選擇性必修第一冊第一章 1.1.1 第2課時 共線向量與共面向量

1、1 / 12 第第 2 課時課時 共線向量與共面向量共線向量與共面向量 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面 知識點一 共線向量 1空間兩個向量共線的充要條件 對于空間任意兩個向量 a，b(b0)，ab 的充要條件是存在實數(shù) ，使 ab. 2直線的方向向量 在直線 l上取非零向量 a，我們把與向量 a平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量 思考 1 對于空間向量 a，b，c，若 ab且 bc， 是否可以得到 ac? 答案 不能若 b0，則對任意向量 a，c都有 ab 且 bc. 思考 2 怎樣利用向量共線證明 a，b，c

2、三點共線？ 答案 只需證明向量ab，bc(不唯一)共線即可 知識點二 共面向量 1共面向量 如圖，如果表示向量 a 的有向線段oa所在的直線 oa與直線 l平行或重合，那么稱向量 a 平行于直線 l.如果直線 oa 平行于平面 或在平面 內(nèi)，那么稱向量 a 平行于平面 .平行于同一個平面的向量，叫做共面向量 2向量共面的充要條件 如果兩個向量 a，b不共線，那么向量 p 與向量 a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使 pxayb. 思考 已知空間任意一點 o 和不共線的三點 a，b，c，存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，滿足關(guān)系opoaxabyac，則點 p與點 a，b，c 是否共面

3、？ 答案 共面. 由opoaxabyac，可得apxabyac，所以向量ap與向量ab，ac共面，故點 p與點 a，b，c共面 2 / 12 1向量ab與向量cd是共線向量，則點 a，b，c，d必在同一條直線上( ) 2若向量 a，b，c 共面，則表示這三個向量的有向線段所在的直線共面( ) 3空間中任意三個向量一定是共面向量( ) 4若 p，m，a，b 共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使mpxmaymb.( ) 一、向量共線的判定及應(yīng)用 例 1 如圖所示，已知四邊形 abcd 是空間四邊形，e，h 分別是邊 ab，ad 的中點，f，g分別是邊 cb，cd上的點，且cf23cb，cg2

4、3cd.求證：四邊形 efgh是梯形 證明 e，h分別是 ab，ad的中點， ae12ab，ah12ad， 則ehahae12ad12ab12bd 12(cdcb)1232cg32cf34(cgcf)34fg， ehfg且|eh|34|fg|fg|. 又 f 不在直線 eh上， 四邊形 efgh是梯形 反思感悟 向量共線的判定及應(yīng)用 (1)本題利用向量的共線證明了線線平行，解題時應(yīng)注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別 (2)判斷或證明兩向量 a，b(b0)共線，就是尋找實數(shù) ，使 ab 成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá) (3)判斷或證明空間中的三點

5、(如 p，a，b)共線的方法：是否存在實數(shù) ，使papb； 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)已知 a，b，c 三點共線，o 為直線外空間任意一點，若ocmoanob，則 mn_. 答案 1 解析 由于 a，b，c 三點共線，所以存在實數(shù) ，使得acab，即ocoa(ob3 / 12 oa)， 所以oc(1)oaob，所以 m1，n， 所以 mn1. (2)如圖所示，在正方體 abcda1b1c1d1中，e 在 a1d1上，且a1e2ed1，f 在對角線a1c上，且a1f23fc. 求證：e，f，b 三點共線 證明 設(shè)aba，adb，aa1c， 因為a1e2ed1，a1f23fc， 所以a1e23a1d1，

6、a1f25a1c， 所以a1e23ad23b， a1f25(acaa1)25(abadaa1)25a25b25c， 所以efa1fa1e 25a415b25c25a23bc . 又ebea1a1aab23bcaa23bc， 所以ef25eb，所以 e，f，b三點共線 二、向量共面的判定 例 2 已知 a，b，c 三點不共線，平面 abc外一點 m 滿足om13oa13ob13oc. (1)判斷ma，mb，mc三個向量是否共面； (2)判斷 m 是否在平面 abc內(nèi) 解 (1)oaoboc3om， oaom(omob)(omoc)， mabmcmmbmc， 4 / 12 向量ma，mb，mc共面

7、 (2)由(1)知，向量ma，mb，mc共面，而它們有共同的起點 m，且 a，b，c三點不共線， m，a，b，c共面，即 m 在平面 abc內(nèi) 反思感悟 解決向量共面的策略 (1)若已知點 p 在平面 abc 內(nèi)，則有apxabyac或opxoayobzoc (xyz1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù) (2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)如圖所示，已知矩形 abcd 和矩形 adef 所在的平面互相垂直，點 m，n分別在對角線 bd，ae 上，且 bm13

8、bd，an13ae.求證：向量mn，cd，de共面 證明 因為 m在 bd上，且 bm13bd， 所以mb13db13da13ab. 同理an13ad13de. 所以mnmbbaan 13da13abba13ad13de 23ba13de23cd13de. 又cd與de不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知mn，cd，de共面 (2)已知 e，f，g，h 分別是空間四邊形 abcd的邊 ab，bc，cd，da 的中點，求證： e，f，g，h四點共面 bd平面 efgh. 證明 如圖，連接 eg，bg. 因為egebbgeb12(bcbd)ebbfehefeh，由向量共面的充要條件5 / 12 知向

9、量eg，ef，eh共面，即 e，f，g，h四點共面 因為ehahae12ad12ab12bd，所以 ehbd. 又 eh平面 efgh，bd平面 efgh，所以 bd平面 efgh. 空間共線向量定理的應(yīng)用 典例 如圖所示，已知四邊形 abcd，abef 都是平行四邊形，且它們所在的平面不共面，m，n 分別是 ac，bf的中點，求證：cemn. 證明 m，n 分別是 ac，bf 的中點， 又四邊形 abcd，abef 都是平行四邊形， mnmaaffn12caaf12fb， 又mnmcceebbn 12caceaf12fb， 12caaf12fb12caceaf12fb， ceca2affb2

10、(maaffn)， ce2mn，cemn. 點 c不在 mn上，cemn. 素養(yǎng)提升 證明空間圖形中的兩直線平行，可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量共線問題這里關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算，從而確定cemn中的 的值 1滿足下列條件，能說明空間不重合的 a，b，c三點共線的是( ) a.abbcac b.abbcac c.abbc d|ab|bc| 答案 c 2若空間中任意四點 o，a，b，p滿足opmoanob，其中 mn1，則( ) ap直線 ab 6 / 12 bp直線 ab c點 p 可能在直線 ab 上，也可能不在直線 ab 上 d以上都不對 答案 a 解析 因為 mn1，所以 m1n，所以

11、op(1n) oanob，即opoan(oboa)，即apnab，所以ap與ab共線 又ap，ab有公共起點 a，所以 p，a，b三點在同一直線上，即 p直線 ab. 3下列條件中，使 m 與 a，b，c 一定共面的是( ) a.om2oaoboc b.om15oa13ob12oc c.mambmc0 d.omoaoboc0 答案 c 解析 c選項中，mambmc， 點 m，a，b，c 共面 4已知點 m 在平面 abc 內(nèi)，并且對空間任意一點 o，有omxoa13ob13oc，則 x 的值為( ) a1 b0 c3 d.13 答案 d 解析 omxoa13ob13oc， 且 m，a，b，c四

12、點共面， x13131，x13，故選 d. 5已知非零向量 e1，e2不共線，則使 ke1e2與 e1ke2共線的 k 的值是_ 答案 1 解析 若 ke1e2與 e1ke2共線， 則 ke1e2(e1ke2)， 所以 k，k1. 所以 k 1. 7 / 12 1知識清單： (1)空間向量共線的充要條件，直線的方向向量 (2)空間向量共面的充要條件 2方法歸納 ：轉(zhuǎn)化化歸 3常見誤區(qū)： 混淆向量共線與線段共線、點共線 1已知向量 a，b，且aba2b，bc5a6b，cd7a2b，則一定共線的三點是( ) aa，b，d ba，b，c cb，c，d da，c，d 答案 a 解析 因為adabbcc

13、d3a6b3(a2b)3ab，故adab，又ad與ab有公共點a， 所以 a，b，d三點共線 2對于空間的任意三個向量 a，b，2ab，它們一定是( ) a共面向量 b共線向量 c不共面向量 d既不共線也不共面的向量 答案 a 3在平行六面體 abcda1b1c1d1中，向量d1a，d1c，a1c1是( ) a有相同起點的向量 b等長向量 c共面向量 d不共面向量 答案 c 解析 因為d1cd1aac，且aca1c1， 所以d1cd1aa1c1， 即d1cd1aa1c1. 又d1a與a1c1不共線， 8 / 12 所以d1c，d1a，a1c1三個向量共面 4已知 p 為空間中任意一點，a，b，

14、c，d 四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且pa43pbxpc16db，則實數(shù) x的值為( ) a.13 b13 c.12 d12 答案 a 解析 pa43pbxpc16db43pbxpc16(pbpd)32pbxpc16pd. 又p 是空間任意一點，a，b，c，d 四點滿足任意三點均不共線，但四點共面， 32x161，解得 x13. 5(多選)下列命題中錯誤的是( ) a若 a，b，c，d是空間任意四點，則有abbccdda0 b|a|b|ab|是 a，b共線的充要條件 c若ab，cd共線，則 abcd d對空間任意一點 o 與不共線的三點 a，b，c，若opxoayobzoc(其中 x

15、，y，zr)，則 p，a，b，c四點共面 答案 bcd 解析 顯然 a 正確； 若 a，b 共線，則|a|b|ab|或|ab|a| |b|，故 b 錯誤； 若ab，cd共線，則直線 ab，cd可能重合，故 c錯誤； 只有當(dāng) xyz1時，p，a，b，c 四點才共面，故 d 錯誤 6在abc 中，已知 d是 ab邊上一點，若ad2db，cd13cacb，則 _. 答案 23 解析 cdcbdbcb13abcb13(cbca)23cb13ca， 又cd13cacb，所以 23. 7設(shè) e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知abe1ke2，bc5e14e2，dce12e2，且 a，b，d 三點共線，則

16、實數(shù) k_. 答案 1 解析 adabbccd7e1(k6)e2， 9 / 12 且ab與ad共線，故adxab， 即 7e1(k6)e2xe1xke2， 故(7x)e1(k6xk)e20， 又e1，e2不共線， 7x0，k6kx0，解得 x7，k1，故 k 的值為 1. 8已知 o 為空間任一點，a，b，c，d 四點滿足任意三點不共線，但四點共面，且oa2xbo3yco4zdo，則 2x3y4z_. 答案 1 解析 由題意知 a，b，c，d 共面的充要條件是：對空間任意一點 o，存在實數(shù) x1，y1，z1，使得oax1oby1ocz1od，且 x1y1z11，因此，2x3y4z1. 9.如圖

17、，在平行六面體 abcda1b1c1d1中，m，n 分別是 c1d1，ab 的中點，e 在 aa1上且ae2ea1，f在 cc1上且 cf12fc1，判斷me與nf是否共線 解 由題意，得memd1d1a1a1e 12bacb13a1abncb13c1c cnfcfnnf. 即menf，me與nf共線 10在長方體 abcda1b1c1d1中，m為 dd1的中點，點 n 在 ac 上，且 annc21，求證：a1n與a1b，a1m共面 證明 a1babaa1，a1ma1d1d1mad12aa1，an23ac23(abad)， a1nanaa123(abad)aa123(abaa1)23ad12

18、aa1 23a1b23a1m， a1n與a1b，a1m共面 10 / 12 11若 p，a，b，c為空間四點，且有papbpc，則 1 是 a，b，c三點共線的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 答案 c 解析 若 1，則papb(pcpb)，即babc，顯然，a，b，c 三點共線；若a，b，c 三點共線，則有abbc，故pbpa(pcpb)，整理得pa(1)pbpc，令 1，則 1，故選 c. 12平面 內(nèi)有五點 a，b，c，d，e，其中無三點共線，o 為空間一點，滿足oa12obxocyod，ob2xoc13odyoe，則 x3y 等于( ) a

19、.56 b.76 c.53 d.73 答案 b 解析 由點 a，b，c，d共面得 xy12， 又由點 b，c，d，e共面得 2xy23， 聯(lián)立方程組解得 x16，y13， 所以 x3y76. 13已知正方體 abcda1b1c1d1中，p，m 為空間任意兩點，如果有pmpb17ba6aa14a1d1，那么 m必( ) a在平面 bad1內(nèi) b在平面 ba1d 內(nèi) c在平面 ba1d1內(nèi) d在平面 ab1c1內(nèi) 答案 c 解析 pmpb17ba6aa14a1d1 pb1ba6ba14a1d1 pb1b1a16ba14a1d1 pa16(pa1pb)4(pd1pa1) 11pa16pb4pd1， 于是 m，b，a1，d1四點共面 11 / 12 14有下列命題： 若abcd，則 a，b，c，d四點共線； 若