高中數(shù)學(xué)必修一 第2章 2.3 第2課時(shí)　一元二次不等式的應(yīng)用

1、1 / 10 第第 2 課時(shí)課時(shí) 一元二次不等式的應(yīng)用一元二次不等式的應(yīng)用 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用(重點(diǎn)). 2.理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系. 3.會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題(難點(diǎn)). 1.通過(guò)分式不等式的解法及不等式的恒成立問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 2.借助一元二次不等式的應(yīng)用培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 1分式不等式的解法 主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式 類(lèi)型 同解不等式 axbcxd0(0) (其中 a，b，c，d 為常數(shù)) 法一： axb0(0)cxd0或 axb0(0)cxd0 法二： (axb)(cxd)0(0) axbcxd0(0)

2、 法一： axb0(0)axd0或 axb0(0)cxd0 法二： (axb)(cxd)0(0)cxd0 axbcxdk0 與(x3)(x2)0等價(jià)嗎？將x3x20變形為(x3)(x2)0，有什么好處？ 提示：等價(jià)；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式 2(1)不等式的解集為 r(或恒成立)的條件 不等式 ax2bxc0 ax2bxc0 b0，c00 a00 (2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法 設(shè)二次函數(shù) yax2bxc 若 ax2bxck恒成立ymaxk 若 ax2bxck恒成立ymink 3.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次不等式模型的步驟 (1)閱讀理解，認(rèn)真審題

3、，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準(zhǔn)不等關(guān)系 (2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系) (3)解不等式(或求函數(shù)最值) (4)回扣實(shí)際問(wèn)題 思考 2：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？ 提示：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為 x，用 x來(lái)表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解 1若集合 ax|12x13，bx x2x0，則 ab等于( ) ax|1x0 bx|0 x1 cx|0 x2 dx|0 x1 b ax|1x1，bx|0 x2，abx|0 x1 3 / 10 2不等式x1x5的解集是_ x 0 x

4、14 原不等式x1x5xx4x1x0 x(4x1)0，x0，解得00，y0，x40，y40，xy300，整理得 yx40，將 y40 x代入 xy300，整理得 x240 x3000，解得 10 x30. 分式不等式的解法 【例 1】 解下列不等式： (1)x3x20； (2)x12x31. 解 (1)x3x20(x3)(x2)02x3， 原不等式的解集為x|2x3 (2)x12x31， 4 / 10 x12x310， x42x30， 即x4x320. 此不等式等價(jià)于(x4)x320且 x320， 解得 x32或 x4， 原不等式的解集為x x32或x4. 1對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)

5、化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零 2對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解 1解下列不等式：(1)x1x30；(2)5x1x13. 即知原不等式的解集為x|x1 或 x3 (2)不等式5x1x13 可改寫(xiě)為5x1x130， 即2(x1)x10. 可將這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化成 2(x1)(x1)0， 解得1x1. 5 / 10 所以，原不等式的解集為x|1x1 一元二次不等式的應(yīng)用 【例 2】 國(guó)家原計(jì)劃以 2 400 元/噸的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品 m 噸按規(guī)定，農(nóng)戶(hù)向國(guó)家納稅為：每收入 100 元納

6、稅 8元(稱(chēng)作稅率為 8 個(gè)百分點(diǎn)，即8%)為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，制定積極的收購(gòu)政策根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律，稅率降低 x個(gè)百分點(diǎn)，收購(gòu)量能增加 2x個(gè)百分點(diǎn)試確定 x的范圍，使稅率調(diào)低后，國(guó)家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的 78%. 思路點(diǎn)撥 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言：“稅率降低 x個(gè)百分點(diǎn)”即調(diào)節(jié)后稅率為(8x)%；“收購(gòu)量能增加 2x 個(gè)百分點(diǎn)”，此時(shí)總收購(gòu)量為 m(12x%)噸，“原計(jì)劃的 78%”即為 2 400m8%78%. 解 設(shè)稅率調(diào)低后“稅收總收入”為 y元 y2 400m(12x%) (8x)% 1225m(x242x400)(0 x8) 依題意，得 y2 400m8%78%， 即1225m

7、(x242x400)2 400m8%78%， 整理，得 x242x880，解得44x2. 根據(jù) x的實(shí)際意義，知 x的范圍為 0 x2. 求解一元二次不等式應(yīng)用問(wèn)題的步驟 6 / 10 2某校園內(nèi)有一塊長(zhǎng)為 800 m，寬為 600 m 的長(zhǎng)方形地面，現(xiàn)要對(duì)該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍 解 設(shè)花卉帶的寬度為 x m(0 x600)，則中間草坪的長(zhǎng)為(8002x)m，寬為(6002x)m.根據(jù)題意可得(8002x)(6002x)12800600，整理得 x2700 x6001000，即(x600)(x100

8、)0，所以 00 恒成立，如何求實(shí)數(shù) a的取值范圍？ 提示：若 a0，顯然 y0不能對(duì)一切 xr 都成立所以 a0，此時(shí)只有二次函數(shù) yax22x2 的圖象與直角坐標(biāo)系中的 x軸無(wú)交點(diǎn)且拋物線開(kāi)口向上時(shí)，才滿(mǎn)足題意，則 a0，48a12. 2若函數(shù) yx2ax3 對(duì)3x1上恒有 x2ax30成立，如何求a 的范圍？ 提示：要使 x2ax30 在3x1上恒成立，則必使函數(shù) yx2ax3 在3x1 上的圖象在 x軸的下方，由 y的圖象可知，此時(shí) a應(yīng)滿(mǎn)足 (3)23a30，(1)2a30，即 3a60，a20， 解得 a2. 故當(dāng) a2時(shí)，有 f(x)0 在3x1 上恒成立 3若函數(shù) yx22(a

9、2)x4對(duì)任意3a1時(shí)，y0 恒成立，如何求 x的取值范圍？ 提示：由于本題中已知 a的取值范圍求 x，所以我們可以把函數(shù) f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是 a的函數(shù)，求參數(shù) x的取值問(wèn)題，則令 y2x ax24x4. 要使對(duì)任意3a1，y0 恒成立，只需滿(mǎn)足 7 / 10 2xx24x40(3)2xx24x40， 即 x22x40，x210 x40. 因?yàn)?x22x40的解集是空集， 所以不存在實(shí)數(shù) x，使函數(shù) yx22(a2)x4對(duì)任意3a1，y0 恒成立 【例 3】 已知 yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒成立，求 a的取值范圍 思路點(diǎn)撥 對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在某一范圍上的函數(shù)值恒大于等于

10、零的問(wèn)題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解 解 設(shè)函數(shù) yx2ax3a在2x2時(shí)的最小值為關(guān)于 a的一次函數(shù)，設(shè)為 g(a)，則 (1)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸 xa24時(shí)，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得 a73，與 a4矛盾，不符合題意 (2)當(dāng)2a22，即4a4時(shí)，g(a)3aa240，解得6a2，此時(shí)4a2. (3)當(dāng)a22，即 a4 時(shí)，g(a)222a3a7a0，解得 a7，此時(shí)7a4. 綜上，a的取值范圍為7a2. 1(變結(jié)論)本例條件不變，若 yx2ax3a2恒成立，求 a 的取值范圍 解 若2x2，x2ax3a2 恒成立可轉(zhuǎn)化為： 當(dāng)2x2時(shí)，ymin2 a22，ymin222a3a7

11、a2， 解得 a的取值范圍為5x22 2. 2(變條件)將例題中的條件“yx2ax3a，2x2，y0 恒成立”變?yōu)椤安坏仁?x22xa230的解集為 r”，求 a 的取值范圍 解 法一：不等式 x22xa230 的解集為 r， 函數(shù) yx22xa23的圖象應(yīng)在 x軸上方， 44(a23)2或 a0的解集為 r，則 a滿(mǎn)足ymina240，解得 a2或 a0，得 a2x22x3， 即 a2(x1)24，要使該不等式在 r 上恒成立，必須使 a2大于(x1)24 的最大值，即 a24，故 a2或 a0 的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng) a0時(shí)，b0，c0； 當(dāng) a0時(shí)， a0，0. 2不等式

12、 ax2bxc0 的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng) a0時(shí)，b0，c0； 當(dāng) a0時(shí)， a0，f(x)恒成立af(x)max；(2)若 f(x)有最小值f(x)min，則 af(x)恒成立a1 的解集為 xax2bxc(a0)恒成立時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求解 yax2bxc 的最小值，從而求出 m的范圍( ) 提示 (1)1x11x10 x1x0 x|0 xax2bxc(a0)恒成立轉(zhuǎn)化為 mymax，故(2)錯(cuò) 答案 (1) (2) 2不等式(x1)(x2)2(x3)x40的解集為_(kāi) x|4x1 原式可轉(zhuǎn)化為(x1)(x2)2(x3)(x4)0， 根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為4x1. 3對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_ 2a2 當(dāng) a20，即 a2時(shí)，40恒成立； 當(dāng) a20，即 a2時(shí)，則有 10 / 10 a20，2(a2)24(a2)(4)0， 解得2a2.綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2a2. 4某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈 15元的價(jià)格銷(xiāo)售，每