高等數(shù)學(xué)課件：10.3 平面與直線

1、10.3 平面與直線平面與直線11平面方程平面方程經(jīng)過一點(diǎn)經(jīng)過一點(diǎn) 及垂直于一個(gè)方向及垂直于一個(gè)方向),(0000zyxP n有唯一的一個(gè)平面有唯一的一個(gè)平面 . n0P與平面與平面 垂直的方向稱為該平面的垂直的方向稱為該平面的法向法向 .平面方程平面方程: 空間中的點(diǎn)空間中的點(diǎn)),(zyxP 在平面在平面 上應(yīng)滿足的關(guān)系式上應(yīng)滿足的關(guān)系式 , 稱為稱為平面平面 的方程的方程 .平面方程的建立平面方程的建立:設(shè)平面設(shè)平面 的法向?yàn)榈姆ㄏ驗(yàn)?, ,CBAn ),(0000zyxP 且經(jīng)過點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)在在 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ,0PzyxP ),(則有則有00 nPP(1) 0PnP式式 (1)

2、稱為平面稱為平面 的的向量式方程向量式方程由由,0000zz ,yy ,xxPP , CBAn , 則有則有0000 )()()(zzCyyBxxA(2)式式 (2) 稱為平面稱為平面 的的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程(2) 式可表示為式可表示為:0 DCzByAx(3)即平面方程即平面方程 的方程是一三元一次方程的方程是一三元一次方程問題問題:任意一個(gè)三元方程任意一個(gè)三元方程 (3) 是否表示一平面是否表示一平面 ?設(shè)設(shè) 中至少有一不為零中至少有一不為零 , 不妨設(shè)不妨設(shè) C B A,0 A取定取定 , ),( Rz y zz , yy 0000代入代入 (3) 有有)(DCzByAx 0001所以

3、所以 滿足方程滿足方程 (3) , 而且而且 方程方程 (3),(0000zyxP 可以等價(jià)地表示為可以等價(jià)地表示為0000 )()()(zzCyyBxxA可知可知: 方程方程 (3) 表示一以表示一以 為法向?yàn)榉ㄏ?,CBAn 經(jīng)過經(jīng)過 點(diǎn)的平面方程點(diǎn)的平面方程),(0000zyxP 結(jié)論結(jié)論: 任意一三元一次方程任意一三元一次方程 0 DCzByAx都表示一平面方程都表示一平面方程 , 且其系數(shù)且其系數(shù) 構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量C B A, 即為其法向量即為其法向量 ,CBAn (4)我們稱三元一次方程我們稱三元一次方程 (3) 為為平面的一般方程平面的一般方程從從 (4) 式可進(jìn)一步得知式可

4、進(jìn)一步得知:(1) 若若 A = 0 , (4) 式為式為0 DCzBy(5)由于其法向量由于其法向量 在在 yz 平面上平面上 , ,CBn0 yz 平面平面 x 軸軸 同理可知同理可知:表示一平行于表示一平行于 y 軸的平面軸的平面0 DCzAx0 DByAx表示一平行于表示一平行于 z 軸的平面軸的平面(2) 若若 (4) 式中的式中的 A , B , C 0 (a) 若若 D = 0 , 則則 平面平面 經(jīng)過原點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)(b) 若若 D 0 , 則則 (4) 式可以表示為式可以表示為1 czbyax(6)其中其中 即為平面即為平面 在在 x , y ,CDC , BDb , ADa z

5、 軸上的截距軸上的截距 . 所以所以 (6) 稱為平面稱為平面 (4) 的的截距式方程截距式方程(3) 若在若在 (4) 式兩邊同乘式兩邊同乘,1222CBA則有則有zCBACyCBABxCBAA222222222pCBAD222由于由于, , , cos , cos , cos222222222CBACCBABCBAAn上式可表為上式可表為pzyx coscoscos(7)nOPp pnOP (7)pzyx coscoscosnOPp pnOP ozyxn故知故知 (7) 式中的式中的 |p| 表示表示平面平面 到原點(diǎn)到原點(diǎn) O 的距離的距離 式式 (7) 稱為平面稱為平面 (4) 的的法式

6、方程法式方程綜上所述可知綜上所述可知: 對(duì)于平面的一般方程對(duì)于平面的一般方程 (4) 可分別化為可分別化為(1) 點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程 (2) (反映法向反映法向 , 經(jīng)過的點(diǎn)經(jīng)過的點(diǎn) P0 )n(2) 截距式方程截距式方程 (6) ( 反映平面與各坐標(biāo)軸的截距反映平面與各坐標(biāo)軸的截距 )(3) 法式方程法式方程 (7) ( 反映平面與原點(diǎn)反映平面與原點(diǎn) O 的距離的距離 )它們都分別刻畫了平面它們都分別刻畫了平面 (4) 的一些重要特征的一些重要特征 .Pp例例試求經(jīng)過點(diǎn)試求經(jīng)過點(diǎn) P1=(1 , 2 , 1) , P2=( 2 , 3 , 1 ) , P3=( 1 , 0 , 4 ) 的平

7、面的平面 的方程的方程 解解 經(jīng)過的點(diǎn)經(jīng)過的點(diǎn) P3=( 1 , 0 , 4 )構(gòu)造構(gòu)造,3202133121 PP , PP 取取3121PP PPn 所以平面所以平面 的方程為的方程為046911 )()(zyx即即02369 zyx,691320213 kji 解二解二:將將 P1 , P2 , P3 代入方程代入方程0 DCzByAx(4)式中式中 , 解線性方程組求解解線性方程組求解解三解三: 任取任取 P = ( x , y , z ) R3 , P P1 , P2 , P3 ,則則 共面共面31211PP , PP , PP P 031211 PP PP PP )(例例試求經(jīng)過點(diǎn)

8、試求經(jīng)過點(diǎn) P1=(3 , 2 , 4) , P2=( 1 , 0 , 3 ) , 且垂直于平面且垂直于平面 2x + 5y + z +1=0 的平面的平面 的方程的方程 .解解平面平面 2x + 5y + z +1=0 的法向的法向:,1521 n 1n由由 垂直于垂直于 2x + 5y + z +1=0 知知: 可平移到可平移到 上上又又 也在也在 上上 , ,71221 PP故可取故可取 的法向的法向211PP nn , kji121236712152 即可取即可取 , , n113 取取 P2 = ( 1 , 0 , 3 )所以平面所以平面 的方程為的方程為0313 )()(zyx即即

9、063 zyx2 兩平面的交角兩平面的交角, ,點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離(1) 兩平面的交角兩平面的交角2n1n1 2 設(shè)設(shè)011111 DzCyBxA ： 022222 DzCyBxA ： 可以看到可以看到: 兩平面的交角兩平面的交角 可用可用 1 , 2 的的0 , 2法向的夾角法向的夾角 來計(jì)算來計(jì)算,20 由于由于, CBAn , CBAn ,22221111 則有則有 1 2121212222222 1 2111222cosnnAABBCCnnABCABC說明說明: (1) 1 2 1 n 2 n 212121CCBBAA 特別當(dāng)特別當(dāng) 時(shí)時(shí) ,21212121DDCCBBAA

10、1 與與 2 重合重合021 nn (2) 1 2 1 n 2 n 0212121 CCBBAA212n1n122n1n(2) 點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離1MNn設(shè)平面設(shè)平面 : Ax +By +Cz +D =0 ),(0000zyxM 則則 , C B An, M0 到到 的的距離距離: 0dNM 在在 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) , 則則),(1111 zyxM 0111 DCzByAx構(gòu)造構(gòu)造, zzyyxxMM,01010110 則則ozyx 0MnMMnMMdn1010 222010101CBAzzCyyBxxA )()()(222000111CBACzByAxCzByAx 222000

11、CBADCzByAx 即即222000CBADCzByAxd 說明說明:ozyx 0Mnp從圖中可以看出從圖中可以看出:點(diǎn)點(diǎn) M0 到平面到平面 的距離的距離d 的另一表達(dá)式為的另一表達(dá)式為nOMpd0其中其中 p 為為 上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)M的位置向量的位置向量 上的上的投影量投影量.nOM 在3 直線直線ozyxPL0Pl經(jīng)過一點(diǎn)經(jīng)過一點(diǎn) P0 = ( x0 , y0 , z0 ) ,平行于平行于 唯一確定一條直線唯一確定一條直線 L ,l這就是確定直線的這就是確定直線的兩個(gè)要素兩個(gè)要素 .任取任取 P = ( x , y , z ) L , 則有則有PP0 ll PP 0l OPOP 0若記

12、若記, rOP , rOP 00 則可得則可得 l r r 0(1)(1) 式稱為直線式稱為直線 L 的的向量式方程向量式方程 .若設(shè)若設(shè), l , l ll,321 則由則由, z , y xr, , z , y xr,0000 (1) 式可表為分量形式式可表為分量形式 l xx10 l yy20 l zz30 (2) (2) 式稱為直線式稱為直線 L 的的參數(shù)方程參數(shù)方程 . (2) 式進(jìn)一步可寫成式進(jìn)一步可寫成302010lzzlyylx-x (3)上式稱為直線上式稱為直線 L 的的點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程 .說明說明: (1) 若若 中有一為零中有一為零 , 則則 (3) 按按 (2)來理

13、解來理解321l , l l ,(2) 也稱為直線的一個(gè)也稱為直線的一個(gè)方向數(shù)方向數(shù) .),(321l , l l例例 (兩點(diǎn)決定一直線兩點(diǎn)決定一直線)試求經(jīng)試求經(jīng) M1 = (x1 , y1 , z1 ) , M2 = (x2 , y2 , z2 ) 的直線的直線 L 方程方程 解解 只需求出此直線的方向只需求出此直線的方向 構(gòu)造構(gòu)造, zzyyxxMM,12121221 則則 ,21MM lP0 = M1 = (x1 , y1 , z1 ) , 故取故取, zzyyxxl,121212 據(jù)直線的點(diǎn)向式方程據(jù)直線的點(diǎn)向式方程 ,知直線知直線 L 的方程為的方程為121121121zzzzyy

14、yyxxxx （兩點(diǎn)式方程）（兩點(diǎn)式方程）解解例例 試求經(jīng)試求經(jīng) P0 = (1 , 0 , 2 ) 與平面與平面 3x y + 2z +1=0 平行平行, 且與直線且與直線 相交的直線方程相交的直線方程 12341zyx Ll0P1 l1L1P直線直線 L1 :12341zyx 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn):),(0311 P 方向方向:,1241 l 平面平面 : 3x y + 2z +1 = 0 的法向的法向:,213 n 設(shè)所求直線的方向設(shè)所求直線的方向, l , l ll,321 nL 0 ln 則由則由023321 lll 又又 L 與與 L1 相交相交 110 l , l , PP 共面共面01

15、01 PP l l )(0230124321 lll 01287321 lll 解解 , 得得01287321 lll02321 ll3l50312522321 ll , llLl0P1 l1L1Pn, ll , , ll ll , l ll 232123211 , , l503112522 , , 50311252 , , 31504 所以取直線所以取直線 L 的方向的方向: , , l31504 所以所求直線的方程所以所求直線的方程3125041 zyx解解例例 試求點(diǎn)試求點(diǎn) P0 = (1 , 1 , 2 ) 與平面與平面 上的垂足上的垂足 N , 并求出并求出 P0 到該平面的距離到該

16、平面的距離 22 zyx過點(diǎn)過點(diǎn) P0 作平面作平面 的垂線的垂線 L , 0PN, , , nl111 則則 L 的方程的方程121111 zyx L:其參數(shù)方程其參數(shù)方程 : x = 1+t , y = 1+t , z = 2+t代入代入 的方程的方程 , 解得解得 , 32 t所以所以)(322321321 , , N距離距離:2)32()32()32(Pd2220N直線的點(diǎn)向式方程直線的點(diǎn)向式方程 (3) 可等價(jià)地表為可等價(jià)地表為3010lzzlxx 2010lyylxx ( 兩平面的交線兩平面的交線 )于是直線也可以表示為于是直線也可以表示為(4)02222 DzCyBxA 0111

17、1 DzCyBxA )(1 )(2 (4) 式稱為直線的式稱為直線的一般方程一般方程 .直線的一般方程直線的一般方程 (4) 可化為點(diǎn)向式方程可化為點(diǎn)向式方程 (3)直線的一般方程直線的一般方程 (4) 可化為點(diǎn)向式方程可化為點(diǎn)向式方程 (3)11nLl2n可以看出可以看出 :21nnl 其中其中,1111CBAn ,2222CBAn 由于由于 1 不平行于不平行于 2 , 可知可知221122112211CBCB , CACA , BABA中至少有一不為零中至少有一不為零 ,1n 2n 1 , 2 不相交或不相交或 1 = 2 否則否則2不妨設(shè)不妨設(shè) , BABA02211 任取任取 z =

18、 z0 R , 解方程組解方程組20222DzCyBxA 10111DzCyBxA 得直線得直線 L 上的點(diǎn)上的點(diǎn) P0 ( x0 , y0 , z0 )所以直線所以直線 L 的方向的方向:21nnl L 經(jīng)過的點(diǎn)經(jīng)過的點(diǎn): P0 ( x0 , y0 , z0 ) 從而可將直線從而可將直線 (4) 化為點(diǎn)向式方程化為點(diǎn)向式方程 (3)例例將直線將直線 化為點(diǎn)向式方程化為點(diǎn)向式方程 04 zyx022 zyx解解 令令 z = 0 , 解解 得得04 yx022 yx61000 y , xL , , P )(06100記記, n,1211 , n,1112 則則,123111121 kji 所以

19、直線的點(diǎn)向式方程所以直線的點(diǎn)向式方程 :126310 zyx4 幾個(gè)問題幾個(gè)問題(1) 兩直線間的最短距離兩直線間的最短距離2 l2 L2 P1 l1 L1 P直線直線 L1 : 經(jīng)點(diǎn)經(jīng)點(diǎn) P1 , 方向方向 1 l直線直線 L2 : 經(jīng)點(diǎn)經(jīng)點(diǎn) P2 , 方向方向 2 l2 T1 T設(shè)設(shè) T1 L1 , T2 L2 使使 , 21TTd 則則 21TT , L 1 21TT L 221 ll 21TT21 ll , PT1121 ll 22PTdllTTllTTll 2121212121)(且且 , 求求 間的間的 21L , L 最短距離最短距離 d .1L 2L021 ll 由于由于 L1

20、 L2 21211llTTlld )(, 于是有于是有212221111llTPPPPTll )()(即即212121llPPlld )( (1) d 即為以即為以 為邊的平行六面體的高為邊的平行六面體的高 2121PP l l ,(2) 兩不平行直線相交兩不平行直線相交 d = 00211 PPll)(共面共面 2121PP l l ,說明說明:解解,23221221 , l , , l , PP,23121 ,404 , P , , P31212321 23221221 kjill241 ll 2124231404 ,d 例例求直線求直線,:2112231 zyx L2331222 zyx

21、 L :間的最短距離間的最短距離 (2) 直線在平面上的投影直線在平面上的投影 , 平面束平面束設(shè)給定直線設(shè)給定直線 L :02222 DzCyBxA01111 DzCyBxA及平面及平面 . DCzByAx0 : 可以看出可以看出 : L l1P2P1P2P L在在 上的投影直線上的投影直線 .平面平面 上的直線上的直線 稱為直線稱為直線 L L 的的投影平面投影平面 ) , 則則 即為即為 與與 的交線的交線.若若 是經(jīng)過是經(jīng)過 L 且與且與 垂直的平面垂直的平面 ( 稱為稱為 L關(guān)于關(guān)于 L 下面考慮下面考慮 L 關(guān)于關(guān)于 的投影平面的投影平面 的計(jì)算的計(jì)算. 過直線過直線00:2222

22、1111DzCyBxADzCyBxAL的平面束的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程方程0,21不全為12平面束方程（嚴(yán)格意義上的）平面束方程（嚴(yán)格意義上的）:過過 L 的平面束方程的平面束方程:： )( 1111DzCyBxA DzCyBxA02222 (5)說明說明:平面平面 是經(jīng)過直線是經(jīng)過直線 L 的的 , 其中其中 ,R 而且而且 包含了經(jīng)過包含了經(jīng)過 L 的所有平面的所有平面 )( )( 于是在于是在 中尋找一使中尋找一使 的平面即為的平面即為nn )( )( L關(guān)于平面關(guān)于平面 的投影平面的投影平面 , 0 nn)( R 即求即求 使使過過 L 的平面

23、束方程的平面束方程 zyxzyx03283 )()( 即即 zyx0382113 )()()( .,)( n 2113 又又 , n111 ,由由0 nnnn)()( 23 01 zyx： 上的上的投影直線投影直線 的方程的方程 求直線求直線 L : 在平面在平面032 zyx083 zyx例例 L解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),23 07892 zyx :)( 過過 L 且與且與 垂直垂直 所以投影直線所以投影直線 的方程的方程 L01 zyx0789 zyx: L過過 L 的平面束方程的平面束方程 zyxzyx 024122 )()(:)( 即即 zyx02112212 )()()(求過直線求過直線 L

24、: 而且在而且在 y , z024 zyx0122 zyx軸上具有相同的非零截距的平面軸上具有相同的非零截距的平面方程方程 例例解解 zyx121112212 可得可得)(012 31 21112 為使為使 ( ) 在在 y , z 軸上軸上具有相同的非零截距具有相同的非零截距01227 zyx ： (3)直線與平面的夾角直線與平面的夾角若記若記 與與 間的夾角為間的夾角為 , l),( 0 nlnln cossin方向?yàn)榉较驗(yàn)?的直線的直線 L 與法向?yàn)榕c法向?yàn)?的平面的平面 ln之間的夾角之間的夾角 , n lL我們將其定義為我們將其定義為: L 在在 上的投影直線上的投影直線 的方向的方向 l與與 間的夾角間的夾角 l),(20 L L l 2則有則有 設(shè)設(shè) L 的方向的方向 ,