清華大學(xué)本科生高等數(shù)學(xué)微積分B(2)第七周講課提綱(第一型曲線積分第1類曲面積分)

1、第7周講課提綱(5學(xué)時)by hiizm第1頁共11頁特別說明1本周將前面剩下的內(nèi)宕我齊.含參積分的內(nèi)容根據(jù)課時靖況處理.不是教學(xué) 基本要求.p189 2,5 (曲線枳分)：p199 2,4 (1) (2) (3)(曲面積分)§12.5第一型曲線積分與第一型曲面積分一、第一型曲線積分引例：(1)空間曲線段的質(zhì)金 川=11111$>(.%土,九)乂， 宀°頊(2)準線在x-y平面，母線平行于z軸的柱而面枳1. 第一型曲線積分的定義定義：設(shè)l s-i-f求長的曲線，函& /(x.y.z)在匕上有定義.對2的任意劃分a/j,任取(丹,與)叫，若極限存在，則稱函數(shù)在2

2、上町枳,極限值稱為尸(x,月z)在z上第一型曲線積分.記作 f£/(x,y,z)d7 .notel：。稱為枳分路徑：封閉曲線上的枳分記作jlf(xtyt2)dl.note2： j,/(x,y,r)d/存在的充分條件是：曲線匕訶求長，il函數(shù)/'(x,)，,z)在2上連續(xù).2. 第一型曲線積分的性質(zhì)note：第一型曲線枳分與定枳分及重枳分有類似的性質(zhì).(1) 第一型曲線積分與積分路徑的方向無關(guān)即£：/("泗= £*/("z)d/(2) 積分路徑的可加性，即訓(xùn)=l，(x,y,z)d/ + £ /(x,ytz)d/3. 第一型曲線積

3、分的計算定理：設(shè)曲線2： )，=)，(/),住a, p是-光滑曲線.若函數(shù)/a,y,z)在，上連續(xù),則z = z(f)fz/(x,y,z)d7存在，且f/cv,j,z)d；=了/,z(g/w)«)y (慶山notel：公式的構(gòu)成.積分限的大?。簄ote2： ye曲線的情況.l： y = y(x)ec1fi,2>. j£ /(rj )d/ = f(xtym)l+y'(x)2dx:l :廠=1(0)仁01,閔，jz/(x,y)d/ =/(r(3)cos。，sm幻/(6)： +/(阪d8 .證明：(只證積分值的大小)對乙的任意劃分，與其對應(yīng)的1閔的劃分為缶，其中m刷

4、再而詼荷=而5頃亦而5氧取(4 ,h，z*)=(x(rk). k"), z(rt) e 叫.則l/(w,e)<v=姓叫=lun x /(x(" ), y(r* ), z(r* )jx*(r* ) +>(r* )2 +2r(r*): ar* 一。虹=r /*(x(r), )'(，), z(r)mv'(庁+z'(慶由.problem；如何證明存在性？例1：計算曲線枳分1 = "，+寸出，其中匕：y = jax-? (a>0).解：a a -x = + cos 8, 參數(shù)方程：取l： 2 20eo,n,則a .-j = sm/

5、= j£v7+77d7 = yjocosyd6 = <,2 -第7周講課提綱（5學(xué)時）by hiizm第3頁共11頁極坐標方程：若取z： r = <7cos6,e0,.則=jj j(-cos3cos療 +(cos8sin3)-j(cos。)： +(-asin)，d6=<7* i - cos0<w = (t .直角坐標方程：i人i為z： y = j貝-所以例2：計算曲線枳分1 = £/出.其中x + y+z = o1x2 +y- + z2 = r2解：根據(jù)對稱性，jlx2dl = jly2dj = jlz2dl.所以z = x2d/ = i（x2 +y

6、2 + z2）d/ = ij?2d/ = 7t/?3 例3：如圖.z從.4到3再到c.均勻，求的形心.l>ii解：因為 j£pd/ = 2p,jpxd/ = pxd/ + £ pxd/l pvxv=丄 p.vd；+丄 pr=£ p 如+£ p 飽=|p- 所以樸妲匕丄y=i.腴出 4 j£pdz 4練習(xí)：求均勻半圖周對位于其圓心的單位質(zhì)點的引力.二.第一型曲面積分1. 第一型曲面積分的定義定義：設(shè)£是一可求而枳的曲而.函數(shù)八p*）在e上仃定義.對e的任意劃分&. &的面枳記為叫,任取s必山）wae”若極限存在，則

7、稱函數(shù)/(x況z)在£ ej積，極限偵稱為/偽)在e卜第一型曲面積分.記作jj/(x,y,z)ds .notel：第一型曲面枳分又叫關(guān)于面枳的枳分：封閉曲面時，記作/(xj>z)ds： jjds等于積分曲面£的面積.note!： jj/(x.y,z)ds存在的充分條件是：£可求面枳，函數(shù)，偵況z)在e上連續(xù).2. 第一型曲面枳分的性質(zhì)第一性曲面枳分的性質(zhì)與正枳分的性質(zhì)類晚 特別應(yīng)注意:(1)與方向無關(guān)：j|/(xjz)ds的偵與曲面方向無關(guān):<2)區(qū)域可加性：|7(2對=。/(“孫)<15 + |7(丄)璀)05,其中曲面£由和烏構(gòu) &

8、#163;匚匚成:(3)對稱性：若曲面£關(guān)于x-y平面對稱.且/(匕凹7)= -'(*»1),則jjv偵況小5 = 0 .3. 第一型曲面積分的計算“象更枳分及第一型曲線.積分的計算類似.第一型曲面積分的計耳是先轉(zhuǎn)化為二重枳分、再 轉(zhuǎn)化為定枳分進行的”x = x&v),定理：設(shè)曲iffls： yr(e),q，,y)uq是一光滑曲面.若陽數(shù)/(x,y,z)在£上連續(xù),z = z(w.v)j/(x,j,z)ds = jjf(x(uy),y(uy)tz(uy)yjegdudv . £d其中 e = i引t f =g =，ru = (dgz.),

9、 rv = (xv,yv,zr).notel：公式的構(gòu)成.note2：顯式方程 s : z = z(x,y), (v)e d ,jj /(、g=|囲 +(斜chdv .特別地，當 4 z = o,（xj）ed 時，jf/（xty,z）<ls = jj/（x.y,o）dvdy .>d證明,（只證積分值的大?。的任意劃分vj,與其對應(yīng)的q的劃分為里）j,記以為氣的面枳，則叫=jj jeg-ffd、= y/eg-f2 ab*孤虹m)取 gw z*）=（x（4，m），y（ik m）, z （&血）e az 卜，則打了偵/應(yīng)心二姓2,（與，加互）品a-k (e)=jj /(x(m

10、, v), y(w, v), z(w, vvtg/df/dr.x = m cosv.例 1：計算第一型曲面枳分z = jjzds ,其中 ' :j = msmv,(m,v)eo,<7xo,2n.解：因為e = l f = 0, g = l + 2,所以jj ids = jj ivt+irdi/dt = j； i vl+rdv x d例2：計算第一型曲面枳分/=fj4<-其中£為球宙+.” +=#¥：平山iv £z = h (q<h<r)之上的部分.解：x： z = yjr2-x2-y2 , (x,y) e d = (x.y)2 +

11、/ c - zr2.嚴g后k7寸kc.頊燈7蝴= rj：d可尸 -vdr=2naln.第7周講課提綱(5學(xué)時)by hiizm第7頁共11頁例我計尊第-型曲面枳分1 = jj(x + y + z)】d5，其中£： z = ylr-x2-y2 .解：根據(jù)対稱性，jj，.vds = jjx-d? = jj>-ds = o.所以vvv/ = jj(x + j + z)2ds = jj (x2 + / + 2iy + 2即 + 2rr )ds=jj" + 尸+z')<is = jp'ds = 2做'.例心 計算第-型曲面枳分/=f .1d5.其中

12、£： z = ja2-x2-y2 .ix = nsincos,y = asmsin0, jg中ow3w27t.z = aco 沖這時 eg-f1 - a2 sin».jx? + (z + .)，= y/a2 sin2 + n2(l + cos)2 = 2acos?.所以/= i 皿戶d。廣心叩mj° j° 2,cos?x=2t7nj j sin?毎=2an(2 -jl).例5：求均勻半球ffix： z = j/?v關(guān)于、軸的轉(zhuǎn)動慣鼠.解法“利用球坐標.*侶時廣3 sm' “sur t?:cos' <p) a2 sinjd=jjdpj

13、jlsin，?>sm2 0 + cos2 伊sin°)d°三，4=p/7tjj(sm' + 2cos2 >sm<p)d(p = npaa.解法，利用n角坐標，因為.r(l)磚=2所以l =ffp(.v2 + 22)ds“ j；岳陸二 ¥ 宕=弘躬灣-衆(zhòng)后贏”§12.6含參變量祝分一、舍參變量極分的概念定義：設(shè)函ft /(x j)在”,bxc,d上冇定加且對任意的xea.bt定枳分j：/(x,)炒， 都存在，則稱i(x) = j：，(xj)4y是定義在”0上的含度變量枳分函虬notel:與變限定枳分類似，含參變量積分也是非初等函數(shù)

14、的一種重要表示方法：含參變量 枳分也是計算定枳分值的一種重要方法.note2:如何研咒含舉變量積分函數(shù)i。)= /(、,)與的連續(xù)姓、可導(dǎo)性與可枳性？二、含參變量枳分禹戲的連續(xù)性定理：若函數(shù)/(x,)在s，kxc,d上連續(xù)，«-u(x) = f j/(.i j)d在旬可上連續(xù).notel:任給4 ea,b 9 有 hm /(x) = z(x0) .即xt與1 異 j/(xj)dv =，y(f )dy = f 哩 /(x,y)dv .極限運岸與枳分運舁滿足交換律(枳分號下求極限).一股地.不見得一定有l(wèi)iml(x) = l(:vo).例如：考慮w=" "。：則有第7

15、周講課提綱（5學(xué)時）by hiizm第3頁共11頁二：所以 lim/(x) = l 工 1(0).ionot”：幾何解釋.當?shù)拿鎧 = /(x,y)連續(xù)時.我面面積i(q =，/(、,以以連續(xù).證,：因為f(x,y)在”0xc,d上連續(xù)，所以一致連續(xù)，從而對任給&> 0,總存在 5>0.當(x,y),(xiji)ea,kxc,d.且(x-xj+(y-凹)，<5,時,有(勺)一六如入)|左.對于.)ea,b, i |x-x0|<(5 時.有|j/ /(%)沖-j： /("炒 w j： |/(xj) - /(x0,j)|d>-寸：土7虹'即

16、i(x)= j： /(x.y)dy 在 處連續(xù)三、舍參變量枳分函數(shù)的可導(dǎo)性與求導(dǎo)公式1.定理：若，(勺)，t(x>)在 s,bxcd上連續(xù).«lz(x) = j'/(x,y)dy 在。0上 壽在連續(xù)導(dǎo)致，hr(x)=j：(x,)沖.note:在定理條件下，求導(dǎo)運耳與枳分這陽混足文供律(積分號下求導(dǎo)致).證,：因為f；(xty)在a,bxc,d上連續(xù).所以一玫連續(xù).從而對任給”0,總存在5>0,(x,y),(x,y)ea,bkc,d, k(x-)2 + (y-y)2 < 時，有片(勺)-/膈)|在對于當|ax|<5時，有竺牛區(qū)”(3沖= 員-£

17、 e 炒>一心一聞,）勺危,炒ay=忙（x + 必 g-j： a（v,>）d）=|j：你”+心）一兒（時）必'|w j：片 d 斂、力- t（p）|4y e .problem：當、取定時.。是只與ax有關(guān).還是既與*有關(guān).也與y有關(guān)，為什么？ 例：計耳定枳分j：半亍市.（無法互席利用 i 公式） m：令s = j：半異心，則jo 1 + rr（r） = f1dvjo（l +）（l + rv）二 丄 mi+r li+x2 1 + ttj= r-/ + -ln2-ln（l + /）.1 +廣 42所以 i=1（1）一/（0）= j：r（r）dz = ；ln2-/（1）.解得i（

18、l） = ；ln2 .2.定理：設(shè)f（x9y）e沖頃叩令/(v,i/) = j/(x,y)dr(v)ea0xcd (1) f(x,u)ca,bxc9d:（2）若/xly）wai3xc,d,則。，”圧廿“向?qū)S刈，k警"睥.，饕"f證明： 因為f（x9y）在qbxqd上連絞.所以有界，即存在m>0 .使得|/(x,j)| wm , s)ea,bxc9d.任給6>0,囚為/（x>）在外可上一致連續(xù)所以總存在<5>0 （不有設(shè)<$< ）.2a/（丄y）.（、】少）応 s0、c刈，h（、- xi），+ （y-）、）' < s時.有x(.xmsc-xnrsf)y =確mj+e一聲* -w.j （°”）'p嘉 j =（、）h史：所傳切群導(dǎo)鈕幾堅號置出仔（z）漑?科第親劣（x）p0a* e（”x）/j洛印'気*村剪親博芬啓導(dǎo)云辭費（l）:命式.鋼（； j+（珈項）/（x”-（x）px）/（以 p=（、”h '去ewi為塹'wwq（w（x）夕有 w，x【gpdx3 親（z）q 凹 m t '.収4 *x)/(京=(x)z0 '