北師大版高中數(shù)學必修一數(shù)學必修第一冊：5.1.1《利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性》教案

1、- 1 - / 5 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性 【教學目標】【教學目標】 1學習函數(shù)零點的概念，領會方程的根與函數(shù)零點之間的關系，提升直觀想象素養(yǎng)。 2通過結(jié)合圖像與解函數(shù)零點問題，培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學運算素養(yǎng)。 【教學重難點】【教學重難點】 1了解函數(shù)零點的概念，領會方程的根與函數(shù)零點之間的關系。(易混點) 2掌握函數(shù)零點存在的判定方法。(重點) 3能結(jié)合圖像求解零點問題。(難點) 【教學過程】【教學過程】 一、基礎鋪墊 1函數(shù)的零點： 定義：函數(shù) f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數(shù)的零點。 方程的根、函數(shù)的圖像、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系。 2函數(shù)

2、零點的判定定理： 若函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即 f(a) f(b)0，則 yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒有零點嗎？ 提示 (1)不是點，是數(shù)。 (2)不一定，如 yx21，在區(qū)間(2，2)上有兩個零點。 二、新知探究 1求函數(shù)的零點 【例 1】 判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出。 - 2 - / 5 (1)f(x)x3x； (2)f(x)x22x4； (3)f(x)2x3； (4)f(x)1log3x。 解 (1)令x3x0，解得 x3， 所以函數(shù) f(x)x3x的零點是3 (2)令 x22x40，由于 224 4120，

3、 所以方程 x22x40無解， 所以函數(shù) f(x)x22x4 不存在零點。 (3)令 2x30，解得 xlog23， 所以函數(shù) f(x)2x3 的零點是 log23 (4)令 1log3x0，解得 x3， 所以函數(shù) f(x)1log3x的零點是 3 【教師小結(jié)】 函數(shù)零點的求法，求函數(shù) yf(x)的零點通常有兩種方法：其一是令 yf(x)0，根據(jù)解方程 yf(x)0 的根求得函數(shù)的零點；其二是畫出函數(shù) yyf(x)的圖像，圖像與 x 軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點。 2判斷零點所在的區(qū)間 【例 2】 (1)已知函數(shù) f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下 x，f(x)的對應值表： x 1 2 3

4、4 5 6 f(x) 15 10 7 6 4 5 則函數(shù) f(x)在區(qū)間1，6上的零點至少有( ) a2個 b3個 c4個 d5個 (2)函數(shù) f(x)ln x2x的零點所在的大致區(qū)間是( ) a(1，2) b(2，3) c1，1e和(3，4) d(e，) (1)b (2)b (1)由已知數(shù)表可知 f(2) f(3)10 (7)0， f(3) f(4)(7) 60，f(4) f(5)6 (4)0， - 3 - / 5 故函數(shù) f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)上分別存在零點，故至少有 3個零點。 (2)f(1)20，f(2)ln 210， 在(1，2)內(nèi) f(x)無零點，a錯； 又

5、f(3)ln 3230，f(2) f(3)0， f(x)在(2，3)內(nèi)有零點。 【母題探究】 1(變條件)已知函數(shù) f(x)x3x1僅有一個正零點，則此零點所在區(qū)間是( ) a(3，4) b(2，3) c(1，2) d(0，1) c 因為 f(1)10， 所以 f(1) f(2)0， 所以 f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有一個零點， 又 f(x)僅有一個正零點，故選 c 2(變結(jié)論)探究 1中，函數(shù) yf(x)有負零點嗎？ 解 當 x1 時，f(x)x3x1x(x21)11，當1x0 時，f(x)x3x1x3(x1)(x1)0，綜上知，當 x0時，f(x)0的零點個數(shù)為( ) a3 b2 c1

6、 d0 (2)函數(shù) f(x)ln xx23 的零點的個數(shù)是_。 (1)b (2)1 (1)當 x0 時，令 x22x30，解得 x3；當 x0 時，令2ln x0，解得 xe2，所以已知函數(shù)有兩個零點，故選 b (2)因為 f(1)2，f(2)ln 210； 所以 f(1) f(2)0. - 4 - / 5 又 f(x)ln xx23的圖像在(1，2)上是不間斷的，所以 f(x)在(1，2)上必有零點。 又 f(x)在(0，)上是遞增的， 所以零點只有 1個。 【教師小結(jié)】 判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法 （1）方程法：若方程 yf(x)0 的解可求或能判斷解的個數(shù)，可通過方程的解來判斷函數(shù)是否存

7、在零點或判定零點的個數(shù)。 （2）圖像法：由 yf(x)yg(x)-h(x)0，得 g(x)=h(x)，在同一平面直角坐標系內(nèi)作出 y1g(x)和 y2h(x)的圖像，根據(jù)兩個圖像交點的個數(shù)來判定函數(shù)零點的個數(shù)。 （3）定理法：函數(shù) yf(x)的圖像在區(qū)間a，b上是一條連續(xù)不斷的曲線，由 f(a) f(b)0即可判斷函數(shù) yyf(x)在區(qū)間 a，b 內(nèi)至少有一個零點。若函數(shù) yf(x)在區(qū)間 a，b 上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間 a，b 內(nèi)只有一個零點。 三、課堂總結(jié) 1在函數(shù)零點存在定理中，要注意三點：(1)函數(shù)圖像在區(qū)間a，b上是連續(xù)的；(2)定理不可逆；(3)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，

8、函數(shù)至少存在一個零點。 2方程 f(x)g(x)的根是函數(shù) f(x)與 g(x)的圖像交點的橫坐標，也是函數(shù) yf(x)g(x)的圖像與 x軸交點的橫坐標。 3函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題有時可以轉(zhuǎn)化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的基礎。 四、課堂檢測 1思考辨析 (1)零點即函數(shù) yf(x)的圖像與 x軸的交點。( ) (2)若方程 f(x)0有兩個不等實根 x1，x2，則函數(shù) yf(x)有兩個零點。( ) (3)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，則一定有 f(a) f(b)0.( ) 答案 (1) (2) (3) 2yx1的圖像與

9、 x 軸的交點坐標及其零點分別是( ) a1，(1，0) b(1，0)，0 c(1，0)，1 d1，1 c 由 yx10，得 x1， - 5 - / 5 故交點坐標為(1，0)，零點是1 3若函數(shù) f(x)唯一的零點在區(qū)間(1，3)或(1，4)或(1，5)內(nèi)，則 函數(shù) f(x)的零點在(1，2)或(2，3)內(nèi)； 函數(shù) f(x)在(3，5)內(nèi)無零點； 函數(shù) f(x)在(2，5)內(nèi)有零點； 函數(shù) f(x)在(2，4)內(nèi)不一定有零點； 函數(shù) f(x)的零點必在(1，5)內(nèi)。 以上說法錯誤的是_(將序號填在橫線上)。 由于三個區(qū)間是包含關系，而(1，5)范圍最大，零點位置可能在區(qū)間(1，5)的任何一個子區(qū)間內(nèi)，錯誤。 4判斷下列函數(shù)是否存在零點，