高考數(shù)學(xué)二輪：6.3圓錐曲線的綜合問(wèn)題試題含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題1(20xx·福建)設(shè)p，q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點(diǎn)，則p，q兩點(diǎn)間的最大距離是()a5 b.c7 d62(20xx·陜西)如圖，橢圓e：1(ab0)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(0，1)，且離心率為.(1)求橢圓e的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓e交于不同的兩點(diǎn)p，q(均異于點(diǎn)a)，證明：直線ap與aq的斜率之和為2.1.圓錐曲線的綜合問(wèn)題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，考查范圍、最值問(wèn)題，定點(diǎn)、定值問(wèn)題，探索性問(wèn)題.2.試題解答往往要綜合應(yīng)用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類

2、討論等多種思想方法，對(duì)計(jì)算能力也有較高要求，難度較大.熱點(diǎn)一范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題(以所求式子或參數(shù)為函數(shù)值)，或者利用式子的幾何意義求解例1(20xx·重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，過(guò)f2的直線交橢圓于p，q兩點(diǎn)，且pqpf1.(1)若|pf1|2，|pf2|2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|pq|pf1|，且，試確定橢圓離心率e的取值范圍思維升華解決范圍問(wèn)題的常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解

3、(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域跟蹤演練1已知橢圓c的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(1，)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)線段pq是橢圓過(guò)點(diǎn)f2的弦，且，求pf1q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值熱點(diǎn)二定點(diǎn)、定值問(wèn)題1由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式：yy0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過(guò)定點(diǎn)(0，m)2解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確

4、定的值例2橢圓c：1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)p(2,1)的距離為.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)(a，b不是左，右頂點(diǎn))，且以ab為直徑的圓過(guò)橢圓c的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)思維升華(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(m,0)(2)動(dòng)曲線c過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€c的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)跟蹤演練2已知直線l：yx，圓o：x2y25，橢圓e：1(a>b>0)

5、的離心率e，直線l被圓o截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等(1)求橢圓e的方程；(2)過(guò)圓o上任意一點(diǎn)p作橢圓e的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩切線的斜率之積為定值熱點(diǎn)三探索性問(wèn)題1解析幾何中的探索性問(wèn)題，從類型上看，主要是存在類型的相關(guān)題型，解決這類問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在2反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法例3如圖，拋物線c：y22px的焦點(diǎn)為f，拋物線上一定點(diǎn)q(

6、1,2)(1)求拋物線c的方程及準(zhǔn)線l的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)f的直線(不經(jīng)過(guò)q點(diǎn))與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)m，記qa，qb，qm的斜率分別為k1，k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由思維升華解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)：存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)，要分類討論(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑跟蹤演練3(20xx·四川)如圖，橢圓e：1(ab0)的

7、離心率是，點(diǎn)p(0,1)在短軸cd上，且·1.(1)求橢圓e的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p的動(dòng)直線與橢圓交于a，b兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由已知橢圓c1：1(a>0)與拋物線c2：y22ax相交于a，b兩點(diǎn)，且兩曲線的焦點(diǎn)f重合(1)求c1，c2的方程；(2)若過(guò)焦點(diǎn)f的直線l與橢圓分別交于m，q兩點(diǎn)，與拋物線分別交于p，n兩點(diǎn)，是否存在斜率為k(k0)的直線l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由提醒：完成作業(yè)專題六第3講二輪專題強(qiáng)化練專題六第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題a組專題通關(guān)1(20xx

8、83;北京西城區(qū)期末)若曲線ax2by21為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a，b滿足()aa2>b2 b.<c0<a<b d0<b<a2已知橢圓1(0<b<2)的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f1的直線l交橢圓于a，b兩點(diǎn)，若|bf2|af2|的最大值為5，則b的值是()a1 b. c. d.3已知f為拋物線y28x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)f且斜率為1的直線l交拋物線于a，b兩點(diǎn)，則|fa|fb|的值為()a4 b8c8 d164設(shè)橢圓1(a>b>0)的離心率為e，右焦點(diǎn)為f(c,0)，方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)p(x1，x2

9、)()a必在圓x2y22內(nèi) b必在圓x2y22上c必在圓x2y22外 d以上三種情形都有可能5若點(diǎn)o和點(diǎn)f分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)p為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為()a2 b3 c6 d86已知雙曲線x21的左頂點(diǎn)為a1，右焦點(diǎn)為f2，p為雙曲線右支上一點(diǎn)，則·的最小值為_(kāi)7已知a(1,2)，b(1,2)，動(dòng)點(diǎn)p滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)p的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_8在直線y2上任取一點(diǎn)q，過(guò)q作拋物線x24y的切線，切點(diǎn)分別為a、b，則直線ab恒過(guò)定點(diǎn)_9已知橢圓c：1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，

10、離心率為，過(guò)點(diǎn)m(2,0)的直線l與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓c的方程；(2)若b點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是n，證明：直線an恒過(guò)一定點(diǎn)b組能力提高10已知直線ya交拋物線yx2于a，b兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)c，使得acb為直角，則a的取值范圍為_(kāi)11直線3x4y40與拋物線x24y和圓x2(y1)21從左到右的交點(diǎn)依次為a、b、c、d，則的值為_(kāi)12(20xx·課標(biāo)全國(guó))已知橢圓c：9x2y2m2(m0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，線段ab的中點(diǎn)為m.(1)證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段om與c交

11、于點(diǎn)p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由學(xué)生用書(shū)答案精析第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題高考真題體驗(yàn)1d如圖所示，設(shè)以(0,6)為圓心，以r為半徑的圓的方程為x2(y6)2r2(r>0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知p，q兩點(diǎn)間的最大距離為r6，故選d.2(1)解由題設(shè)知，b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以橢圓的方程為y21.(2)證明由題設(shè)知，直線pq的方程為yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知

12、0，設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2，從而直線ap，aq的斜率之和 kapkaq2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.熱點(diǎn)分類突破例1解(1)由橢圓的定義，2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知pf1pf2，因此2c|f1f2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)如圖，由pf1pq，|pq|pf1|，得|qf1|pf1|.由橢圓的定義，|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a，進(jìn)而|pf1|pq|qf1|4a，于是(1)|pf1|4a，解得|pf1|，故|pf2|2a|pf1|.由

13、勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)24c2，從而224c2，兩邊除以4a2，得e2.若記t1，則上式變成e282.由，并注意到1關(guān)于的單調(diào)性，得3t4，即.進(jìn)而e2，即e.跟蹤演練1解(1)e，p(1，)滿足1，又a2b2c2，a24，b23，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)顯然直線pq不與x軸重合，當(dāng)直線pq與x軸垂直時(shí)，|pq|3，|f1f2|2，3；當(dāng)直線pq不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線pq：yk(x1)，k0代入橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程，整理，得(34k2)y26ky9k20，>0，y1y2，y1·y2.·|f1f2|·|y1y2|12，令t34k2

14、，t>3，k2，3，0<<，(0,3)，當(dāng)直線pq與x軸垂直時(shí)最大，且最大面積為3.設(shè)pf1q內(nèi)切圓半徑為r，則(|pf1|qf1|pq|)·r4r3.即rmax，此時(shí)直線pq與x軸垂直，pf1q內(nèi)切圓面積最大，1.例2解(1)設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又由題意知，解得c21，故a24，b23，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯(lián)立得(34k2)x28mkx4(m23)0.則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點(diǎn)為

15、a2(2,0)，aa2ba2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m2>0，當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為yk(x2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾當(dāng)m2時(shí)，l的方程為yk，直線過(guò)定點(diǎn)，且滿足，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.跟蹤演練2(1)解設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心o到直線l的距離d，b.由題意得a23，b22.橢圓e的方程為1.(2)證明設(shè)點(diǎn)p(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)p的橢圓e的切線l0的方程為yy0k(xx0)，聯(lián)立直線l0與橢圓e的方程得消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)

16、260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x)k22kx0y0(y3)0，設(shè)滿足題意的橢圓e的兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1·k2，點(diǎn)p在圓o上，xy5，k1·k21.兩條切線的斜率之積為常數(shù)1.例3解(1)把q(1,2)代入y22px，得2p4，所以拋物線方程為y24x，準(zhǔn)線l的方程為x1.(2)由條件可設(shè)直線ab的方程為yk(x1)，k0.由拋物線準(zhǔn)線l：x1，可知m(1，2k)又q(1,2)，所以k3k1，即k3k1.把直線ab的方程yk(x1)，代入拋物線方程y24x，并整理，可得k2x22(k22)xk20.設(shè)a(x1，

17、y1)，b(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1x2，x1x21.又q(1,2)，則k1，k2.因?yàn)閍，f，b共線，所以kafkbfk，即k.所以k1k22k2k2，即k1k22k2.又k3k1，可得k1k22k3.即存在常數(shù)2，使得k1k2k3成立跟蹤演練3解(1)由已知，點(diǎn)c、d的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)，又點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以橢圓e的方程為1.(2)當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí)，設(shè)直線ab的方程為ykx1，a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x

18、1x2，從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時(shí)，23，此時(shí)··3為定值當(dāng)直線ab斜率不存在時(shí)，直線ab即為直線cd，此時(shí)，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.高考押題精練解(1)因?yàn)閏1，c2的焦點(diǎn)重合，所以，所以a24.又a>0，所以a2.于是橢圓c1的方程為1，拋物線c2的方程為y24x.(2)假設(shè)存在直線l使得2，則可設(shè)直線l的方程為yk(x1)，p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x3，y3)，n

19、(x4，y4)由可得k2x2(2k24)xk20，則x1x4，x1x41，所以|pn|·.由可得(34k2)x28k2x4k2120，則x2x3，x2x3，所以|mq|·.若2，則2×，解得k±.故存在斜率為k±的直線l，使得2.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第3講圓錐曲線的綜合問(wèn)題1c由ax2by21，得1，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以>>0，所以0<a<b.2d由橢圓的方程，可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a2；由橢圓的定義，可知|af2|bf2|ab|4a8，所以|ab|8(|af2|bf2|)3.由橢圓的性質(zhì)，可知過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，即3

20、，可求得b23，即b.3c依題意知f(2,0)，所以直線l的方程為yx2，聯(lián)立方程消去y得x212x40.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x212，x1x24，則|af|bf|(x12)(x22)|x1x2|8.4ax1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a2c2a22a2.xx<2.p(x1，x2)在圓x2y22內(nèi)5c設(shè)p(x0，y0)，則1，即y3，又因?yàn)閒(1,0)，所以·x0·(x01)yxx03(x02)22，又x02,2，即·2,6，所以(·)max6.62解析由已知得a1(1,0)，f2(2,0)設(shè)

21、p(x，y) (x1)，則·(1x，y)·(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，則f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為2.7(1,2)解析設(shè)p(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為(x1)(x1)(y2)·(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.8(0,2)解析設(shè)q(t，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，拋物線方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點(diǎn)a處的切線方程為yy1x1(xx1)，化簡(jiǎn)得，yx1xy1，同理，在點(diǎn)b處的切線方程為yx2xy2.又點(diǎn)q(t，2)的坐標(biāo)滿足這兩個(gè)方程，代入得：2x1ty1，2x2