高中數(shù)學(xué)必修一第二章 微專題1

1、1 / 3 微專題微專題 1 基本不等式的應(yīng)用技巧基本不等式的應(yīng)用技巧 在解答基本不等式的問題時(shí)，常常會用加項(xiàng)、湊項(xiàng)、常數(shù)的代換、代換換元等技巧，而且在通常情況下往往會考查這些知識的嵌套使用 一、加項(xiàng)變換 例 1 已知關(guān)于 x的不等式 x1xa7在 xa 上恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值為_ 答案 5 解析 xa， xa0， x1xa(xa)1xaa2a， 當(dāng)且僅當(dāng) xa1時(shí)，等號成立， 2a7，即 a5. 反思感悟 加上一個(gè)數(shù)或減去一個(gè)數(shù)使和(積)為定值，然后利用基本不等式求解 二、平方后使用基本不等式 例 2 若 x0，y0，且 2x2y238，則 x 62y2的最大值為_ 答案 923 解

2、析 (x 62y2)2x2(62y2)3 2x21y23 32x21y23223922. 當(dāng)且僅當(dāng) 2x21y23，即 x32，y422時(shí)，等號成立 故 x 62y2的最大值為923. 三、展開后求最值 例 3 若 a，b是正數(shù)，則1ba14ab的最小值為( ) a7 b8 c9 d10 答案 c 解析 a，b是正數(shù)， 1ba14ab14abba454abba 2 / 3 524abba549， 當(dāng)且僅當(dāng) b2a 時(shí)取“” 四、常數(shù)代換法求最值 例 4 已知 x，y 是正數(shù)且 xy1，則4x21y1的最小值為( ) a.1315 b.94 c2 d3 答案 b 解析 由 xy1得(x2)(y1

3、)4， 即14(x2)(y1)1， 4x21y14x21y114(x2)(y1) 14414(y1)x2x2y1 14(54)94， 當(dāng)且僅當(dāng) x23，y13時(shí)“”成立，故選 b. 反思感悟 通過常數(shù)“1”的代換，把求解目標(biāo)化為可以使用基本不等式求最值的式子，達(dá)到解題的目的 五、代換減元求最值 例 5 若實(shí)數(shù) x，y滿足 xy3x30 x12，則3x1y3的最小值為_ 答案 8 解析 實(shí)數(shù) x，y滿足 xy3x30 x12， x3y3，03y33. 則3x1y3y31y3y31y362(y3)1y368，當(dāng)且僅當(dāng) y4，x37時(shí)取等號 反思感悟 在解含有兩個(gè)以上變元的最值問題時(shí)，通過代換的方法

4、減少變元，把問題化為兩個(gè)或一個(gè)變元的問題，再使用基本不等式求解 六、建立求解目標(biāo)不等式求最值 例 6 已知 a，b 是正數(shù)，且(ab)(a2b)ab9，則 3a4b的最小值等于_ 答案 6 21 3 / 3 解析 a，b 是正數(shù)，且(ab)(a2b)ab9， 即有(ab)(a2b1)9， 即(2a2b)(a2b1)18， 可得 3a4b1(2a2b)(a2b1) 2 (2a2b)(a2b1)6 2， 當(dāng)且僅當(dāng) 2a2ba2b1時(shí)，上式取得等號， 即有 3a4b的最小值為 6 21. 例 7 已知 a0，b0，且 ab1a1b5，則 ab的取值范圍是( ) a1ab4 bab2 c1ab4 答案 a 解析 ab1a1b5， ababab5. a0，b0，abab22， 1ab4(ab)2， abababab4ab， ab4ab5， 即(ab)25(ab)40， (ab4)(ab1)0， 即 1ab4， 當(dāng) ab12時(shí)，左邊等號成