選擇性必修第一冊(cè)第二章 2.4.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、1 / 9 2.4 圓的方程圓的方程 2.4.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握?qǐng)A的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 知識(shí)點(diǎn)一 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)條件：圓心為 c(a，b)，半徑長(zhǎng)為 r. (2)方程：(xa)2(yb)2r2. (3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為 r 的圓的方程是 x2y2r2. 知識(shí)點(diǎn)二 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn) m(x0，y0)與圓 c：(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系及判斷方法 位置關(guān)系 利用距離判斷 利用方程判斷 點(diǎn) m在圓上 |cm|r (x0a)2(y0b)2r2 點(diǎn) m在圓外 |cm|r (x0a)

2、2(y0b)2r2 點(diǎn) m在圓內(nèi) |cm|r (x0a)2(y0b)224， 得點(diǎn) p在圓外 (2) 已 知 點(diǎn) m(5a 1 ，a ) 在 圓 (x 1)2 y2 26 的 內(nèi) 部 ， 則 a 的 取 值 范 圍 為_ 答案 0,1) 解析 由題意知 a0，(5 a11)2( a)226， 即 a0，26a26，解得 0a1. 3 / 9 反思感悟 判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法 (1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大小 (2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷 跟蹤訓(xùn)練 2 已知點(diǎn) a(1,2)和圓 c：(xa)2(ya)22a2，試分別求滿足下列條

3、件的實(shí)數(shù) a的取值范圍： (1)點(diǎn) a 在圓的內(nèi)部； (2)點(diǎn) a 在圓上； (3)點(diǎn) a 在圓的外部 解 (1)因?yàn)辄c(diǎn) a 在圓的內(nèi)部， 所以(1a)2(2a)22a2， 且 a不為 0，解得 a2a2， 且 a不為 0，解得 a2.5且 a0. 待定系數(shù)法與幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 典例 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) p(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線 2x3y10 上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 方法一 (待定系數(shù)法) 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2， 則有 a2b2r2，(1a)2(1b)2r2，2a3b10，解得 a4，b3，r5. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x4)2(y3)225. 方法二 (幾何法) 由題意知

4、 op 是圓的弦，其垂直平分線為 xy10. 弦的垂直平分線過(guò)圓心， 由 2x3y10，xy10，得 x4，y3， 即圓心坐標(biāo)為(4，3)， 半徑為 r 42(3)25. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x4)2(y3)225. 素養(yǎng)提升 (1)待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟 4 / 9 (2)幾何法即是利用平面幾何知識(shí)，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (3)像本例，理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 1若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y5)23，則此圓的圓心和半徑長(zhǎng)分別為( ) a(1,5)， 3 b(1，5)， 3 c(1,5)，3 d(1，5)，3 答案 b

5、2圓心為(1，2)，半徑為 3的圓的方程是( ) a(x1)2(y2)29 b(x1)2(y2)23 c(x1)2(y2)23 d(x1)2(y2)29 答案 d 解析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得(x1)2(y2)29. 3點(diǎn) p(1,3)與圓 x2y224 的位置關(guān)系是( ) a在圓外 b在圓內(nèi) c在圓上 d不確定 答案 b 4圓心在 y 軸上，半徑為 1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) ax2(y2)21 bx2(y2)21 c(x1)2(y3)21 dx2(y3)21 答案 a 解析 方法一 (直接法) 設(shè)圓的圓心為 c(0，b)，則 (01)2(b2)21， b2，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2(

6、y2)21. 方法二 (數(shù)形結(jié)合法) 作圖(如圖)，根據(jù)點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為 1 易知，圓心為(0,2)， 5 / 9 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2(y2)21. 5若點(diǎn) p(5a1,12a)在圓(x1)2y21的外部，則 a 的取值范圍為_ 答案 a113或 a1， 169a21，a21169，a113或 a113. 1知識(shí)清單： (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 2方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法 3常見誤區(qū)：幾何法求圓的方程出現(xiàn)漏解情況 1圓心為(3,1)，半徑為 5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) a(x3)2(y1)25 b(x3)2(y1)225 c(x3)2(y1)25 d(

7、x3)2(y1)225 答案 d 2圓(x3)2(y2)213的周長(zhǎng)是( ) a. 13 b2 13 c2 d2 3 答案 b 解析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其半徑為 13，周長(zhǎng)為 2 13. 3已知點(diǎn) a(3，2)，b(5,4)，以線段 ab 為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) a(x1)2(y1)225 b(x1)2(y1)225 6 / 9 c(x1)2(y1)2100 d(x1)2(y1)2100 答案 b 解析 由題意得圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑 r12|ab|12(35)2(24)25， 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x1)2(y1)225.故選 b. 4若點(diǎn) a(a1,3)在圓 c：(xa)2(y1

8、)2m外，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) a(0，) b(，5) c(0,5) d0,5 答案 c 解析 由題意，得(a1a)2(31)2m，即 m0，所以 0m5，故選 c. 5已知一圓的圓心為點(diǎn) a(2，3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在 x 軸和 y 軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) a(x2)2(y3)213 b(x2)2(y3)213 c(x2)2(y3)252 d(x2)2(y3)252 答案 b 解析 如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，原點(diǎn)在圓上， 圓的半徑為 r (20)2(30)2 13. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x2)2(y3)213. 6若點(diǎn) p(1， 3)在圓 x2y2m2上，則實(shí)數(shù) m_.

9、 答案 2 解析 p 點(diǎn)在圓 x2y2m2上， (1)2( 3)24m2， m 2. 7圓(x3)2(y1)21關(guān)于直線 xy30 對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 答案 (x4)2y21 解析 設(shè)圓心 a(3，1)關(guān)于直線 xy30對(duì)稱的點(diǎn) b 的坐標(biāo)為(a，b)， 7 / 9 則 b1a3 (1)1，a32b1230， 解得 a4，b0， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y21. 8當(dāng) a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a1)xya10 恒過(guò)定點(diǎn) c，則以點(diǎn) c 為圓心， 5為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 答案 (x1)2(y2)25 解析 將直線方程整理為(x1)a(xy1)0， 可知直線恒過(guò)點(diǎn)(1,2)， 從而所求

10、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)25. 9已知圓 c過(guò)點(diǎn) a(3,1)，b(5,3)，圓心在直線 yx上，求圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 設(shè)圓心 c(a，a)，半徑為 r，則 (a3)2(a1)2r2，(a5)2(a3)2r2， 解得 a3，r2， 圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y3)24. 10已知點(diǎn) a(1,2)和 b(3,4)求： (1)線段 ab 的垂直平分線 l的方程； (2)以線段 ab為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解 由題意得線段 ab 的中點(diǎn) c 的坐標(biāo)為(1,3) (1)a(1,2)，b(3,4)， 直線 ab的斜率 kab423(1)12. 直線 l垂直于直線 ab， 直線 l的斜率 kl

11、1kab2， 直線 l的方程為 y32(x1)， 即 2xy50. (2)a(1,2)，b(3,4)， |ab| (31)2(42)2 202 5， 8 / 9 以線段 ab 為直徑的圓的半徑 r12|ab| 5. 又圓心為 c(1,3)， 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)25. 11已知圓心在 x軸上的圓 c 經(jīng)過(guò) a(3,1)，b(1,5)兩點(diǎn)，則 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) a(x4)2y250 b(x4)2y225 c(x4)2y250 d(x4)2y225 答案 a 解析 根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心 c的坐標(biāo)為(m，0)， 若圓 c經(jīng)過(guò) a(3,1)，b(1,5)兩點(diǎn)，則有(3m)21(m

12、1)225， 解得 m4，即圓心 c為(4,0)，則圓的半徑 r|ca| (34)21 50， 則圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2y250，故選 a. 12已知直線 l過(guò)圓 x2(y3)24 的圓心，且與直線 xy10 垂直，則 l的方程為( ) axy20 bxy20 cxy30 dxy30 答案 d 解析 圓 x2(y3)24的圓心坐標(biāo)為(0,3) 因?yàn)橹本€ l與直線 xy10垂直，所以直線 l的斜率 k1. 由點(diǎn)斜式得直線 l的方程是 y3x0， 化簡(jiǎn)得 xy30. 13已知直線(32)x(32)y50 恒過(guò)定點(diǎn) p，則與圓 c：(x2)2(y3)216 有公共的圓心且過(guò)點(diǎn) p的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

13、為( ) a(x2)2(y3)236 b(x2)2(y3)225 c(x2)2(y3)218 d(x2)2(y3)29 答案 b 解析 由(32)x(32)y50， 得(2x3y1)(3x2y5)0， 則 2x3y10，3x2y50，解得 x1，y1，即 p(1,1) 圓 c：(x2)2(y3)216的圓心坐標(biāo)是(2，3)， |pc| (12)2(13)25， 9 / 9 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y3)225，故選 b. 14已知點(diǎn) p(x，y)在圓 x2y21 上，則 (x1)2(y1)2的最大值為_ 答案 1 2 解析 (x1)2(y1)2的幾何意義是圓上的點(diǎn) p(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離， 因此最大值為 21. 15已知圓 c 與圓(x1)2y21 關(guān)于直線 yx 對(duì)稱，則圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 答案 x2(y1)21 解析 由已知圓(x1)2y21， 設(shè)其圓心為 c1， 則圓 c1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng) r11. 設(shè)圓心 c1(1,0)關(guān)于直線 yx 對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，即圓心 c 的坐標(biāo)為(a，b)， 則 ba1 (1)1，a12b2， 解得 a0，b1.