第1章 章末綜合提升高中數(shù)學選擇性必修第一冊講義

1、1 / 16 鞏固層 知識整合 (教師用書獨具) 提升層 題型探究 空間向量及其運算 【例 1】 (1)在空間四邊形 o- abc 中，其對角線為 ob，ac，m 是 oa 的中點，g為abc 的重心，用基向量oa，ob，oc表示向量mg (2)已知三點 a(0,2,3)，b(2,1,6)，c(1，1,5) 求以 ab，ac 為鄰邊的平行四邊形的面積 若|a| 3，且 a 分別與ab，ac垂直，求向量 a 的坐標 解 (1)如圖，連接 ag并延長交 bc 于點 d d為 bc 的中點， ad12(abac) g為abc 的重心，ag23ad13(abac)， 又aboboa，acocoa， 2

2、 / 16 ag13(abac)13(2oaoboc) m為 oa的中點，am12oa mgagam13(2oaoboc)12oa16oa13ob13oc (2)由題意，可得ab(2，1,3)，ac(1，3,2)， 所以 cosab，acab ac|ab|ac|23614 1471412，所以 sinab，ac32，所以以 ab，ac 為鄰邊的平行四邊形的面積為 s212|ab| |ac| sinab，ac14327 3 設 a(x，y，z)，由題意，得 x2y2z23，2xy3z0 x3y2z0.， 解得 x1，y1，z1，或 x1，y1，z1. 所以向量 a 的坐標為(1,1,1)或(1，

3、1，1) 1向量的表示與運算的關鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義 2熟記空間向量的坐標運算公式 設 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)， (1)加減運算：a b(x1 x2，y1 y2，z1 z2) (2)數(shù)量積運算：a bx1x2y1y2z1z2 (3)向量夾角：cosa，b x1x2y1y2z1z2x21y21z21 x22y22z22 (4)向量長度：設 m1(x1，y1，z1)，m2(x2，y2，z2)， 3 / 16 則|m1m2| (x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2 提醒：在利用坐標運算公式時

4、注意先對向量式子進行化簡再運算 跟進訓練 1已知向量ab(4,3)，ad(3，1)，點 a(1，2) (1)求線段 bd 的中點 m 的坐標； (2)若點 p(2，y)滿足pbbd，求 y與 的值 解 (1)設 b(x，y)，a(1，2)，ab(x1，y2)(4,3)， x14，y23，解得 x3，y1，即 b(3,1)， 同理可得 d(4，3) 線段 bd的中點 m的坐標為12，1 (2)pb(1,1y)，bd(7，4)， 由pbbd得(1,1y)(7，4)， 71，1y4， y37，17. 利用空間向量證明平行、垂直問題 【例 2】 四棱錐 p- abcd 中，pd平面 abcd，abcd

5、 是正方形，e 是pa的中點，求證： (1)pc平面 ebd； (2)平面 pbc平面 pcd 證明 如圖，以 d 為坐標原點，分別以 dc，da，dp 所在的直線為 x軸，y軸，z 軸建立空間直角坐標系 4 / 16 設 dca，pdb，則 d(0,0,0)，c(a,0,0)，b(a，a,0)，p(0,0，b)，e0，a2，b2 (1)de0，a2，b2，db(a，a,0) 設平面 ebd的一個法向量為 n(x，y，z)， 則 de n0，db n0，即 a2yb2z0，axay0. 令 x1，得 n1，1，ab， 因為pc n(a,0，b)1，1，ab0， 所以pcn，故 pc平面 ebd

6、 (2)由題意得平面 pdc 的一個法向量為da(0，a,0)， 又pb(a，a，b)，pc(a,0，b)， 設平面 pbc 的一個法向量為 m(x1，y1，z1)， 則 pb m0，pc m0，即 ax1ay1bz10，ax1bz10， 得 y10，令 x11，則 z1ab， 所以 m1，0，ab， 因為da m(0，a,0)1，0，ab0， 所以dam，即平面 pbc平面 pcd 5 / 16 1證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量 2證明線面平行的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直 (2)能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線 (3)利用共面向

7、量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量 3證明面面平行的方法 (1)轉化為線線平行、線面平行處理 (2)證明這兩個平面的法向量是共線向量 4證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直 5證明線面垂直的方法 (1)證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量 (2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直 6證明面面垂直的方法 (1)轉化為證明線面垂直 (2)證明兩個平面的法向量互相垂直 跟進訓練 2如圖，在四棱錐 p- abcd中，pa平面 abcd，pb與底面成 45 角，底面 abcd 為直角梯形，abcbad90 ，pabc12ad1，問在棱 p

8、d上是否存在一點 e，使 ce平面 pab？若存在，求出點 e的位置；若不存在，說明理由 解 分別以 ab、ad、ap為 x、y、z 軸建立空間直角坐標系 6 / 16 p(0,0,1)，c(1,1,0)， d(0,2,0) 設 e(0，y，z), 則pe(0，y，z1)，pd(0,2，1) pepd， y(1)2(z1)0 ad(0,2,0)是平面 pab 的法向量 又ce(1，y1，z)，由 ce平面 pab cead，(1，y1，z) (0,2,0)0，y1，代入得 z12，e 是pd的中點，存在 e 點為 pd中點時，ce平面 pab 利用空間向量求角 【例 3】 正三棱柱 abc-

9、a1b1c1的底面邊長為 a，側棱長為 2a，求 ac1與側面 abb1a1所成的角 解 建立以 a 點為坐標原點，以過 a 垂直于 ab 的直線，ab、aa1為 x，y ， z 軸 的 空 間 直 角坐 標 系 ， 則 a(0,0,0)， b(0 ， a,0) ， a1(0,0，2 a) ，c132a，a2， 2a 法一：取 a1b1的中點 m，則 m0，a2， 2a ，連接 am、mc1， 7 / 16 有mc132a，0，0 ，ab(0，a,0)， aa1(0,0， 2a)， mc1 ab0， mc1 aa10，mc1ab，mc1aa1， 則 mc1ab，mc1aa1，又 abaa1a，

10、 mc1平面 abb1a1， c1am是 ac1與側面 a1abb1所成的角 由于ac132a，a2， 2a ，am0，a2， 2a ， ac1 am0a242a29a24 |ac1|34a2a242a2 3a， |am|a242a232a， cosac1，am9a243a32a32，ac1，am30 ， 即 ac1與側面 abb1a1所成的角為 30 法二：ab(0，a,0)，aa1(0,0， 2a)，ac132a，a2， 2a ， 設側面 abb1a1的法向量 n(，x，y)， n ab0，且 n aa10， ax0且 2ay0， xy0，故 n(，0,0) ac132a，a2， 2a ，

11、 cosac1，nn ac1|n| |ac1|2|， 8 / 16 |cosac1，n|12，ac1與側面 abb1a1所成的角為 30 用向量法求空間角的注意點 (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為 0 90 ，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解 (2)直線與平面所成的角：要求直線 a 與平面 所成的角 ，先求這個平面 的法向量 n 與直線 a 的方向向量 a 的夾角的余弦 cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求 (3)二面角：如圖，有兩個平面 與 ，分別作這兩個平面的法向量 n1與n2，則平面 與 所成的角跟法向量 n1與 n2所成的角相等或互補，所以

12、首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角 跟進訓練 3如圖，長方體 abcd- a1b1c1d1的底面 abcd 是正方形，點 e 在棱 aa1上，beec1 (1)證明：be平面 eb1c1； (2)若 aea1e，求二面角 b- ec- c1的正弦值 解 (1)由長方體 abcd- a1b1c1d1可知 b1c1平面 abb1a1，be平面abb1a1， b1c1be，又因為 beec1，ec1c1b1c1，ec1平面 eb1c1，c1b1平面 eb1c1，be平面 eb1c1 9 / 16 (2)以 cd，cb，cc1所在的直線為 x，y，z 軸的正半軸建立空間直角坐標系， 設 aea1e1，b

13、e平面 eb1c1，beeb1， ab1，則 e(1,1,1)，a(1,1,0)， b1(0,1,2)，c1(0,0,2)， bceb1， eb1平面 ebc，故可取平面 ebc 的法向量為 meb1(1,0,1) 設平面 ecc1的法向量為 n(x，y，z)， 由 n cc10，n ce0， 可得 z0，xyz0， 令 x1，則 n(1，1,0)， cosm，nm n|m| |n|12， 故二面角 b- ec- c1的正弦值為32 數(shù)學思想在向量中的應用 【例 4】 如圖所示，在四棱錐 o- abcd 中，底面 abcd 是邊長為 1 的菱形，abc4，oa底面 abcd，oa2，m 為 o

14、a 的中點，n 為 bc 的中點 10 / 16 (1)證明：直線 mn平面 ocd； (2)求異面直線 ab與 md所成角的大小 解 作 apcd于點 p，分別以 ab，ap，ao所在的直線為 x，y，z軸建立空間直角坐標系 axyz，如圖所示， 則 a(0,0,0)，b(1,0,0)， p0，22，0 ，d22，22，0 ， o(0,0,2)，m(0,0,1)，n124，24，0 (1)證明：mn124，24，1 ， op0，22，2 ，od22，22，2 設平面 ocd的法向量為 n(x，y，z)， 由 n op0，n od0，得 22y2z0，22x22y2z0. 令 z 2，得 n(

15、0,4， 2) mn n1240244(1) 20， mnn 又 mn平面 ocd，mn平面 ocd 11 / 16 (2)設異面直線 ab與 md所成的角為 ab(1,0,0)，md22，22，1 ， cosab，mdab md|ab|md|22212 ab與md所成的角為23 故異面直線 ab 與 md 所成的角 233 空間向量的具體應用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標法.這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形中的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結果回歸到幾何結論.這樣就把立體幾何問題轉化為空間向量來研究，體現(xiàn)了化歸與轉化思想.

16、跟進訓練 4在直角梯形 abcd 中，adbc，bc2ad2ab2 2，abbc，如圖所示，把abd 沿 bd翻折，使得平面 abd平面 bcd (1)求證：cdab； (2)若點 m為線段 bc 的中點，求點 m到平面 acd的距離； (3)在線段 bc 上是否存在點 n，使得 an 與平面 acd 所成的角為 60 ？若存在，求出bnbc的值；若不存在，請說明理由 解 (1)證明：在直角梯形 abcd 中，adbc，bc2ad2ab2 2，abbc，所以 adab 2，bd ab2ad22，dbcadb45 ， cd22(2 2)2222 2cos 45 2， 所以 bd2cd2bc2，所

17、以 cdbd 因為平面 abd平面 bcd，平面 abd平面 bcdbd，cd平面12 / 16 bcd，所以 cd平面 abd，又 ab平面 abd，所以 cdab (2)由(1)知 cdbd以點 d為原點，db所在的直線為 x軸，dc 所在的直線為 y 軸，過點 d 作垂直于平面 bcd 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標系dxyz，如圖所示，由已知得 a(1，0,1)，b(2,0,0)， c(0,2,0)，d(0,0，0)，m(1,1,0)，所以cd(0，2,0)，ad(1,0，1)，mc(1,1,0) 設平面 acd 的一個法向量為 n(x，y，z)，則cd n0，ad n0，即 2y

18、0，xz0. 令 x1，得 z1，y0，則平面 acd 的一個法向量為 n(1,0，1)，所以點 m到平面 acd 的距離為 d|n mc|n|1222 (3)假設在線段 bc 上存在點 n，使得 an 與平面 acd 所成的角為 60 設bnbc(01)，n(a，b,0)，則(a2，b,0)(2,2,0)， 所以 n(22，2，0)，an(12，2，1) 又平面 acd 的一個法向量為 n(1,0，1)，且直線 an 與平面 acd 所成的角為 60 ，所以 sin 60 |an n|an| |n|， 即|121|(12)2(2)2(1)2 232，可得 82210，解得 14或 12(舍去

19、) 綜上所述，在線段 bc上存在點 n，使得 an與平面 acd所成的角為 60 ，此時bnbc14 培優(yōu)層 素養(yǎng)升華 13 / 16 (教師用書獨具) 【例】 如圖，在多面體 abcdef 中，cb平面 abef，四邊形 abcd 是正方形，abf是一個正三角形，febe，且feb120 (1)求證：aecf； (2)若三棱錐 f- cbe的體積為 2，求點 a到平面 cdf的距離 解 (1)證明：cb平面 abef，ae平面 abef， cbae， abf是一個正三角形，febe， aebf， bfbcb，ae平面 bcf， cf平面 bcf，aecf (2)cb平面 abef，四邊形 a

20、bcd是正方形，abe是一個正三角形， febe，且feb120 三棱錐 f- cbe 的體積為 2， 設 aba，則 bcbfa，beef3a3， vf- cbevc- bef13bc12efbesin 120 13a1213a2322，解得 a2 3， abeabfebf60 30 90 ， abbe， 以 b為原點，ba為 x 軸，be為 y軸，bc 為 z 軸，建立空間直角坐標系， 14 / 16 a(2 3，0,0)，c(0,0,2 3)，d(2 3，0,2 3)，f( 3，3,0)，ca(2 3，0，2 3)，cd(2 3，0,0)，cf( 3，3，2 3)， 設平面 cdf的法向量 n(x，y，z)， 則 n cd2 3x0，n cf 3x3y2 3z0，取 y1，得 n0，1，32 點 a到平面 cdf的距離 d|n ca|n|3746 77 該類題目主要以立體幾何為載體，重點考查線線關系或線面關系及面面關系和空間角問題，通過該類題目的訓練提高學生的運算求解素養(yǎng)及直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)，解決該類問題常結合空間向量來求解，解決的關鍵是建好空間直角坐標系. 跟進訓練 如圖所示，四棱柱 abcd- a1b1c1d1中，側面 abcd 是梯形，adbc，底面 abb1a1為菱形，dabdaa1 (1)求證：a1bad； (2)若 adab2bc，a1ab