (2) 求 p(=7).(3) 求隨機變量 的分布列 .【解析】 (1) 因為 f(x)=所以-0.4+-0.4+-0.4+-+b+-+b =1, 所 以 b=1.9.估計該班的考試平均分數為-0.4×55+-0.4× 65+-0.4× 75+-+1.9&

19、#215; 85+-+1.9× 95=76.(2) 由題意可知 , 考試成績記為1 分,2 分,3 分,4 分,5 分的頻率分別是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分層抽樣的方法分別從考試成績記為1 分,2 分,3 分的學生中抽出1 人,2 人,3 人, 再從這 6人中抽出3 人,所以 p( =7)=.(3) 由題意 , 的可能取值為 5,6,7,8,9,p( =5)=,p( =6)=,p( =7)=,p( =8)=,p( =9)=.所以的分布列為:56789p2. 某校在高二年級實行選課走班教學 , 學校為學生提供了多種課程 , 其中數學學科提供 5 種不同層次的課程 , 分別稱為數學 1、數學 2、數學 3、數學 4、數學 5, 每個學生只能從 5 種數學課程中選擇一種學習 , 該校高二年級 1800 名學生的數學選課人數統(tǒng)計如表 :課程數學 1數學 2數學 3數學 4數學 5合計選課180540