北京市西城區(qū)2020屆高三診斷性考試(5月)數(shù)學試題Word版含答案

1、西 城區(qū)高 三診斷 性測試數(shù) 學第i卷(選擇題共40分)、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.集合a2020.501.設(shè)x|x 3 , bx x 2k,k z，則ai b =(a)0,02.若復數(shù)2z滿足z i(a)第一象限下列函數(shù)中,值域為03.(b)(c)2,0,2,2i,則在復平面內(nèi)z對應的點位于2(b)第二象限第三象限r(nóng)且區(qū)間(0,(b)上單調(diào)遞增的是xx(d)2,1,0,1,2(d)第四象限(a) y(c)(d)04.拋物線x24 y的準線方程為(a) x 105.在abc中，若a:b:c(a)80.21(b) x 1(c

2、) y 14:5:6則其最大內(nèi)角的余弦值為,(b)1(c)-410(d) y 1(d)3506.設(shè)a 3 , b log32 ,(a) a c bc 10g0.23,則(b) a b c( )b c ac(d) b ac(d)a的取值范圍是,109.若向量a與b不共線，則“(a)充分而不必要條件(c)充要條件x(a)(b)(a?b 0”是“a,0(c) 0,)2(d)5,b a”的(b)必要而不充分條件(d)既不充分也不必要條件b10.設(shè)函數(shù)f(x) (x 1)e .若關(guān)于x的不等式f(x)ax 1有且僅有一個整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是1 / 122(a) (0,e(b) (0,e2, e(

3、d)(c)1,y第n卷(非選擇題共wo分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.設(shè)平面向量a (1,2), b (k,2)滿足a b,則b .2212 .若雙曲線 斗匕1( a 0)經(jīng)過點(2,0),則該雙曲線漸近線的方程為 .a 1613 .設(shè)函數(shù)f(x) sin2x 2cos2x,則函數(shù)f(x)的最小正周期為 ;若對于任意x r,都有f(x) m成立，則實數(shù)m的最小值為.14 .甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，其中有兩人最終獲獎.在比賽結(jié)果揭曉之前，四人的猜測如 下表，其中表示猜測某人獲獎，“x”表示猜測某人未獲獎，而則表示對某人是否獲獎未發(fā)表意見.已知四個人中有且只

4、有兩個人的猜測是完全正確定的，那么兩名獲獎者是,便獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測vxxv乙的猜測xoov丙的猜測xvxv丁的猜測oovx15.在四棱錐p abcd中，底面abcd是正方形，pa底面abcd, pa ab 4, e,f,h分別是棱pb,bc,pd的中點，對于平面efh截四錐p abcd所得的截面多邊形，有以下三個結(jié)論：截面的面積等于4褥；截面是一個五邊形；截面只與四棱錐p abcd四條側(cè)棱中的三條相交.其中，所有正確結(jié)論的序號是 .三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.16 .(本小題滿分14分)如圖，在幾何體abcdef中，底面abc

5、d是邊長為2的正方形，de平面abcd, de / bf ,且de 2bf 2 .(i )求證：平面bcfii平面ade ;(n)求鈍二面角d ae f的余弦值.2 / 1217 .(本小題滿分14分)從前n項和snnp(p r),an2a-3 ,a611且2a-anan2這三個條件中任選一個,補充到下面的問題中，并完成解答.在數(shù)列an中，&1 ,其中n n .(i)求an的通項公式；*(n)右a1,an,am成等比數(shù)列，其中m,n n,且m n 1,求m的取小值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18 .(本小題滿分14分)某花卉企業(yè)引進了數(shù)百種不同品種的康乃馨，通過試

6、驗田培育，得到了這些康乃馨種子在當?shù)丨h(huán)境下的發(fā)芽率，并按發(fā)芽率分為到如圖所示的頻率分布直方圖.8組：0.486,0.536) , 0.536,0.586),，0.836,0.886)加以統(tǒng)計，得0.736但不于0.636的種子定為“b級”，發(fā)芽率低于0.636的種子定為“c級”.低(i)現(xiàn)從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，估計該種子不是“c級”種子的概率;20元、15元、x元,以頻率為概率，那么對于這些康1.1倍,(ii)該花卉企業(yè)銷售花種，且每份“a級”、“b級”“c級”康乃馨種子的售價分別為10元.某人在市場上隨機購買了該企業(yè)銷售的康乃馨種子兩份，共花費求x的分布列和數(shù)學期望；(id)企業(yè)改

7、進了花卉培育技術(shù)，使得每種康乃馨種子的發(fā)芽率提高到原來的乃馨的種子，與舊的發(fā)芽率數(shù)據(jù)的方差相比，技術(shù)改進后發(fā)芽率數(shù)據(jù)的方差是否發(fā)生變化？若 發(fā)生變化，是變大了還是變小了？(結(jié)論不需要證明)3 / 1219 .(本小題滿分14分)22已知橢圓c：x24 i(a b 0)的離心率為1 ,右焦點為f，點a(a,0),且af 1 . a b 2(i)求橢圓c的方程；(n)過點f的直線l(不與x軸重合)交橢圓c于點m,n ,直線ma,na分別與直線x 4交于點p ,q,求pfq的大小.20.(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(x) aex cosx ,其中a r .(i)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，求a的值；(

8、n)若a 1 ,證明：當x 0時，f(x) 2；(出)若f(x)在區(qū)間0,司內(nèi)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.4 / 1221 .(本小題滿分14分)設(shè)n為正整數(shù)，區(qū)間 八 區(qū)自1(其中akr, k 1,2,l , n )同時滿足下列兩個條件:對任意x 0,100,存在k使得x i；k對任意k 1,2,l ,n,存在x 0,100,使得x l(其中i 1,2, l ,k 1,k 1,l ,n).k(i)判斷ak(k 1,2,l ,n)能否等于k 1或1;(結(jié)論不需要證明).2n的最大值；若不在在，說明理由.(n)求n的最小值；(出)研究n是否存在最大值，若存在，求出5 / 12西城區(qū)高三診斷

9、性測試數(shù)學參考答案10小題,每小題4分,共40分.2020.5一、選擇題：本大題共1. c6. b2. a7. d3. b4. d9. a5. a10. d8. a二、填空題：本大題共5小題, 每小題5分,共25分.1 -2.5112. y 2x13.式,近114.乙，丁注：第14題全部選對得5分，其他得。分；第15題全部選對得5分，不選或有錯選得6小題，共85分.其他正確解答過程，請參照評分標準給分0分，其他得3分.三、解答題：本大題共16.(本小題滿分14分)解：（i ）因為de / bf , de平面ade , bf平面ade ,所以bf平面ade .同理，得bc平面ade .又因為bc

10、i bf b , bc平面bcf , bf平面bcf ,所以平面bcf/平面ade .(n)由de平面abcd,底面abcd為正方形,平面dae的法向量m (0,1,0).6 / 12設(shè)鈍二面角d ae f的平面角為m n , 1則|cos | |cos | |-| -， |m| |n|3m,n1所以cos 3 ,即鈍二面角d ae f的余弦值為1-.14分17.(本小題滿分14分)解：選擇：(i )當n 1時，由g a 1 ,得p 0.2當na2時，由題息，得s1(n 1) ,所以ansnsn 12n 1 (n2) .經(jīng)檢驗，a11符合上式，*所以an 2n 1 (n n ) .(n)由四昌

11、昌成等比數(shù)列，得a2 a1am ,即(2n 1)2 1 (2 m 1).一212化簡，得m 2n2 2n 1 2(n萬)2因為m , n是大于1的正整數(shù)，且m n ,所以當n 2時，m有最小值5 .選擇：(i )因為anan 13 ,所以an 1an3 .所以數(shù)列an是公差d 3的等差數(shù)列.一 . . _ _ . _ * . 一所以ana1(n 1)d 3n 2 (n n ).2(n)由a1,an,am成等比數(shù)列，得anaam ,一 一2一 即(3n 2)2 1 (3m 2).，一r222化簡，得m 3n2 4n 2 3(n -)2 - ,3因為m , n是大于1的正整數(shù)，且m n ,所以當n

12、 2時，m取到最小值6.選擇：1237 / 12.2分3分5分6分8分9分、11分14分2分4分6分8分9分,11分14分(i )由2an1anan2, 得n 1aanan 2an1.所以數(shù)列an是等差數(shù)列.又因為ai1 , a6ai5d 11,所以d 2 .所以ana (n 1)d 2n 1(n n ). 4分. 6分(n )因為a冏3成等比數(shù)列，所以a2 aa ,_2_即(2n 1)21 (2m 1).，一r222化簡，得m 2n 2n 1 2(n 1). 8分. 9分12122,. 11分因為m , n是大于1的正整數(shù)，且m n ,所以當n 2時，m有最小值5. . 14分18.(本小題

13、滿分14分)解：(i)設(shè)事件m為：“從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，且該種子不是“c級”種子”，. 1分由圖表，得(0.4 1.2 a 4.0 6.0 4.4 1.2 0.4) 0.05 1,解得a 2.4. .2分由圖表，知“c級”種子的頻率為(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2,. 3分故可估計從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，該種子是“c級”的概率為0.2.因為事件m與事件“從這些康乃馨種子中隨機抽取一種，且該種子是“c級”種子”為對立事 件，所以事件m的概率p(m) 1 0.2 0.8. 5分(n)由題意，任取一種種子，恰好是“a級”康乃馨的概率為(4.4 1.2 0.4) 0.

14、05 0.3,恰好是“b級”康乃馨的概率為(4.0 6.0) 0.05 0.5 ,恰好是 “c級”的i率為(0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2.隨機變量x的可能取值有20, 25, 30, 35, 40,且p(x20)0.2 0.20.04,. 7分p(x25)0.2 0.50.5 0.2 0.2,p(x30)0.5 0.50.3 0.2 0.2 0.3 0.37 ,p(x35)0.3 0.50.5 0.3 0.3,p(x 40) 0.3 0.3 0.09. 9分8 / 12所以x的分布列為:xp200.04250.2300.37350.3400.09.10分故x的數(shù)學期望e(x) 2

15、0 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31.11分(出)與舊的發(fā)芽率數(shù)據(jù)的方差相比，技術(shù)改進后發(fā)芽率數(shù)據(jù)的方差變大了19.14分解：4333(n)當直線l的斜率不存在時，有m (1-) , n(1, ) , p(4, 3), q(4,3) , f(1,0),22uuruur, uuu uur, uuu uur則fp (3, 3) , fq (3,3)，故 fp fq 0 ,fp fq 0 ,即pfq 900.當直線l的斜率存在時，設(shè)l:y k(x 1),其中k 0.聯(lián)立y2x21),得(4k 3)x 8k x 4k 12 0 .由題意，知k(2222. 6分

16、. 7分. 8分0恒成立，8kx22設(shè)m(xi,y“，n(x2, y2),則xx24k 122記飛，1x 4?，,. 10分. 11分. 12分3x 4y 12,直線ma的方程為y y(x 2) .xi 2令x 4,得yp-2y ,即p(4,-2y) .x1 2同理可得q(4,0-).x1 2x2 2uuu 2yuuu 2y2所以fp (3,), fq (3,).x1 2x2 2uuu uur因為fp fq 94y1y2(xi2)(x22)224k(xi 1)(x21)(xi2)(x22)4k x1x2(xi x2) 1x1x2 2(x1x2) 49 / 12222222224k 12216k

17、24k (4k 12) 8k (4 k 3)212)16k24(4 k(4f30,4f4k2所以pfq 900 .綜上,pfq 90o.20.(本小題滿分15解：(i )函數(shù)f (x)分)為偶函數(shù),所以f( f(力，即ae1 ae解得0.驗證知a 0符合題意.(n) f (x)_xe sin x.得ex1,sin1,1x,則fxe sin x0,即f(x)在(0,)上為增函數(shù).(x)故ff(0即f(x) 2.(x)ae)(m)由f(x)xcosx0,得acosxx-e設(shè)函數(shù)h(x)cosxx 0,可ex則h(x)處cosxxe令h(x) 0,得x三.4隨著x變化,h (x)與h(x)的變化情況

18、如下表所示:x3支,3n(一,用篇(0,手)44h (x)0h(x)極大值所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(江,力上單調(diào)遞減.4 43jt又因為h(0)1,h(力e3支h(47)42 jcosx r ，_，.一 , 一所以當a e:e4 )時，方程ax在區(qū)間0,司內(nèi)有兩個不同解，且在區(qū)間2e10 /)14分10分11分13分一 一、_.3tt ，一)與40,(包，用上各有一個解.4即所求實數(shù) a 的取值范圍為e; 旦3k23).15分21 .(本小題滿分14分)解：(i) akk可以等于k 1,但ak不能等于一1 . . 3分2 (n )記b a為區(qū)間a,b的長度，則區(qū)間0,100的長度為100 , ik的長度為1.由，得n100. . 6分又因為i10,1 , i21,2 , l , i10099,100顯然滿足條件，.所以n的最小值為100. . 8分(m ) n的最大值存在，且為200. . 9分解答如下：(1)首先，證明n v 200 .由，得 ii,i2,l ,in互不相同，且對于任意k ,