高等數(shù)學(xué)課件：11-6多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

1、 第十一十一章 第六節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用1.1.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面2. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在與切線垂直的平面稱為曲線在極限位置極限位置. T空間光滑曲線空間光滑曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) M 處的處的切線切線為此點(diǎn)處割線的為此點(diǎn)處割線的該點(diǎn)的該點(diǎn)的法平面法平面.1.空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 M(1) 曲線方程為參數(shù)方程的情形曲線方程為參數(shù)方程的情形)( )()()(: ttztytx ,)(, )(, )(0可可導(dǎo)導(dǎo)都都在在當(dāng)當(dāng)tttt) )(, )(, )()(0000ttttr 上點(diǎn)上點(diǎn) 處的切線的

2、方向向量處的切線的方向向量 ),(000zyxM).(, )(, )(000000tztytx 其中其中 MT000zzyyxx )(0t )(0t )(0t 上點(diǎn)上點(diǎn) 處的切線方程處的切線方程 ),(000zyxM)(, )(, )(000ttt 稱為稱為曲線曲線的切向量的切向量不全為不全為0, )(, )(, )(tttT )(00 xxt )( )(00yyt 0)(00 zzt法平面方程法平面方程 o)(trTM注注. )()(xzxy若光滑曲線若光滑曲線表示為：表示為： )()(xzxyxx切線方程：切線方程：000zzyyxx 1)(0 x )(0 x 法平面方程：法平面方程：)(

3、0 xx )( )(00yyx 0)(00 zzx )(),(, 100 xxT ： 0),(0),(zyxGzyxF )()(xzxyxx 有有由由,0)(),(,(0)(),(,( xxxGxxxF 0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyx (2) 曲線方程為一般方程的情形曲線方程為一般方程的情形)0),(),( zyGFJ若若 )(),(, 100 xxT xzyxzyGxGxGFxFxF-)()(-)()(MxyxyzxzxGGFFJGGFFJ1,1, 1,1MyxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFJ .zyzyGGFFJ 000zzyyxx 切線方程：切線方程：

4、MzyGF),(),( MxzGF),(),( MyxGF),(),( 或或 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(xyz法平面方程為：法平面方程為：. 0)()()(000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy求曲線求曲線: tuuduex0cos tysin2 tcos , tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程. 解解當(dāng)當(dāng)0 t時(shí)，時(shí)， , 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez )3, 2, 1( 切線方程切線方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:,

5、 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即)2, 1, 0(M切切點(diǎn)點(diǎn)：0),( tzyxT切切向向量量：例例1求空間曲線的切線（或求空間曲線的切線（或法平面）：法平面）：一求切點(diǎn)；二求切向量一求切點(diǎn)；二求切向量.切線方程切線方程:,322110 zyx法平面方程法平面方程:, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即解解例例2., 42,32求求出出此此切切線線方方程程此此點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線平平行行于于平平面面使使上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線 zyxtztytx, ,1,1 ,2,1,03122112 tt,2t23t,nT ,0 nT T曲曲線線切切向向量量 n平平面面的

6、的法法線線向向量量解解得得,1 t)1,1 ,1( 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的點(diǎn)點(diǎn)為為切切向向量量分分別別為為3,2,1 故故切切線線方方程程為為111 zyx,31 t).271,91,31( 及及,31,32,1 及及2719131 zyx及及3 2 1 31 32 1 ,1 T,2 t23t, tx ,2ty .3tz 例例3 求曲線求曲線0,6222 zyxzyx在點(diǎn)在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),( 解法解法1,222zyxGzyxF 令令則則切向量切向量;0),(),( MxzGFMzy1122 Mzy)(2 ;6 6),(),

7、( MyxGF)6,0, 6( xyz MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(點(diǎn)點(diǎn) M ( 1,2, 1)， 切向量：切向量：)6,0, 6( T切線方程切線方程121 zyx即即. 02 y066 , 02zx法平面方程法平面方程0)1(6)2(0)1(6 zyx即即0 zx(1) 形如形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面與法線的曲面的切平面與法線若光滑曲面若光滑曲面 ： , 0),( zyxF ),(000zyxM可以證明：可以證明： 上通過(guò)點(diǎn)上通過(guò)點(diǎn)M0, 且且在點(diǎn)在點(diǎn)M0處有切線的處有切線的任一曲線任一曲線在在該點(diǎn)的該點(diǎn)的切線切線都在都在同一

8、平面同一平面上，上， 該平面稱為該平面稱為M0處的處的切平面。切平面。nT0MM0t02.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線過(guò)過(guò) M0點(diǎn)且與切平面垂直的直點(diǎn)且與切平面垂直的直線稱為曲面在該點(diǎn)的線稱為曲面在該點(diǎn)的法線法線.nT0MM0t0),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M0 處的切向量：處的切向量：在曲面在曲面 上任取一條通過(guò)點(diǎn)上任取一條通過(guò)點(diǎn)M0 的曲線的曲線,)()()(: tztytx 證證.)()()(000000tzztyytxx 上上在在曲曲線線 0)()(),(0 MtttF，0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxFtzyxFtzyxFz

9、yx0 Tn處處任任意意切切線線向向量量垂垂直直，與與固固定定向向量量0Mn),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ),(),(),(000tttT M0處處任一曲線任一曲線在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的切線切線都在都在同一平面同一平面上上.為切平面的法向量。為切平面的法向量。向量向量n)( ),(0000 xxzyxFx 法線方程法線方程 000zzyyxx )( ),(0000yyzyxFy 0)(,(0000 zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznM ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyx

10、FzyxFnzyx 曲面曲面F(x, y, z)= 0在點(diǎn)在點(diǎn)M0的的法向量法向量例例4 求橢球面求橢球面3632222 zyx在點(diǎn)在點(diǎn)(1 , 2 , 3)處的切平面及法線方程處的切平面及法線方程. 解解3632),(222 zyxzyxF所以在球面上點(diǎn)所以在球面上點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有處有:切平面方程切平面方程 )1( x03694 zyx即即法線方程法線方程321 zyx)2(4 y0)3(9 z149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1( n)9,4,1(2 例例5證證上上任任何何點(diǎn)點(diǎn)試試證證曲曲面面)0( aazyx,),(000為為曲曲

11、面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)zyx則則該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的法法向向量量. ,10 x切切平平面面方方程程為為)(100 xxx 在在曲曲面面上上，注注意意到到點(diǎn)點(diǎn)),(000zyx.a上上的的截截距距之之和和等等于于處處的的切切平平面面在在各各坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸 n,10y01z).( 000000zyxzzyyxx 即即)(100yyy . 0)(100 zzz故故.000azyx 于于是是切切平平面面方方程程為為,000azzyyxx 即即. 1000 azzayyaxx截截距距之之和和為為切切平平面面在在各各坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的)(000zyxa 000azayax.aaa 例例6的的切切平平面面

12、，使使求求曲曲面面xzyx 222. 220 zyxzyx和和它它垂垂直直于于平平面面解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點(diǎn)為曲面上的切點(diǎn),),(000zyx則切平面的法向量：則切平面的法向量：)2,2,12(000zyxn 1221111 kjin)0, 1, 1( 1/nn依依題題意意，0212112000zyx 0,21000 zxy故故得得，得得切切點(diǎn)點(diǎn)：代代入入xzyx 222及及)0,42,2142( .)0,42,2142( 所所求求切切平平面面方方程程為為：. 02120221 yxyx和和(2) 形如形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面與法線的曲面的切平面與法線若光滑曲面若光滑曲

13、面 ： ),(yxfz ),(000zyxM0 zyxf),(: ), ),(, ),(10000yxfyxfnyx曲面曲面z=f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)M0的法向量的法向量)( ),(000 xxyxfx )( ),(000yyyxfy 0)(0 zz :切切平平面面方方程程法線方程法線方程:1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx一求切點(diǎn)一求切點(diǎn), 二求二求曲面的法向量曲面的法向量.例例7解解.)3 , 1 , 1(222方方程程處處的的切切平平面面方方程程及及法法線線在在點(diǎn)點(diǎn)求求橢橢圓圓拋拋物物面面yxz ,2),(22yxyxf 記記 ),(yxfx ),(yxfy,)1

14、 ,1(處處在在點(diǎn)點(diǎn),4)1 , 1( xf,2)1 ,1( yf n故故法法向向量量).1,2,4( 0)3()1(2)1(4 zyx,4x,2 y. 0324 zyx:法法線線方方程程.132141 zyx:切切平平面面方方程程),1 , 1(xf),1 ,1(yf)1 解解例例80322,22 zyxyxz切切平平面面平平行行于于平平面面使使該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲面面曲曲面面法法向向量量即即,122 yx, 1 x,22yxz 代代入入, 0 z得得).0 , 1 , 1(所所求求點(diǎn)點(diǎn)為為 n),1, 2, 2( 1n平平面面的的法法線線向向量量應(yīng)應(yīng)有有,/1nn1 2

15、 2 , 1 y).1,2,2( yx注注. 0),(0),(:zyxGzyxF求光滑曲線求光滑曲線切向量的切向量的第二種第二種方法：方法：),(, ),(, ),(0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT ,1nT 2nT 1 T1n2n 0M2 處的切向量：處的切向量：在在曲線曲線0M )/(210nnGGGFFFkjiMzyxzyx 例例3 0,6222 zyxzyx在點(diǎn)在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程處的切線方程與法平面方程. 切線方程切線方程121 zyx解法解

16、法206222 zyxzyx與與即即02 y曲線的切向量：曲線的切向量：066 求曲線求曲線的法向量分別為：的法向量分別為：),1 , 2, 1(2 MMzyxn)2 ,2 ,2(1 ),1 , 1 , 1(2 Mn)6,0, 6( )1 , 1 , 1()1 , 2, 1( MT法平面方程法平面方程, 0)1(6)2(0)1(6 zyx即即. 0 zx , 02zx1. 空間曲線的切向量空間曲線的切向量（1）參數(shù)式情況）參數(shù)式情況. )()()(:tztytx空間光滑曲線空間光滑曲線切向量切向量?jī)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(, )(, )(000tttT 空間光滑曲線空間光滑曲線 0),(0),(:z

17、yxGzyxF切向量切向量 （2）一般式情況）一般式情況.,),(),(MzyGF ,),(),(MxzGF MyxGF),(),( T),(, ),(, ),(0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx ),(, ),(, ),(0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx 21nnT 2. 曲面的法向量曲面的法向量（1） 曲面方程為隱式曲面方程為隱式, 0),( zyxF其其法向量法向量),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx （2） 曲面方程為顯式曲面方程為顯式),(yxfz 其其法向量法向量),(1yxffn其其中中思考與練習(xí)思考與

18、練習(xí)1. 如果平面如果平面01633 zyx與橢球面與橢球面相切相切,提示提示: : 設(shè)切點(diǎn)為設(shè)切點(diǎn)為, ),(000zyxM則則223yx .求求000226zyx 33 01633000 zyx163202020 zyx2 162 z(二法向量平行二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上切點(diǎn)在橢球面上)證明證明 曲面曲面)(xyfxz 上任一點(diǎn)處的上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn)切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示提示: : 在曲面上任意取一點(diǎn)在曲面上任意取一點(diǎn), ),(000zyxM則通過(guò)此則通過(guò)此0)(0 zz)(0 xxxzM )(0yyyzM 2. 設(shè)設(shè) f ( u ) 可微可微

19、,證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為點(diǎn)的切平面為備用題備用題0),( ynzymxF與定向量平行與定向量平行,.),(可微可微其中其中vuF分析分析 只須證曲面上任一點(diǎn)處的法向量與只須證曲面上任一點(diǎn)處的法向量與 定向量垂直定向量垂直.,1F , )()(21nFmF )2F 取定向量為取定向量為,m,1)n則則故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒1. 證明曲面證明曲面( n( l,0 nl問(wèn)題問(wèn)題 觀察一下觀察一下,定向量是什么定向量是什么?證證 曲面上任一點(diǎn)的法向量曲面上任一點(diǎn)的法向量例例1 1解解在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線2sin4,cos1,sin

20、tztyttx tM處處對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)22 , 1 , 12,2 處處的的點(diǎn)點(diǎn)M,cos1tx ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)t ,1 x .2,1 ,1.22 , 1 , 12方方程程處處的的切切線線方方程程和和法法平平面面 M,sin ty ,2cos2tz , 1 y,2 z TM處處的的切切向向量量故故點(diǎn)點(diǎn):切切向向量量 22 , 1 , 12M:于于是是切切線線方方程程:法法平平面面方方程程.22112 zyx)12( x即即.0422 zyx.2 1 1)1( y ,0222 z 2,1 ,1 T求空間曲線的切線（或法平面）：求空間曲線的切線（或法平面）：一求切點(diǎn)；二求切向量一求切點(diǎn)；二求切向量.2. 求曲線求曲